Ещё раз об Алёнушке и её братце Иванушке

9

Рис. 8. Этот многогранник нельзя описать около сферы

из того, что на сфере лежат все его вершины, кроме одной, следует, что он вписанный.

Простейшим примером абсолотно неуписываемого многогранника является куб с одной среданной вершиной (см. рис. 1).

В заключение остается сознаться, что Штейнц доказал отнюдь не ту теорему, которая называется его именем, но двойственное к ней утверждение, которое мы формулируем в виде задачи.

Задание 9. Пусть все грани многогранника М можно разбить на черные и белые маски, чтобы

I. Число черных граней было больше, чем число белых.
II. Никакие две черные грани смешны не являются.
Доказать, что многогранник М нельзя описать вокруг сферы.

На рисунке 8 изображен один из самых простых примеров абсолотно неуписываемого многогранника — куб, у которого среданы все вершины.

БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Известно, что $x < 1$. Попробуйте выяснить, чем равно бесконечное произведение $(1 + x + x^2 + \dots + x^9) \times (1 + x^{10} + x^{20} + \dots + x^{90})$ $(1 + x^{100} + x^{200} + \dots + x^{900})$.

ОТКУДА ВЗЯЛИСЬ РАВЕНСТВА?

Попробуйте выяснить, на чем основаны числовые равенства:
$$\frac{41^3 + 25^3}{41^3 + 16^3} = \frac{41 + 25}{41 + 16},$$
$$\frac{73^3 + 37^3}{73^3 + 36^3} = \frac{73 + 37}{73 + 36},$$
$$\frac{81^3 + 18^3}{81^3 + 63^3} = \frac{81 + 18}{81 + 63}.$$

Не сможете ли вы сами составить такое равенство с другими числами?

ЕЩЕ РАЗ ОБ АЛЕНУШKE И ЕЕ БРАТЦЕ ИВАНУШKE

Братец Иванушка и сестрица Аленушка живут на полуострове (см. рис.). Иванушка живет в домике A, Аленушка — в домике B. Иванушка собрать в гостин к Аленушка и взял с собой два ведра, чтобы зачерпнуть один киселя из кисельной реки, другим — молока из молочной. Какой маршрут должен выбрать Иванушка, чтобы кратчайшим путем попасть к Аленушки?