[Задачи М11—М15; Ф12—Ф17]

45

М11. На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 веселых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один — по часовой стрелке, другой — против, см. рис.1). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном дереве.

А если чижей и деревьев $n$?
ВМШ при МГУ*)

M12. Какие четырехугольники можно разрезать прямой линий на два подобных между собой четырехугольника?

*) См. стр. 61 этого номера журнала.

Лучшие из решений задач, присланных читателями, будут опубликованы в журнале. Мы сможем рассматривать решения, которые будут получены редакцией не позднее чем через полтора месяца после выхода соответствующего номера журнала.

M13. Докажите, что если разность между набольшим и наименьшим из $n$ вещественных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ равна $d$, а сумма моделей всех $\frac{n(n-1)}{2}$ попарных разностей этих чисел

$$\sum_{i<j} |a_i - a_j|$$

равна $s$, то

$$(n-1)d \leqslant s \leqslant \frac{n^2}{4}d.$$

M14. У выпуклого белого многоугольника некоторые грани показены черной красной так, что никакие две черные грани не имеют общого ребра (рис.2). Докажите, что если выполнен хотя бы одно из следующих условий:
a) черных граней больше половины;
b) площадь черных граней составляет больше половины площади половины поверхности многоугольника,

то в этот многоугольник нельзя вписать шар.

46

М15. Квадратная таблица $n \times n$ заполнения неотрицательными числами так, что сумма чисел в каждой строке и сумма чисел в каждой столбце равна 1. Доказите, что из таблицы можно выбрать $n$ положительных чисел, никакие два из которых не стоит ни в одном столбце, ни в одной строке.

Ф12. Два одинаковых тяжелых стальные шарика врашаются на легких стержнях длины $l$ и $2l$ вокруг точки $O_1$, и $O$ расстояние между которых равно $3l$ (рис. 3). В начальной момент шарики находится в точках $A$ и $B$, имея скорости $v$ и $2v$ соответственно. Сколько раз столкнутся шарики за время $t$? За какое время шарики столкнутся $k$ раз? Удары шариков считать абсолотно упругими.

Г. Л. Коткин

Ф13. Два одинаковых цилиндра с поршнями соединены трубкой (рис. 4). В цилиндрах находится вода. Сверху на поршни ставят одинаковые цилиндрические стаканы с равными колчестями воды. Затем в один из стаканов опускают тело массы $m$, а в другой — тело массы $M$, которые не тонут.

На каких расстояниях друг от друга будут находиться концы поршней и уровни воды в стаканах, когда система придет в равновесие? Площади дня стаканов — $S_1$, площади поршней — $S_2$.

Ф14. Две трубы с сечениями $S_1$ и $S_2$ соединены друг с другом и заткнуты поршнями, массы которых $m_1$ и $m_2$ (рис. 5). После взрыва в пространстве между поршнями поршни вылетают из труб. Один из них вылетел со скоростью $v$. С какой скоростью вылетел второй, если: a) трубы закреплены и не могут перемешаться, b) трубы не закреплены и их общая масса равна $M$? Тренем поршней о стенки труб пренебреть.

Ф15. Через стенки холодильника проникает за час количество тепла $Q = 190$ килокалорий. Температура внутри холодильника $T_1 = +5^\circ\text{C}$, а в комнате $T_2 = +20^\circ\text{C}$. Какую минимальную мощность потребляет этот холодильник от сети?

В. Н. Копылов

Рис. 3

Рис. 5.