[Các bài toán M11—M15; Ф12—Ф17]

45

M11. Trên 44 cây được bố trí theo một đường tròn, có 44 con chim sẻ vui vẻ đậu (mỗi cây một con chim sẻ). Thỉnh thoảng hai con chim sẻ đồng thời bay sang các cây bên cạnh theo hai hướng ngược nhau (một con — theo chiều kim đồng hồ, con kia — ngược chiều kim đồng hồ, xem hình 1). Hãy chứng minh rằng các con chim sẻ không bao giờ tụ tập trên cùng một cây.

Còn nếu số chim sẻ và số cây là $n$ thì sao?
VMSh tại MGU*)

M12. Những tứ giác nào có thể cắt bằng một đường thẳng thành hai tứ giác giống nhau?

*) Xem trang 61 của số tạp chí này.

Những lời giải hay nhất của các bài toán do độc giả gửi đến sẽ được đăng trong tạp chí. Chúng tôi có thể xem xét những lời giải được ban biên tập nhận không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi số tạp chí tương ứng phát hành.

M13. Chứng minh rằng nếu hiệu giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất trong $n$ số thực $a_1, a_2, \dots, a_n$ bằng $d$, còn tổng các môđun của tất cả $\frac{n(n-1)}{2}$ hiệu từng đôi của các số này

$$\sum_{i<j} |a_i - a_j|$$

bằng $s$, thì

$$(n-1)d \leqslant s \leqslant \frac{n^2}{4}d.$$

M14. Một đa giác lồi màu trắng có một số cạnh được tô màu đen và đỏ sao cho không có hai cạnh đen nào có cạnh chung (hình 2). Chứng minh rằng nếu thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:
a) số cạnh đen lớn hơn một nửa;
b) diện tích các cạnh đen chiếm hơn một nửa diện tích một nửa bề mặt của đa giác,

thì không thể nội tiếp một hình cầu vào đa giác này.

46

M15. Một bảng vuông $n \times n$ được điền các số không âm sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 1. Chứng minh rằng từ bảng có thể chọn $n$ số dương sao cho không có hai số nào trong đó nằm cùng một cột hoặc cùng một hàng.

Ф12. Hai quả cầu thép nặng giống nhau quay trên các thanh nhẹ có độ dài $l$ và $2l$ quanh các điểm $O_1$ và $O$, khoảng cách giữa chúng bằng $3l$ (hình 3). Ở thời điểm ban đầu, các quả cầu nằm tại các điểm $A$ và $B$, có vận tốc lần lượt là $v$ và $2v$. Hỏi các quả cầu sẽ va chạm bao nhiêu lần trong thời gian $t$? Sau thời gian bao lâu các quả cầu sẽ va chạm $k$ lần? Coi va chạm của các quả cầu là hoàn toàn đàn hồi.

Г. Л. Коткин

Ф13. Hai hình trụ giống nhau có pít-tông được nối với nhau bằng một ống (hình 4). Trong các hình trụ có nước. Trên các pít-tông đặt các cốc hình trụ giống nhau chứa lượng nước bằng nhau. Sau đó thả vào một trong các cốc một vật có khối lượng $m$, còn vào cốc kia — một vật có khối lượng $M$, các vật này không chìm.

Khi hệ đạt trạng thái cân bằng, các đầu pít-tông và các mực nước trong các cốc sẽ cách nhau những khoảng cách nào? Diện tích đáy các cốc là $S_1$, diện tích các pít-tông là $S_2$.

Ф14. Hai ống có tiết diện $S_1$ và $S_2$ được nối với nhau và bịt kín bằng các pít-tông có khối lượng $m_1$ và $m_2$ (hình 5). Sau vụ nổ trong khoảng không gian giữa các pít-tông, các pít-tông bay ra khỏi ống. Một trong số chúng bay ra với vận tốc $v$. Pít-tông thứ hai bay ra với vận tốc bao nhiêu, nếu: a) các ống được cố định và không thể chuyển động, b) các ống không được cố định và khối lượng chung của chúng là $M$? Bỏ qua ma sát của các pít-tông với thành ống.

Ф15. Qua thành tủ lạnh, trong một giờ truyền vào một lượng nhiệt $Q = 190$ kilôcalo. Nhiệt độ bên trong tủ lạnh $T_1 = +5^\circ\text{C}$, còn trong phòng là $T_2 = +20^\circ\text{C}$. Công suất nhỏ nhất mà tủ lạnh tiêu thụ từ mạng điện là bao nhiêu?

V. N. Kopylov

Hình 3

Hình 5.