[Hai câu châm ngôn]

⟦trang 52⟧

«lạ» của dạng bài toán không quen thuộc, mặc dù gần đây trong tài liệu dành cho học sinh đã xét khá nhiều bài toán như vậy.

Đây là lời giải bài toán này: nếu $x$ thỏa mãn bất đẳng thức thứ nhất thì $5 < x < \frac{16}{3}$, từ đó $\frac{2}{3} < 6 - x < 1$ và, do đó, $3 < \frac{3}{6 - x} < \frac{9}{2}$. Vì $\frac{\pi}{2} < 3 < \frac{9}{2} < \frac{3\pi}{2}$, nên góc $\frac{3}{6 - x}$ nằm либо ở góc phần tư thứ hai, либо ở góc phần tư thứ ba, và vì thế cosin của nó âm.

Như vậy, chúng tôi đã trình bày lời giải của những bài toán vừa có phần khó, vừa có phần dễ. Các bạn có thể đánh giá độ khó của chúng, đồng thời cả sức mình, bằng cách giải các bài toán trong hai phương án dưới đây.

Các phương án

1. Giải phương trình
   $$\log_{x+3}(3 - \sqrt{1 - 2x + x^2}) = \frac{1}{2}.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$6\sin^2\frac{x}{2}\mathrm{ctg}^2x \leqslant 2\cos^2x + 3\mathrm{ctg}^2x.$$

3. Đáy của hình chóp $SABC$ là $\Delta ABC$ với góc $C=90^\circ$ và một góc nhọn bằng $30^\circ$. Các cạnh bên của hình chóp nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $45^\circ$, chiều cao của hình chóp bằng $H$. Tìm diện tích thiết diện của hình chóp bởi mặt phẳng đi qua điểm $C$ song song với $AB$ và chia mặt $ASB$ thành các phần có diện tích bằng nhau.

4. Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối các đỉnh đối diện của một tứ giác nội tiếp đi qua giao điểm của các tiếp tuyến kẻ tại hai đỉnh còn lại của nó, thì tích các cạnh đối diện bằng nhau.

5. Chứng minh rằng nếu $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 11x + 30} < 0$, thì sin $x$ và cos $x$ có dấu khác nhau.
   (MGPI mang tên V. N. Lenin)

6. Trong hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $a$, các góc giữa các cạnh tại đỉnh của nó bằng $\alpha$ ($\alpha \leqslant 90^\circ$). Xác định diện tích thiết diện đi qua các cạnh đáy vuông góc với cạnh bên đối diện.

7. Giải phương trình
   $$\lg^2 x + \lg^2 (x + 10) = 2\lg 11.$$

8. Giải phương trình
   $$\sin 3x \cdot \sin x + 1 = 0.$$

(Sư phạm Ivanovo)

ĐOÀN KẾT LÀ SỨC MẠNH

“Chừng nào đại số và hình học còn phát triển mỗi môn theo con đường riêng của mình, sự tiến bộ của chúng còn chậm, và các ứng dụng còn hạn chế.

Nhưng khi hai khoa học này hợp nhất, chúng đã mạnh mẽ hỗ trợ lẫn nhau và nhanh chóng tiến bước tới sự hoàn thiện.”

Lagrange
KHÔNG PHẢI KẺ THÙ, MÀ LÀ BẠN BÈ

“Thật sai lầm khi cho rằng tính chặt chẽ trong chứng minh là kẻ thù của sự đơn giản. Trái lại, có thể thấy rằng phương pháp chặt chẽ đồng thời cũng đơn giản hơn, dễ hơn và dễ tiếp cận hơn. Mọi nỗ lực hướng tới tính chặt chẽ đều nhằm tìm ra những phương pháp chứng minh đơn giản nhất.”

Hilbert
4, 5 VÀ 6

Có thể xếp 4 quả bóng giống nhau sao cho mỗi quả tiếp xúc với ba quả còn lại.

Có thể xếp 5 quả bóng giống nhau sao cho mỗi quả tiếp xúc với bốn quả còn lại.

Có thể xếp 6 bút chì không gọt giống nhau sao cho mỗi chiếc tiếp xúc với năm chiếc còn lại?