Кинематика

47

Как вы решаете задачи на кинематику? Сколько формулы вы помните? 5? 10? 15? Очень часто решение задачи начинается с выписания большого количества формул — формулы для пути,ройденного телом за $n$-ю секунду, формулы для отношения путь,ройденных телом за последовательные промежутки времени, формулы для разности квадратов скорости тела и так далее. Затем эти формулы пытаются подставлять друг в друга, делить, множить… Иноготаким способом удается найти ответ. Но чаще всего задачи на кинематику — непредодолимая преграда. Это, пожалуй, один из самых трудных разделов для абитриентов. Хотя должен быть один из самых простых. Давайте разберемся в нем.

Будем сначала говорить о примолинейном движении тела. Если прямую, вдоль которой оно движется, принять за ось координат $OX$ (точка $O$ — начало координат), то положение тела определяется его координатой $x$. При движении с постояннымускорением координата тела меняется со временем по закону

$$x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2},$$

(*)

где $x_0$ — начальная координата тела (при $t=0$), $v_0$ — его начальная скорость и $a$ —ускорение. Уравнение () и есть кинематическое уравнение движения тела. Конечно, уравнение () — проекция на ось $x$ векторного уравнения для радиуса-вектора $r$, определяющего положение центра масс тела (рис. 1). Поэтому проекция на ось $OX$ тех векторных величины, которые направлены так же, как и ось $OX$, положительные, а тех, которые направлены в противоположную сторону, — отрицательны. Это нужно учитывать, подставляя эти величины в уравнение (*).

Подчеркием еще раз: уравнение (*) — уравнение для координаты тела, а не для пути,ройденного им. Путь — положительная скалярная величина, которая не может уменьшаться. В то же время, координата тела может вести себя как угодно. Например, если $v_0$ положительное и $a=-a_0$ отрицательно (вектор скорости $v_0$ направлен в ту же сторону)

49

то есть в момент падения на землю скорость камня равна начальной, но направлена в противоположную сторону.

Уравнение (**) позволяет легко найти время $t_\pi$ подьema камня. Так как в точке максимального подьема скорость камня равна нулю, то

$$0 = v_0 - gt_n.$$

Отсюда $t_\pi = \frac{v_0}{g}$. Время подьема камня равно половине времени полета.

Мы видим, что два уравнения — для координаты и для скорости позволяют получить ответ на любой вопрос относительно движения камня. Именно их и нужно всегда помнить.

Решим еще одну задачу.

Задача 2. Своободно падающее тело за последнюю секунду прошло $1/3$ своего пути. Сколько секунд ($n$) и с какой высоты ($h$) подало тело?

Прием за начало координат точку бросания, а ось координат направим вертикально вниз. Тогда координата тела зависит от времени по закону

$$x = \frac{gt^2}{2}$$

($v_0 = 0, x_0 = 0, a = g$). Если тело подало $n$ секунд, время падения равно $n \cdot \tau$ ($\tau = 1$ сек), и

$$h = \frac{gn^2\tau^2}{2}.$$

(1)

Через время $(n-1)\tau$ после начала движения координата тела была равна $\frac{2}{3}h$. Поэтому

$$\frac{2}{3}h = \frac{g(n-1)^2\tau^2}{2}.$$

(2)

Решая уравнения (1) и (2) совместно, найдем,

$$n = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \approx 5,45, \quad h \approx 145 \text{ м}.$$

Можно было выбрать и другую систему координат, например, связанную с землей и осью координат, направленной вверх. Тогда уравнение движения тела было бы таким:

$$x = h - \frac{gt^2}{2} \left( x_0 = h, v_0 = 0, a = -g \right).$$

Здесь при $t=n\tau$ $x=0$, а при $t=(n-1)\tau$ $x=\frac{1}{3}h$.

Можно выбрать и еще одну систему координат — с началом в точке бросания и осью, направленной вверх. В этой системе

$$x = -\frac{gt^2}{2};$$

при $t=n\tau$ $x=-h$, при $t=(n-1)\tau$ $x=-\frac{2}{3}h$.

В данной задаче выбор системы координат не очень существен, но часто, удачно выбрать систему координат, можно значительно упростить решение.

Решим, например, такую задачу.

Задача 3. С каким промежутком времени $\tau$ оторвались от крыши две джедевые капли, если через время $t_0$ после начала падения второй капли расстояние между каплями было равно $l$?

Эту задачу можно, конечно, решать в системе координат, связанной с крышей (сделайте это сами).

Но удобнее перейти к системе координат, связанной со второй капли. Так как капли падают с одинаковымускорением относительно земли, то их относительноеускорение равно нулю: капли джедевые друг относительно друга равномерно. Их относительная скорость равна скорости первого капли относительно земли в момент отрыва второго капли $v_0=g\tau$. Уравнение движения первого капли в системе координат, связанной со второй, выглядит так:

$$x = v_0 t + x_0,$$

где $x_0 = \frac{gt^2}{2}$. При $t=t_0$ $x=l$, то есть

$$l = g\tau t_0 + \frac{gt^2}{2}.$$

Решив это уравнение, получим ответ:

$$\tau = \sqrt{t_0^2 + \frac{l}{g}} - t_0.$$

Решим еще такую задачу.