Задачи М116—М120; Ф128—Ф132

31

ЗАДАЧИ

M116. Докажите, что если соединить середины последовательных сторон выпуклого $n$-угольника $M$ (рис. 1), то у полученного многоугольника
a) перimeter не меньше половины перimeter $M$ ($n \geqslant 3$);
6) площадь не меньше половины площади $M$ ($n \geqslant 4$).
Г. А. Гальперин

Рис. 1.

M117. Несколько человек в течение $t$ минут наблюдается улиткой. Каждый наблюдается за нейровно 1 минуту и затем, что за эти минуту улитка проползларовно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдания. Какой намененный и какой наблюдайший путь могла она проползти за эти $t$ минут?

Попробуйте решить эту задачу сначала для небольших значений $t$, например для $t=2,5$.

Н. Н. Константинов

M118. С четырех сторонами шахматной доски размером $n \times n$ построена кайма шириной в два поля.

Докажать, что эту кайму можно обойти шахматным конем, повышав на каждом поле один и только один раз, в том и только в том случае, когда $n-1$ кратно 4.

Ю. И. и Ю. Ю. Соркиньи

M119. Докажите, что если на каждой грани выпуклого многоугольника выбрать по точке и проведи из этой точки вектор, который направлен перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону и длина которого равна площади этой грани, то сумма таких векторов будет равна нулю.

Н. Б. Васильев

M120. В некоторых множестве введена операция *, которая каждым двум элементам $a$ и $b$ этого множества ставит в соответствие элемент $a*b$ из этого множества. Известно, что

1. для любых трех элементов $a$, $b$ и $c$
   $a*(b*c) = b*(c*a)$;
2. если $a*b = a*c$, то $b=c$;
3. если $a*c = b*c$, то $a=b$.
   Докажите, что операция *
   a) коммутативна, то есть для любых двух элементов $a$ и $b$
   $a*b = b*a$;
4. ассоциативна, то есть для любых трех элементов $a$, $b$ и $c$
   $(a*b)*c = a*(b*c)$.

С. А. Яновская

32

Рис. 2.

Ф128. Тонкую однородную палочку классит так, что она опирается на две плоскости, наклоненные к горизонту под углами α и β; угол между плоскостями равен 90° (рис. 2). Что будет проинсходить с палочкой? Каким будет ее окончательное положение, если трение между палочкой и плоскостями очень мало?

Б. Б. Буховцев

Ф129. Тело нахождения в точке A внутри неподвижной полой сферы. В каком случае только скорее достигает нижней точки B сферы: если оно будет скольить по поверхности сферы или если оно будет скольить вдоль прямой AB? Тренние в обихх случаях пренебрежимо мало, начальная скорость тела равна нулю и расстояние AB много меньше радиуса сферы.

Г. Л. Комкин

Ф130. Внутри гладкой сферы нахождения малейший загруженный шарик. Какой величины загрязнно

поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке? Диаметр сферы d, заряд шарика q, его масса m.

Г. Л. Комкин

Ф131. Легкая стеклянная трубка длинны l и поперечного сечения s, заполненная целиком рутью и запаянная с одного конца, расположена горизонтально в резервуаре со рутью вблизи поверхности рутей. Какую минимальную работу надо совершить для того, чтобы перевести трубку в вертикальное положение, в котором она будет касаться открытым концом поверхности рутей?

Ф132. Цилинд массы m раскрутили и помещили между двумя закрыпленными плоскостями, расположенными под углом 2α друг к другу (рис. 3). Зная, что коэффициент трения между цилиндом и плоскостями равен k, определять силы, с которых цилинд действует на стенки.

Рис. 3.

34

Заметим, что в более современных учебниках алгебры обычно понимают равенство многочленов как равенство соответствующих коэффициентов (после приведения к стандартному виду $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$). Если все равенства в нашей задаче понимают так, то в переходе от (3) к (4) слово «очевидно» нужно заменить словом «по определению». Большое подробному разговору о том, что такое многочлен, как точно определить различные операции над многочленами, мы посвятим отдельные заметки в «Кванте» в будущеем году.

А. Л. Тоом

M75

a) Доказать, что в любом выпуклом многограннике сумма длины всех ребер больше утроенного диаметра. (Диаметр многогранника называется наиболее низким всевозможным отрезков с концами в вершинах многогранника).

b) Доказать, что для любых двух вершин $A$ и $B$ выпукло многогранника найдется три ломаны, каждая из которых идет по ребрам многогранника из $A$ и $B$ и никакие две не проходят по одному ребру.

b) Доказать, что если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин $A$ в $B$ найдется ломана, и душая из $A$ в $B$ по оставшимся ребрам.

г) Доказать, что в задаче 6) можно выбрать три ломаны, попарно не имеющие общих вершин, за исключением концов $A$ и $B$.

Очевидно, что из задачи г) следует задача 6), из 6) следует в) и a)*. Мы приведем набросок коротких доказательств a) и b) и решим г).

a) Пусть $AB$ — диаметр $M$. Спроектируем все ребра $M$ на $AB$. Посмотрим, сколько точек проектируется в какую-нибудь точку $C$, лежащую внутри $AB$. Если через $C$ проведи плоскость $P$ перpendикулярно $AB$, то $P$ пересечет $AB$ по выпуклом многоугольнику. Вершины этого многоугольника (а их не меньше трех!) суть точки пересечения $P$ с ребрами $M$ и, значит, в каждую внутреннюю точку отрезка $AB$ проектируется не менее трех ребрами $M$. Отсюда легко вывести утверждение задачи a).

При решении задачи b) и г) мы будем использовать следующую интуитивно очевидное утверждение: для любых двух вершин $A$ и $B$ выпукло многогранника $M$ существует путь из $A$ в $B$ по ребрам $M$. Доказательство мы оставляем читателю.

*) Заметим еще, что с помощью теоремы Форд—aФалерсона о максимальном потоке и минимальном разрезе (см. «Квант» № 4, 1970 г., стр. 24, задача 4) легко изв〕 вывести 6); достаточно применить эту теорему к сети, образуемой ребрами многогранника (какое ребро считается дважды—«туда» и «обратно»).

b) Пусть разрезаны ребра $r_1$ и $r_2$. Очевидно, что существует путь $L_1$, соединяющий концы $r_1$ и не проходящий через $r_2$. Действительно, к ребру $r_1$ прилагают две грани. Ребро $r_2$ не лежит хотя бы на одной из этих граней, поэтому за $L_1$ можно взять путь по ее границе. Аналогично, для ребра $r_2$ существует путь $L_2$. Расмотрим теперь две произвольные вершины $A$ и $B$. Как было сказано выше, существует путь $L$, и душая из $A$ в $B$ по ребрам $M$. Заменив в пути $L$ ребро $r_1$ на путь $L_1$, а ребро $r_2$ на путь $L_2$ (если, конечно, эти ребра встречаются в $L$), мы получим искомый путь по оставшимся ребрам. Заметим, что этот путь может иметь саморесчетения, которые, впрочем, нетрудно установить.

г) Как было сказано выше, для любых двух вершин $A$, $B$ выпукло многогранника найдется путь из $A$ в $B$, и душий по ребрам. Назовем длиной такого пути число ребер, из которых он состоит, и назовем расстоянием между $A$ и $B$ — обозначим его через $d(A,B)$ — длину кратчайшего (по числу ребер) пути. Для доказательства утверждения задачи мы фиксируем точку $A$ и будем проводить индукцию по расстоянию между точками $A$ и $B$. Если $d(A,B) = 1$, то $A$ и $B$ лежат на одном ребре, и утверждение очевидно, так как можно пройти из $A$ в $B$ по ребру $AB$ и граним двух граней, прилагающих к $AB$. Предположим, что утверждение доказано для всех вершин, лежащих от $A$ на расстоянии $n-1$. Пусть $d(A,B) = n-1$ и $d(B',B) = 1$. Расмотрим все грани, содержащие $B'$. Множество всех ребер, принадлежащих всем таким граям состоит из «радушков» (ребер с концом $B'$) и «кольца» (которое образуют остальные ребра). Однако из вершин кольца является точка $B$. По предположению индукции существует путь $l_1, l_2, l_3$ из $A$ в $B'$, не имеющие попарно общих точки, кроме концов. Очевидно, что каждый из этих трех путь проходит хотя бы через одну вершину кольца. Такие вершины кольца называются вершины $A_1$ и $A_2$ (одна из них может быть вершиной $B$). Возможны два случая.

Случай 1. Занять вершины $A_1$ и $A_2$ принадлежат разным пути, скажем $l_1$ и $l_2$. Тогда мы строим путь из $A$ в $B$ следующим образом. Первая путь: из $A$ в $A_1$ по $l_1$, затем из $A_1$ в $B$ по колцу (заметим, что по построению точки $A_1$ на последнем участке мы не пересекаем с путими $l_2$ и $l_3$. Второй путь: из $A$ в $A_2$ по $l_2$, затем из $A_2$ в $B$ по колцу. Третьй путь: из $A$ в $B'$ по $l_3$, затем по ребру $B'B$. Очевидно, что построенные три путь попарно не имеют общих точки, кроме концов.

Случай 2. Занять вершины $A_1$ и $A_2$ принадлежат одному пути, скажем $l_1$.

35

Постотрим тогда, какая из этих вершин встреется равные при движении от $A$ к $B^1$ по $l_1$ и возьмем отрезок $l'_1$ пути $l_1$ от $A$ до первого из этих вершин. После этого расстоянием три пути $l'_1, l_2, l_3$, расстоянием множества вершин колбаца, занятых пути $l'_1, l_2, l_3$ и проведем снова предыдущие расчудения применительно к этим трамутам. Если нам встретился случай 1, то мы построим искомые пути описанным выше способом, если же снова встретился случай 2, то мы расстоянием нового тройку пути $l'_1, l_2, l_3$. Если и для этой тройки возникнет случай 2, то мы расстоянием нового тройку и т. д. Поскольку мы при этом отходим по колбцу все дальше и на колбце есть вершины, принадлежшие пути $l_2$ и $l_3$, то на неекотором шаге мы получим случай 1 и искомые пути из $A$ в $B$ будет построены. Задча г) решения. Верно еще более сильное утверждение: для любых двух вершин $A$ и $B$ можно найти три цепочки граней, не имеющие общих граней и в каждой из которых первая грань содержит вершину $A$, последняя — вершину $B$ и соседние грани имеют общее ребро.

А. Г. Кушииренко

M76

В компании из $n$ человек каждой две незнакомых имеются двух общих знакомых, а каждые две знакомых не имеются больше общих знакомых. Докажите, что в этой компании каждой знаком с одинаковым числом людей имеются общее ребро.

Для каждого человека $X$ будем через $m_X$ обозначать число его знакомых.

Пусть $A$ и $B$ знакомы (рис. 1). Обозначим через $M_A$ множество знакомых $A, M_B$ — множество.

Рис. 1.

Жество знакомых $B$. Докажем, что

(1) $M_A$ и $M_B$ не имеют общих элементов,
(2) каждый из $M_A$ имеетровно одного знакомого в $M_B$ и
(3) каждый из $M_B$ имеетровно одного знакомого в $M_A$.

Утверждение (1) сразу следует из условия: $A$ и $B$ не могут иметь общих знакомых. Докажем (2); (3) доказывает аналогично. Пусть $X \in M_A$ (эта запись означает «$X$ принадлежит множеству $M_A$»). Либо $X$ есть $B$, и тогда, согласно (1), он имеет в $M_B$ только одного знакомого — самого $A$. Либо $X \neq B$, тогда, согласно (1), $X$ незнаком с $B$, и, следовательно, $X$ и $B$ должны иметь, кроме $A$, ещеровно одного общего знакомого, то есть $X$ имеетровно одного знакомого в $M_B$, что и требуется доказать. Из (2) и (3) следует, что между множествами $M_A$ и $M_B$ можно установить взаимно однозначное соответствие, поэтому $m_A = m_B$.

Итак, если $A$ и $B$ знакомы, то $m_A = m_B$. Если же $A$ и $B$ незнакомы, то у них есть общий знакомый $C$, и, следовательно, $m_A = m_B$.

Нанболее четкие решения такого типа прислали нам $A$. Зинченko из Архангельска, В. Лозинов и А. Слинкин из Москвы, А. Каримов из Уфы, К. Радюнов из Иркутска, В. Пронин из Одессы, В. Файмелеви из Армавира, С. Грицорян из Баку.

Многие читатели решили задачу инчете. Пусть для каждой человека $A$ через $M_A$ обозначется множество его знакомых, через $N_A$ — множество не знакомых с $A$. Тогда каждому элементу из $N_A$ можно поставить в соответствие пару элементов из $M_A$ (тех, с кем он знаком), и нетрудно доказать, что это соответствие между множеством $N_A$ и множество всех возможных пар элементов $M_A$ будет взаимно однозначным. Следовательно, если в $M_A$ содержится $m_A$ элементов, то в $N_A$ их $\frac{m_A(m_A-1)}{2}$, а всего в компании $n = 1 + m_A + \frac{m_A(m_A-1)}{2}$ людей. Это равенство верно для любого человека $A$. Но уравнение

$$n = 1 + x + \frac{x(x-1)}{2}$$

имеет (при $n > 1$) только один положительный корень, следовательно, $m_A$ одно и то же для всех $A$. (Аналогично решение разобран в книге А. Лемана «Сборник задач Московских математических оптимизации», задача XXIII, 11, 10, 3).

Интересно выяснить, при каких $n$ такие компании действительно существует. Полного ответа на этот вопрос мы не знаем. Мы видели, что $n = \frac{m(m+1)}{2} + 1$, где $m$ — количество знакомых одного человека, но не при любом таком $n$ существенно нужная компания. Например, нетрудно доказать,

37

Рис. 6.

Такой ответ прислада О. Заумыслова (Зеленоград Московской обл.), А. Зеленый (Изманл Одесской обл.), В. Рожкин (Пермь), Н. Федин (Омск), А. Демидов (Москва), А. Жуков (Кировск Харизского р-на Донецкой обл.), В. Ковтун (Киев), А. Воробьев (Торжок Калининской обл.).

Ф85

Можно ли проверить с идеальным газом замкнутый процесс (цикл) так, чтобы точки A и B (рис. 7) лежали на одной изотерме?

Температуры $T_1$ и $T_2$, которые соответствуют изотермы, проведенные на рисунке, и объем $V_1$ (или $V_3$) заданы. Температуры $T_1$ и $T_2$ определяют две изотермы:

$$pV = \frac{m}{\mu}RT_1 \quad \text{and} \quad pV = \frac{m}{\mu}RT_2$$

(m — масса газа, μ — масса одной его грамм-молеклы, R — газовая постоянная). Так как объем $V_1$ задан, то мы знаем точки C и E цикла: объем $V_1$ и $V_3$ ($V_3 = V_1 \frac{T_2}{T_1}$), температуры $T_1$ и $T_2$ и давление $p_2 = \frac{m}{\mu}RT_1V_1$.

Все остальные точки цикла можно определить.

Рис. 7.

Вид только тогда, когда мы задам одну из точек — B или A.

Будем считать, что у нас задан объем $V_2$. Он определяет точку B ($P_B = P_2$, $V_B = V_2$, $T_B = T_1 \frac{V_2}{V_1}$) и точку D ($V_D = V_2$, $T_D = T_2$, $p_D = p_3 = \frac{m}{\mu} \frac{R T_2}{V_2}$). Точка A лежит на изохоре AD и на изобаре AC. Поэтому $p_A = p_3 = \frac{m}{\mu} \frac{R T_2}{V_2}$, $V_A = V_1$ и $T_A = T_2$, $\frac{V_1}{V_2}$.

Температуры газа в точках A и B одинаковы, если $V_2$ выбрано так, что

$$T_2 \frac{V_1}{V_2} = T_1 \frac{V_2}{V_1},$$

то есть если $V_2 = V_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$. Температура газа в точках A и B цикла в этом случае равна $T = \frac{p_2V_2\mu}{mR} = \sqrt{T_1T_2}$ (так как $p_2V_2 = p_2V_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$, а $p_2V_1 = \frac{m}{\mu} RT_1$).

Правильное решение прислада H. Федин (Омск).

Ф86

В опыте Милликена положение капель массой $10^{-5}$ e определяется с точностью до 10 мк. Какова неточность определения ее скорости?

В силу принципи неопределенности $\Delta p \Delta x \geq h$. Поэтому $\Delta v \geq \frac{h}{m \Delta x}$. То есть скорость капли не может быть изменена с точностью большей, чем $10^{-16}$ см/сек.

Такой ответ прислада B. Глуховский (Свердловск), B. Ковтун (Киев) и A. Зломник (Жуковский Московской обл.).

И. Ш. СLOBODEЧИЙ

Ф87

Источник сферических волн движения по поверхностям воды со скоростью u. Нарисуйте картины волн на поверхностные воды, когда скорость волн v больше и меньше скорости источника.

Волны,рождаемые на поверхностные воды неподвижим источником; имеют вид концентрических окружностей (рис. 8, a). Если источник движения, то волны, которые он порождает в более поздние moments времени, смешены в направлении движения источника. Пусть скорость источника меньше скорости волн. Тогда фронт волны будет обснять источник, и картина волн будет такой, как показано на рисунке 8, b. Однако если скорость источника больше скорости распространения волн, то фронт волны уже не смо-

38

Рис. 8.

жет обогнать источник, и волны будут пространяться внутри угла, образуемого двумя лучами, исходящими из источника (рис. 8, в). Величина угла легко находится из рисунка. За то время, за которое источник прохит расстояние AO, фронт волны, испущеной в точке A, прохит расстояние AB, причем $\frac{AB}{AO} = \frac{v}{u}$. Поэтому

$$\sin \alpha = \frac{v}{u}.$$

Правильное решение прислали А. Зломник (Жуковский Московской обл.), В. Ковтун (Киев), Н. Федин (Омск), А. Демидов (Москва), А. Зеленьй (Измаил Одесккой обл.), О. Замыслова (Зеленоград Московской обл.), Г. Зайцев (Гагра), В. Белов (Вологда), Н. Сиделев (Циропинск Херсонской обл.), О. Трунов (Джалал-Абад Кирг. СССР), Г. Фурман (Черновцы УССР), С. Арасланова (Нихне-Ивкино Куменского р-на Кировской обл.).

Л. Г. Асламаов

Ф88

Сосуд, частную заполненный грутью, движется с горизонтальнымускорением, вследствие чего поверхности грутина наклона к горизонту под неокоторым углом. Сверху сосуд закрыт крышкой. Как изменится этот угол, если сосуд доверху заполнить водой?

Рассмотрим элемент жидкости с массой Δm (рис. 9). На него действуют две силы: сила тяжести Δmg и сила N — равнодействующая сил давления со стороны окружающих жидкости. Под действием этих сил элемент жидкости движется горизонтально сускорением a. Это означает, что равнодействующая сил Δmg и N направлена горизонтально и равна Δma. Чтобы это было возможно, сила N должна составлять с вертикальной угол α такой, что tgα = $\frac{a}{g}$.

Эти рассуждения не зависит от того, где именно выделен элемент жидкости. Выберем

Рис. 9.

его на поверхности. Тогда ясно, что он находится в равновесии относительно сосуда и воды только в том случае, если поверхности жидкости перpendикулярна силе N: иначе составляющая силе N, параллельная поверхности жидкости, заставит выделенный нами элемент жидкости dwигать вдоль поверхности. Итак, поверхности жидкости в движущемся сосуд наклона к горизонту под углом α = arctg $\frac{a}{g}$.

Пусть теперь элемент жидкости с массой Δm находится внутри жидкости. Предположим, что мы помещили вместе него тело с таким же объемом, но с плотностью, меньше плотности воды. Ясно, что в этом случае наше тело будет сплывать по направлению силе N. Следоватьно, в отличие от покоящегося сосуда линии постоянного давления не горизонтальны, а составляют с горизонтом угол α. Очевидно, таким же будет линни постоянного давления и в рode, которое мы должны в сосуд. Поэтому ясно, что угол наклона границы раздела жидкости будет таким же, как и угол наклона поверхности грутии до доливания в сосуд воды: α = arctg $\frac{a}{g}$.

Это и естественно. Наблюдаете, находящаяся на тележке, скажет, что жидкость ведет себя так, как будто сосуд поконтся, а силаяжестии иускорение свободного падения g’ в его системе координат направлены под углом α к вертикали. В покоящемся сосуд граница раздела жидкости перpendикулярна силе жидкости вне зависимости от формы сосуда.

Правильное решение прислали А. Александров (Глазов, УАССР), В. Белов (Вологда), Я. Интин (Речница Гомельской обл., ВССР), В. Ковалев (Коммунарск Ворошилговградской обл.), А. Каримов (Уфа), С. Араслова (Нихне-Ивкино Куменского р-на Кировской обл.), А. Демидов (Москва), Н. Федин (Омск), Е. Долев (Москва), Л. Брацинский (Фрунзе).

И. Ш. Слободецкий