История совершенных чисел продолжается

венство $OH \leq \frac{R^2}{2r}$, где $O$ — центр окружности, описанной около треугольника, $R$ — радиус этой окружности, $H$ — ortоцентр треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности. (Ортоцентр треугольника называется точка пересечения его высот или их продолжей.)

Задание 3. Доказать, что $AB \cdot CD + BC \cdot DA \geq CA \cdot BD$, где $A, B, C, D$ — произвольные точки плоскости.

Задание 4. Доказать, что $AB \cdot AM \cdot BM + BC \cdot BM \cdot CM + CA \cdot CM \cdot MA \geq AB \cdot BC \cdot CA$.

Задание 5. Вывести из точки десства $\frac{a}{(a-b)(a-c)(a-d)} + \frac{b}{(b-c)(b-d)(b-a)} + \frac{c}{(c-d)(c-a)(c-b)} + \frac{d}{(d-a)(d-b)(d-c)} = 0$ неравенство $OA \cdot BC \cdot BD \cdot CD + OB \cdot CA \cdot CD \cdot AD + OC \cdot AB \cdot AD \cdot BD \geq OD \cdot AB \cdot BC \cdot CA$, где $O, A, B, C, D$ — произвольные (различные) точки плоскости.

Указания

1. Равенство имеет место для точек $O, A, B$, расположенных на одной прямой.

2. Воспользоваться тем, что если $H$ — ortоцентр треугольника $ABC$, а центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с началом координат, то $h = a + b + c$ ($a, b, c, h$ — комплексные числа, соответствующие точкам $A, B, C, H$). Заметить, что $h - a = k_1(b + c)$, $h - b = k_2(c + a)$, $h - a = k_3(a + b)$, где $k_1, k_2, k_3$ — вещественные числа. Из этой системы следует, что $k_1 = k_2 = k_3 = 1$.

3. Рассмотреть точдество $(m - a)(b - c) + (m - b)(c - a) + (m - c)(a - b) = 0$.

4. Рассмотреть точдество $(m - a)(m - b)(a - b) + (m - b)(m - c) \times (b - c) + (m - c)(m - a)(c - a) = (a - b)(b - c)(c - a)$.

ИСТОРИЯ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ ПРОДОЛЖАЕТСЯ

В «Кванте» № 8 за 1971 год был опубликован рассказ об удивительной истории совершенных чисел. Напомним, что совершенным называется натуральное число, равное сумме всех своих делителей. Первые таким числом являются 6, затем идет 28. Всего до последнего времени было найдено 23 совершенных чисел.

И вот стало известно следующое число. Согласно сообщению журнала «Scientific American» (июнь 1971 г.) американский математик Б. Таекerman получил самое большее из известных сегодня простых чисел, а именно

$$2^{19937} - 1$$

(полная запись этого числа содержит 6002 цифр). Однако времени указано и новое совершенное число:

$$2^{19936} (2^{19937} - 1)$$

(это число записывается с помощью 12 003 цифр). Вычисления заняли 40 минут машинного времени одного из самых крупных совершенных вычислительных компилясов.

Однако и это открытие не прошедает никаких закономерностей в появлении совершенных чисел. В частности, полученное совершенное число, как и все предыдущие, — четное.

Н. Розов