47
НЕПРИКОСНОВЕННЫЙ КОРОЛЬ
Ранее мы рассмотрели множество самых разнообразных математических задач на шахматной доске. Тепер мы остановимся на задачах, которые также можно отнести к математическим, однako их шахматное содержание богаче, чем раньше. Другими словами, нас будут интересовать элементы математики, которые встречаются непредставенно в самом шахматной игре.
Сначала напомним связанную с расстояниями особенность «гейметри шахматной доски». Поля e1 и a5 на рисунке 1 находится на «диагональном» расстоянии. Король с e1 может достичь поля a5 за 4 хода. Оказывается, путь по диагонали является самым коротким из всех возможных; никаким другим матрирутом его заменить нельзя.
Тепер рассмотрим два поля, расположенные на одной прямой:
поля e1 и e8 на вертикали e. Двигаясь по ней, король e1 может достичь поля e8 за 7 ходов. Ясно, что матрирует короля мог бы быть и другим. Существуетровно 393 (!) способа, позволяющих достичь поля e8 за те же 7 ходов. Король может двигаться к полю e8 смыми причудливыми изгзагообразными матрирами, лишь бы они находились в рамках очередной на рисунке 1 фигуры и лишь бы король переходил на каждом ходе с одной горизонтали на следующую. Для доказательства
Рис. 1.
можно подсчитать число матрирутов, содержащих 0, 2, 4 или 6 ходов по диагонали. Воспользовавшись некоторыми сведениями из комбинаторики (см. «Кваант» № 1, 1971 г.), легко его найти:
Итак, движение короля по прямой в случае надобности можно заменить движением по ломаной линии. Вот практическая иллюстрация этого важного соображения.
На рисунке 2 пещка a7 беззащита, и единственный шанс черных заключится в том, чтобы на нейзбежное Кр:a7 ответить Крс7 с ничей, так как белый король не сможет выйти из заточения. Путь белого короля до пещки заняет 5 ходов. Однако существует лишь один выигрывший матрирует: 1. Кpf7—e6! Кpb2—c3 2. Креб—d5!!, и не-
48
Рис. 2. И. Майзелис, 1921 г. Белые начало и выигрывать.
возможность хода 2… Крd4 оказывает для черных губительной. (Не проходит, например, 1. Крб Крс3 2. Крd6 Крd4 3. Крс6 Кре5! 4. Кpb7 Крd6 5. Кр: a7 Крс7).
Конечно, на практике встречаются и более тонкие случи.
Математики уже давно отчаялись создать структуру математической теории шахматной игры и ограничиваются лишь частными вопросами. Впрочем, исследование многих шахматных позиций носит полное математический характер. Приведем несколько примеров, все они относятся к теории пешечных окончаний.
В позиции на рисунке 3 белый король не приннимает участия в игре.
Рис. 3.
ре, и все зависит от того, успевает ли черный король догнать пешку h3. Неопытные шахматисты обычно рассуждают так: пешка идет сюда, король туда, пешка сюда, король туда…, то есть, что называется «на пальцах». При этом они, как правило, путаются (особенно когда на доске есть еще какиенибуды пешки) и просчитываются. Оказывается, исход игры очень легко оценить при помощи «правила квадрата»: достаточно выяснить, может ли король при своем ходе вступить в «квадрат» пешки, в данном случае изображенный на рисунке 3: c3—c8—h8—h3. Еще
Рис. 4.
проще проводится мысленно всего одну линию — диагональ квадрата (h3—c8). Из этого следует, что в позиции на рисунке 3 черные при своем ходе делают ничью (попадают в квадрат), а при ходе противника проигрывают.
Рассмотрим теперь позицию на рисунке 4. Черные при своем ходе сразу проигрывают, так как белый король идет на b6 и съедает пешку a6. Таким образом, белым надо передать очередь хода противнику. Как это сделать? После 1. Крd5 Крс8 ничего не дает 2. Крd6 (2… Крd8 3. c7 + Крс8 4. Крс6 пат!), а 2. Крс5 Крс7 приводит к исходной позиции. Выиграш темпа достигается при помощи так называемого «метода треугольника». Для данного случая этот треугольник (c4—d4—d5) изображен на том же рисунке 4.
После 1. Крс5—d5 Крс7—c8 2. Крd5—d4 Крс8—b8 3. Крd4—c4! Крb8—c8 4. Крс4—d5 белые достигают своей целей, так как на 4… Крс8—d8 теперь выигравает 5. Крd5—d6, а на 4… Крс8—c7—5. Крd5—c5.
Обратимся теперь к позиции на рисунке 5a. Хотя у белых здесь две лишные пешки, выиграть черезвычайно сложно. Для анализа позиций с блокированной пешкой структурой применяются различные методы: «критические расстояния Бианкетти», «координатная система Эберса» и другие. Общая теория блокированных пешечных окончаний носит название теории соответствующих полей. Исследование каждой конкретиной позиции можно рассматривать как решение тонкой математической задачи, но общей математической теории пока создается неудалось. Разумеется, и мы не в состоянии оста-
49
новиться в наших заметках на всех деталях теории соответствных полей*), ограничимся лишь исследованием позиции рисуника 5a, отмещая результаты анализа на рисунке 56.
Белые намерены проверять либо через поле d6, либо через f4, черный король должен статься успеть воспрепятствовать обомим этим планам. Таким образом, если белый король попадает на c5, то черный должен встретить его на поле e7 (при королева на d7 черные не успевают зашиитть пешку g4: Kpc5—d4—e3—f4). Другими словами, полю с5 соответствует поле e7. При положении белого короля на f4 черный должен успеть на h5, то есть полю f4 соответствует поле h5.
Очень важным для белых является поле d4. Нетрудно убедиться, что в этом случае король
*) Подробнее об этом можно прочесть, например, в книге «Шахматные окончания», т. 1, под редакцией Ю. Авербаха, М., 1956 г.
должен стоять на f7, чтобы на Kpd4—c5 ответить Kpf7—e7, а на Kpd4—e3 иметь ответ Kpf7—g6. С поля с4 белые могут пойти как Kpc5, так и Kpd4. Черный король в этом случае должен быть расположен на f8, откуда возможно как Kpe7 (при Kpc4—c5), так и Kpf7 (при Kpc4—d4). С поля d3 возможны ходы Kpc4, Kpd4, Kpe3. Поэтому полю d3 соответствует поле g7. С поля с3 возможны ходы Kpd4, Kpc4, Kpd3. При этом единственное поле, откуда черный король может попасть на f7, f8, g7, — это поле g8.
Обходя последовательно все наиболее важные поля, имеющиеся в распоряжении белого короля, и подвижная поля соответствия для его черного коллеги, получаем рисунок 56. Соответствующие поля здесь обозначены одним и тем же номером. Заметим, что найdenное соответствие не однозначно, что и видно на рисуке. Например, полям b4 и d4 для белого короля соответствует одно и то же поле f7 для черного.
Теперь решение нахождения почти автоматически. При этом следует руководствовать лишь одним правилом: ставить белого короля на такое поле, которое соответствует в данной момент поле нахождения черного короля, либо на такое поле, на соответствующее которое черный король не может попасть в один ход. Так как полю b1 соответствует поле g7, полю b2—h7, а полю a2—h8, то решает только 1. Kpa1—a2!!. Последел. Kpb1? Kpg7! или 1. Kpb2? Kph7! черные в обихах случайных добавются ничей.
Поскольку дальнейший ход игры прост, то приведем лишь основной вариант (если черные играют по-другому, то, как вы без труда установите сами, они проигрывают еще быстрое):
- Kpa1—a2!! Kph8—h7
- Kpa2—b2! Kph7—g7
- Kpb2—b3! Kpg7—g8
- Kpb3—c3! Kpg8—f8
- Kpc3—c4! Kpf8—f7
- Kpc4—d4! Поlectнице, изобравенной на рисуке 5a, белый король совершил «путь наверх», и черные беззащиты.
Очевидно, с помощью рисука 56 легко оценить позицию и при других начальных положениях королев, но только для данного печечной конфигурации.