4, 5 và 6

52

tính không thông thường” đối với dạng bài toán khác thường, mặc dù gần đây trong tài liệu dành cho học sinh, những bài toán như vậy được xét khá nhiều.

Đây là lời giải của bài toán này: nếu $x$ thỏa mãn bất đẳng thức thứ nhất, thì $5 < x < \frac{16}{3}$, từ đó $\frac{2}{3} < 6 - x < 1$ và do đó $3 < \frac{3}{6 - x} < \frac{9}{2}$. Vì $\frac{\pi}{2} < 3 < \frac{9}{2} < \frac{3\pi}{2}$, nên góc $\frac{3}{6 - x}$ nằm hoặc ở góc phần tư thứ hai, hoặc ở góc phần tư thứ ba, và vì thế cosin của nó âm.

Vậy là chúng tôi đã trình bày lời giải các bài toán của chúng ta, ở một mức độ nào đó khó, ở một mức độ nào đó dễ. Các bạn có thể đánh giá độ khó của chúng, đồng thời cả sức mình, bằng cách giải các bài toán trong hai phương án dưới đây.

Các phương án

1. Giải phương trình
   $$\log_{x+3}(3 - \sqrt{1 - 2x + x^2}) = \frac{1}{2}.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$6\sin^2\frac{x}{2}\mathrm{ctg}^2x \leqslant 2\cos^2x + 3\mathrm{ctg}^2x.$$

3. Đáy của hình chóp $SABC$ là $\Delta ABC$ với góc $C=90^\circ$ và một góc nhọn $30^\circ$. Các cạnh bên của hình chóp nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $45^\circ$, chiều cao hình chóp bằng $H$. Tìm diện tích thiết diện của hình chóp bởi mặt phẳng đi qua điểm $C$ song song với $AB$ và chia mặt $ASB$ thành các phần có diện tích bằng nhau.

4. Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối các đỉnh đối diện của một tứ giác nội tiếp đi qua giao điểm của các tiếp tuyến kẻ tại hai đỉnh còn lại của nó, thì tích các cạnh đối diện bằng nhau.

5. Chứng minh rằng nếu $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 11x + 30} < 0$, thì sin $x$ và cos $x$ có dấu khác nhau.
   (Học viện Sư phạm Quốc gia Moskva mang tên V. N. Lenin)

6. Trong hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $a$, các góc giữa các cạnh tại đỉnh của nó bằng $\alpha$ ($\alpha \leqslant 90^\circ$). Xác định diện tích thiết diện đi qua các cạnh đáy và vuông góc với cạnh bên đối diện.

7. Giải phương trình
   $$\lg^2 x + \lg^2 (x + 10) = 2\lg 11.$$

8. Giải phương trình
   $$\sin 3x \cdot \sin x + 1 = 0.$$

(Sư phạm Ivanovo)

ĐOÀN KẾT LÀ SỨC MẠNH

“Chừng nào đại số và hình học còn phát triển theo những con đường riêng của mình, sự tiến bộ của chúng còn chậm chạp, và các ứng dụng còn hạn chế.

Nhưng khi hai khoa học này liên kết với nhau, chúng đã mạnh mẽ hỗ trợ lẫn nhau và nhanh chóng tiến tới sự hoàn thiện”.

Lagrange
KHÔNG PHẢI KẺ THÙ, MÀ LÀ BẠN BÈ

“Thật sai lầm khi cho rằng tính chặt chẽ trong chứng minh là kẻ thù của sự đơn giản. Chẳng hạn, có thể thấy rằng phương pháp chặt chẽ đồng thời đơn giản hơn, dễ hơn và dễ tiếp cận hơn. Mọi nỗ lực hướng tới tính chặt chẽ đều nhằm tìm ra những phương pháp chứng minh đơn giản nhất”.

Hilbert
4, 5 VÀ 6

Có thể xếp 4 quả bóng giống nhau sao cho mỗi quả tiếp xúc với ba quả còn lại.

Có thể xếp 5 quả bóng giống nhau sao cho mỗi quả tiếp xúc với bốn quả còn lại.

Có thể xếp 6 chiếc bút chì chưa gọt giống nhau sao cho mỗi chiếc tiếp xúc với năm chiếc còn lại không?