[Задачи Ф42—Ф47; М36—М40]

40

ЗАДАЧНИК

Глава 1

Рис. 1.

Ф42. Канат перекинит через блок, причем часть каната лежит на столе, а часть — на полу. После того как канат отпустил, он начал двигаться. Найти скорость установившегося равномерного движения каната. Высота стола равна h.

Ф43. Найти давление в центре жидкой планы радиуса R, если жидкость нежимаема и имеет плотностьρ.

Весоизная физическая олимпиада, 1969 г.

Ф44. Два дельфина плывут навстречу друг другу. Один из них издает звук частотыω. Какой частоты звук слышит другой дельфин, если скорости дельфинов относительно воды одинаковы и равны v? Скорость звука в воде и.

Весоизная физическая олимпиада, 1968 г.

Ф45. Сферический конденсатор, заполненный диэлектриком и заряженный до некоторой разности потенциальов, разряжается через свой диэлектрик. Каким будет магнитное поле токов разряда в пространстве между сферами?

Ф46. На мячик с высоты 1 м падает кубик, подскакивающий затем почти на 1 м. На какую высоту подскакивает мячик? На какую высоту подскочит мячик, если на него с высоты 1 м упадет точно такой же мячик?

Г. Л. Комкин

Ф47. Если над идеальным газом совершается процесс ABC (рис. 1), то ему сообщается количество теплла Q. Какое количество теплла сообщается газу при процессе ADC?

Московская городская физическая олимпиада, 1970 г.

М36. Докажите, что на плоскости нельзя расположить семь прямы и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямы и на каждой прямой лежали три точки.

М37. В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате (стороны которого идут по линям сетки) по модулю не превосходит единицы. Докажите, что тогда существует такое число c, что сумма чисел в любом прямогольнике (стороны которого идут по линям

41

сетки) не больше $c$; другие слова, что суммы чисел во всех прямогольных иках ограничены. Докажите, что можно взять $c=4$. Можно быть, вам удastore уличить эту оценку (например, доказать, что наше утверждение верно для $c=3$ или даже для $c=2$)?
Ю. И. Ионин

M38. Окружность, построенная на высоте $AD$ прямогольного треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает катет $AB$ в точке $K$, а катет $AC$ в точке $M$. Отрезок $KM$ пересекает высоту $AD$ в точке $L$. Известно, что отрезки $AK$, $AL$ и $AM$ составляют геометрическую прогрессию (т. е. $AK/AL=AL/AM$). Найдите острыые углы треугольника $ABC$ (рис. 2).
Л. М. Лоповок

Рис. 2.

M39. Докажите, что целые неотрицательные числа $x, y$ удовлетворяют уравнению
$$x^2 - mxy + y^2 = 1$$
(где $m$ — данное целое число, больше единицы) тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ — соседние числы последовательности

$$\varphi_0 = 0, \quad \varphi_1 = 1, \quad \varphi_2 = m,$$
$$\varphi_3 = m^2 - 1, \quad \varphi_4 = m^3 - 2m,$$
$$\varphi_5 = m^4 - 3m^2 + 1, \quad \dots,$$
в котором $\varphi_{k+1} = m\varphi_k - \varphi_{k-1}$ для всех $k \geqslant 1$.

Например, все решения уравнения $x^2 - 3xy + y^2 = 1$ в целях числа $0 \leqslant x < y$ — это пары $(0, 1)$; $(1, 3)$; $(3, 8)$; $(8, 21)$ соседних членов последовательности $0, 1, 3, 8, 21, 55, \dots$ определяемой условиями $\varphi_0 = 0, \quad \varphi_1 = 1, \quad \varphi_{k+1} = 3\varphi_k - \varphi_{k-1}$ для всех $k \geqslant 1$. (Этот красный факт был использован в работе Ю. Матиясевича, посвязываенной 10-й проблеме Гильберта, о котором расссказывалось в предыдущем номере «Квантта».)

M40. Найдите сумму
$$1 \cdot n + 2 \cdot (n - 1) + 3 \cdot (n - 2) + \dots$$
$$\dots + (n - 1) \cdot 2 + n \cdot 1.$$

Попробуйте решить следующую, более общую задачу: найти сумму
$$S_n, k = [1 \cdot 2 \dots k] \times$$
$$\times [n(n - 1) \dots (n - k + 1)] +$$
$$+ [2 \cdot 3 \dots (k + 1)] \times$$
$$\times [(n - 1)(n - 2) \dots (n - k)] +$$
$$+ [3 \cdot 4 \dots (k + 2)] \times$$
$$\times [(n - 2)(n - 1) \dots (n - k - 1)] + \dots$$
$$\dots + [(n - k)(n - k + 1) \dots (n - 1)] \times$$
$$\times [(k + 1)k \dots 2] +$$
$$+ [(n - k + 1)(n - k + 2) \dots n] \times$$
$$\times [k(k - 1) \dots 1].$$

В. Н. Березин