Премии «Кванта»

Квант 1971, №9 с. 35, 36, 38 Тег 9BN5

Редакция журнала получила более 2000 писем с решениями задач, помещенных в разделе «Задачник «Кванта». Среди авторов этих писем редакцияная коллегия отбрала школьников, регуляро присылавших особенно оригинальные и удачные решения. Они нагружаются годовой подпиской на журнал «Квант» на 1972 год.

Вот имена победитель нашего конкурса:

Дмитрий Григорьев — Ленинград, школа-интернат № 45 при ЛГУ;
Юрий Оболонков — Воронеж, школа № 58;
Эдуард Туркевич — Черновцы, школа № 9;
Михаил Прегер — Томск, школа № 51;
Аркадий Черняк — Минск, школа № 50;
Леонид Брагинский — Фрунзе, школа № 61;
Виктор Кривицкий — дер. Клетное Борисвского р-на Минской обл.;
Александр Григорян — Баку, школа № 211;
Григорий Зайцев — Гагра, школа № 2;
Иван Гричик — Давид-Городок Брестской обл., школа № 1;
Александр Жуков — Кировск Харцизского р-на Донецкой обл., школа № 11;
Анатолий Анищенко — Сарапул, школа № 13 Удмуртской АССР;
Евгений Губарев — Москва, школа № 144.

Для доказательства утверждения 1) мы указем такую стратегию первого игрока, которая не зависит от ходов второго гарантийет, что разность оставшихся двух чисел будет не меньше 32. Эта стратегия описывает очень простое: при каждом ходе вычеркивать числа через одно, то есть вычеркивать второе, четвертое, … число из оставшихся (мы считаем, что числа расположены в порядке возрастания). тогда после 1-го хода разность между любыми соседними из оставшихся чисел будет не меньше 2, после 2-го — не меньше 4, после 3-го — не меньше 8, после 4-го — не менее 16 и после 5-го — не менее 32.

Для доказательства утверждения 2) достаточно указать стратегию второго игрока, которая не зависит от ходов первого позволит ему принграть не больше 32. Она состоит в следующем. Первым ходом он вычеркивает все числа, меньшие 512, или все числа, большие 512 (ясно, что или тех, или других осталось не больше 256). После этого разность между крайними из оставшихся чисел будет не больше 512. Аналогично вторым ходом он может добиться того, что все оставшиеся числа будут находиться только в одном из отрезков [0,256]; [256, 512]; [512, 768]; [768, 1024], то есть уменьшить разность между крайними числами по крайней мере до 256. Точно так же 3-м ходом он может уменьшить эту разность до 128, 4-м — до 64 и 5-м — до 32.

Нибольное решение этой задачи присладаю Ю. Оболонков из Воронежа и В. Лузей из Москвы.

Разумеется, аналогично можно было доказать, что если игра состоит из n ходов и начинается с чисел 0, 1, 2, … 2^n, то «цена игры» равна 2^n. Но детальное исследование подобной игры, начинающейся с произвольного множества чисел (не обязательно арифметической прогрессии) представляется собой существенно более трудную задачу.

M62

Докажите, что для любого нечетного числа a найдется такое натуральное b, что 2^b — 1 делится на a.

Вот наиболее короткое доказательство.

Рассмотрим числа 2^0 — 1, 2^1 — 1, …, 2^a — 1. Этих чисел (a+1). Какие-то два из них дают одинаковые остатки при делении на a, потому что различных таких остатков существует всего a (это рассужждение называется «припилл Дирихле», о его применениях рассказываюсь в статье А. Орлова в «Кванте» № 7). Пусть, скажем, числа 2^k — 1 и 2^m — 1 дают одинаковые остатки при делении на a и k < m. Тогда число (2^m — 1) — (2^k — 1) = 2^k (2^m — k — 1) делится на a и, поскольку a нечетно, 2^m — k — 1 делится на a.

Точно так же доказывается и более общий факт: если натуральные числа a и c взаимно просты, то найдется такое натуральное b, что c^b — 1 делится на a. Многие читатели заметили, что утверждение задачи вытекает из следующей теоремы Эйлера*): для любых натуральных a и c число c^φ(a)+1 — c делится на a, где φ(a) — количество натуральных чисел, меньших a и взаимно простых с ним, и даже приводят формулу для вычисления «функции Эйлера»

$\varphi\left(p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_r^{\alpha_r}\right) = \left(p_1^{\alpha_1} - p_1^{\alpha_1}-1\right) \times \left(p_2^{\alpha_2} - p_2^{\alpha_2}-1\right) \cdots \left(p_r^{\alpha_r} - p_r^{\alpha_r}-1\right).$

Правильные решения присладали А. Черняк из Минска, Э. Туркевич, Ш. Слепой из Черновцов, Г. Левин из Куйбышева, Н. Демиденко из д. Кольбовка Гомельской обл., А. Пухальский из Москвы, Ю. Семенок из п. Мирный Краснодарского края и других читателей.

M63

Можно ли из 18 плиток размером 1×2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямоугольника сторон квадрата и душшего по краям плиток? (Например, такое расположение плиток, как на рисунке 2, не годится, так как здесь есть «шов» AB.)

Предположим, что нам удалось выложить квадрат 6×6 плитками 1×2 без «шов». Тогда каждая из десяти прямы, разрезающих этот квадрат

*) См., например, книгу И. М. Виноградова «Основы теории чисел» ГИТТЛ, М., 1953 или другой учебник по теории чисел.

Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.

рат на клетки 1×1, должа пересекать по крайней мере одну литку 1×2. Нетрудно доказать, что каждая такая прямая пересекает обязательное четное число литок. Действительно, она отрезает от квадрата 6×6 прямойник 6×k, состоящий из четного числа клеток 1×1; этот прямойник содержит некоторое количество целых литок 1×2 и еще некоторое четное количество клеток 1×1 — половинок литок, пересеченных прямой (рис. 3).

Не если каждая прямая пересекает не менее двух литок, то общее число литок должно быть не меньше 2·10=20, а их всего 18.

Таким образом, мы доказали, что квадрат 6×6 разрезать требуемым образом на литки нельзя.

Правильное решение этой задачи присладали А. Костюрин из Московской области, И. Кашанов из Уфы, В. Шварц из Ленинграда и другие. В большинстве из присладаных писем обсуждается общий вопрос: когда прямойник m×n можно разрезать на литки 1×2 без швов. Легко доказать, что прямойник 2×n, 3×n и 4×n разрезать таким образом нельзя. Если же m≥5, n≥5 и mn четно (последнее условие, разумеется, необходимо), то во всех случаях, кроме рассмотренного выше 6×6, нужно разбиение существует. Для доказательства достаточно придумать разбиение прямойников 5×6 и 6×8 и затем, что из разбиения прямойника m×n легко получить разбиение прямойника (m+2)×n (рис. 4 и 5).

Н. Б. Васильев

Ф72

Почему в марте продолжительное дня меняется быстро, чем в декабре?

Изменение продолжительное дня связано с углом наклона земной оси к плоскости орбиты движения Земли вокруг Солнца (≈23,5°). Если бы земная ось была перpendикулярна к плоскости орбиты, продолжительное дня практически не менялась бы.

Наклон оси в пространстве не меняется, а так как Земля врашает вокруг Солнца, то она видна с Солнца по-разному (рис. 6) — Солнце различно время освещает участки земной поверхности, и продолжительное дня не постоянна. Очевидно, что в декабре и июне, когда в сельном полушарии продолжительное дня соответственно минимально или максимально, а северный полос наклонен от Солнца или к Солнцу, положение земной оси относительно Солнца меняется очень медленно. Medленное меняется и продолжительное дня. В то же время в марте и centябре положение оси меняется быстро — быстро меняется и продолжительное дня.

Интересно написать примерный график зависимости продолжительное дня от времени года. Грубо — это синусоида (рис. 7). Скорость изменения продолжительное дня, очень быстро, пропорциональная тангенсу уг

ну давления, оказываемого молекулами расторенного вещества. Это давление носит название осмотического давления. Условие равновесия жидкости в сосудах — это не равенство гидрорастатических давлений по обе стороны перегородки, а равенство, грубо говоря, давлением молекул расторителя.

Молекуры расторенного вещества ведут себя подобно молекулам газа. Они стремятся занять как можно больший объем, передвинув перегородку (им это удалось бы, если бы перегородка была подвижной). Но так как перегородка закреплена, то смешается не она, а уровень растора.

Аналогия между поверхением молекул газа и молекул расторенного вещества полная. Если растор слабый, то молекуры расторенного вещества находится дальше друг от друга и слабое взаимодействуют друг с другом — так же как и молекуры идеального газа (они взаимодействуют друг с другом только стальваясь). Поэтому осмотическое давление $p$ должно быть связано с объемом растора $V$ , температурой $T$ и числом $n$ молей расторенного вещества такой же формули, как и давление идеального газа:

$pV=nRT$

(R — газовая постоянная).

Этот закон был открыт и доказан экспериментально Вант-Гофформ. Осмотическое давление не зависит от природы расторенного вещества и определяется лишь концентрацией растора. Для сильных расторов (расторов большой концентрации) можно записать уравнение, подобное уравнению Ван-дер-Ваальса для реализации газа. Если у нас имеются в расторе разные вещества, то, по аналогии с газами, осмотическое давление равно сумме осмотических парциальных давлений отдельных расторенных веществ. Аналогично с идеальным газом будет вести себя растор в полеяжексти: именно таким же будет распределение числа молекул по высоте. Это позволило Перрену

«взвесить» atom (см. статью М. П. Бронштейна «Как был взвешен atom», «Квант» № 2, 1970 г.).

Энергия на поднятие жидкости береется из тепловой энергии движения частичек расторенного вещества. Тоно так же, как и настоящий газ, «газ» частичек расторенного вещества, расширяясь и совершая работу, охлаждается. При этом, конечно, охлаждается весь растор.

Осмотическое давление играет очень важную роль в жизни человека, животных и растений. Оболочки многих органов представляют собой полупроницаемый перегородку — например, стены кровеносных сосудов и кишечника, повреждность корней растений и так далее. Именно осмотическое давление обусловливает объем веществ.

Эту задачу правильно решили многое читатели: В. Соколов (пос. Мышанск Гомельской обл., ВССР), C. Арасланова (пос. Нижневинко Куменского р-на Кировской обл.), H. Федин (Омск), H. Коленко (Бондар Одеской обл.), H. Егоров (с. Майя Мечинокангаласского р-на, ЯАССР), M. Козловский (Москва), C. Панфинь (Новосибирск), П. Хмара (Ворошилговград), А. Фиалков (Караганда), Т. Рудакова (Иркутск), О. Ким (Ульяновск), В. Тапезян (с. Мщарское Гудатского р-на, Абхазская АССР), К. Кирилов (Минусинск Краснойрского края), О. Маслок (Новомиргород Кировоградской обл., УССР), М. Максименко (Балакля Харьковской обл.), А. Верецада (Орехов Запорожской обл., УССР), С. Иваков (Москва).

Ф74

Два конденсатора включаются последовательно. Первый имеет смесь $C_1$ и расчитан на максимальное напряжение $U_1$ , второй — смесь $C_2$ и расчитан на напряжение $U_2$ . К какому напряжение можно подключить эту батарею конденсаторы?

Так как конденсаторы соединены, то их заряды одинаковы, а смесь батареи равна $C = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2}$ . Если на батарею конденсатор подано напряжение $U$ , то ее заряд будет равен $q = CU = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2} U$ . Этот заряд не должен