Решение задач по электростатике. (Закон Кулона. Напряжённость электрического поля)

62

Решение задач по электростатике
(Закон Кулона. Напряженность электреского поля)

Г. Я. Мякишев

Задчи по электростатике часто предлагаются на вступительных экзаменах. Причем они весма различны по методам решения.

Задчи по электростатике (в отличие, например, от задчи по механике и молекулярной физике) могут вызвать дополнительные затруднения, связанные с использованием различных систем единниц. Наряду с системой СИ в электростатике продолжают пользоваться абсолютной системе единниц. Различные обихистемы состоит в том, что основные формулы, используемые для решения задач, имеют коэффициенты, отличноцессия величины и размерность. Причем именно в абсолютной электростатической системе СГСЭ коэффициенты формул электростатики имеют самый простой вид. Поэтому электростатические задачи удобнее решать в этой системе.

Закон Кулона

Первая группа задач связана с непредседательным применением закона Кулона.

В однородной среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ два точных тела с зарядами $q_1$ и $q_2$ на расстоянии $R$ взаимодействуют с силой

$$F = k \frac{q_1 q_2}{\varepsilon R^2}.$$

(1)

В системе СГСЭ $k=1$, а в системе СИ $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, где $\varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi \cdot 10^9} = 8.85 \times 10^{-12} \frac{\phi}{M}$ электреческая постоянная.

Единница заряда в СИ — кулон содержит $3 \cdot 10^9$ единиц заряда СГСЭ.

Кулоновские силы направлены вдоль линей, соединяющих заряжен-

62

Рис. 1

63

так как он лежит против угла в 30°. Катет DE треугольника ADE равен $\frac{l}{4}$. Сторона $AC = 2AE = 2\sqrt{\frac{l^2}{4} - \frac{l^2}{16}} = \frac{l\sqrt{3}}{2}$.

На каждый шарик со стороны соседнего действия сила $F_1 = \frac{4q^2}{3l^2}$ (рис. 2). Сила, действующая со стороны любых двух шариков на третий,

$$F = 2F_1 \cos \alpha = \frac{4q^2}{l^2\sqrt{3}}.$$

Шарик находится в равновесии, когда горизонтальная составляющая натяжения нити $T' = T\sin \alpha = F$, а вертикальная составляющая $T'' = T\cos \alpha = mg$ (рис. 1). Отсюда $tg \alpha = \frac{F}{mg}$ и $q = \frac{l}{2}\sqrt{mg} \approx 100$ ед. СГСЭ.

При решении задач на закон Кулона надо иметь в виду, что этот закон относится к взаимодействию точных заряженных тел и неприменим к телам произвольной формы. Точными же можно считать тела в том случае, когда их геометрические размеры значительно меньше расстояния между ними. Поэтому при вычислении сил взаимодействия двух тел, одно из которых или оба не является точным, нужно мысленно разделить большое тело на маленькие так, чтобы каждый элемент можно было рассматривать как точный заряд.

Рис. 2.

Рис. 3.

З а д а ч а 2. Tonкое проволочное колюто радиуса $R$ несет электричческий заряд $q$. В центре колюца расположен одномименный с $q$ заряд $Q$, причем $Q \gg q$. Определить силу, растягающего колюто.

Так как $Q \gg q$, то взаимодействием между отдельными элементами колюца можно пренебречь. Выделим малый элемент колюца длины $R\alpha$ (рис. 3). Стороны заряда $Q$ на него действует сила $F = \frac{Q\Delta q}{R^2}$, где $\Delta q = \frac{q\alpha}{2\pi}$.

Сила натяжения колюца $T$ уравновешивается $F$. Из условия равновесия, учитывая, что $\alpha$ мало, имеем $F = 2T \sin \frac{\alpha}{2} = T\alpha$.

Искомая сила натяжения $T = \frac{Qq}{2\pi R^2}$.

Задча решалась в системе СГСЭ. В системе СИ

$$T = \frac{Qq}{8\pi^2\varepsilon_0 R^2}.$$

64

Напряжение электрического поля

Взаимодействие между неподвижными заряженными телами осуществляется посредством электрического поля. Количество характеристикой его является вектор напряжения $E(x, y, z)$, представляющий собой отношение сил, действующего на точный заряд, к величины этого заряда. Сила, действующая на заряд $q$, равна $*$)

$$F = qE. \tag{2}$$

При решении задач на вычисление напряжения электрического поля прежде всего необходимо определить напряжение поля точного заряда. Она равна

$$E = \frac{q}{\varepsilon R^2} \text{ в системе } \text{СГСЭ}, \tag{3}$$

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R^2} \text{ в системе } \text{СИ}.$$

Если имеется совокупность точных зарядов, то напряжение поля равна геометрической сумме напряженияностей, создаваемых отдельными зарядами.

Для вычисления напряжения поля заряженного тела конечных размеров его нужно мысленно разбит на отдельные элементы и вычислять искомую напряжение как геометрическую сумму напряженияностей, создаанных всеми элемами. Но лишь в случае простой симметрины в распределении зарядов на теле задача определения напряжения резается

*) Формула (2) всегда проста, но физическое понимание силы $F$ содержит моменты, на которых следует остановиться. Электрическое поле действует на заряженные тела, сообщая имускорение или компенсируя другие силы, если тела не подводились. Но сами заряды не действуют на поле с какой-либо силой; они его только создают. Электрическое поле не является объektом, подчиняющимся механике Ньютона, и соответствно силой (2) не является объейной силой в смысле механики Ньютона. В уравнении движения (втором законе Ньютона) она играет ту же роль, что и обычные механические силы: тяготение, упругость, треннее. Но третьий закон Ньютона к ней неприменим вообщеше.

достаточно просто. Например, если заряд распределен по сфере симметрично, то внеша наряженность поля определяется формулой (3). Причем под $R$ надо помнить расстояние от центра сферы, а не от ее поверхности. Элементарное и соответственное не очень строгое доказательство этого приведено в новом учебном пособии «Физика. 9» Б. Б. Буховцева, Ю. Л. Климонтовича, Г. Я. Мякишева. Там же можно посмотреть, как выводится формула для наряженности поля беспонченой заряженной плоскости с плотностью поверхности заряда $\sigma$:

$$E = \frac{2\pi\sigma}{\varepsilon} \left( \text{СГСЭ} \right) \text{ или}$$

$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0\varepsilon} \left( \text{СИ} \right). \tag{4}$$

З а д а ч а 3. Выведите формулу (4), исходя из того, что одноподное поле в плоском конденсаторе представляется собой сумму полей, созданных зарядами обихих пластин, а его емкость $C = \frac{\varepsilon S}{4\pi d}$, где $S$ — площадь обкладок, $d$ — расстояние между ними.

У положительное и отрицательное заряженные пластин конденсатора поля отличаются, очень знаком; причем внутри конденсатора они складываются, а вне его компенсируют друг друга. Таким образом, $E = 2E_1 = \frac{J}{d}$, здесь $E_1$ — поле одной пластины, $U$ — разность петенциальов между ними. В свою очередь

$$U = \frac{q}{C} = \frac{4\pi qd}{\varepsilon S} = \frac{4\pi d}{\varepsilon} \left( \text{так как } \sigma = \frac{q}{S} \right),$$

откуда

$$E_1 = \frac{2\pi\sigma}{\varepsilon}.$$

Однородное электрическое поле между заряженными пластинами создается частиц в таких поле движутся так же, как обычные тела под действием силы тяготения влизации Земли. Разница состоит

65

лишь в том, что Земля сообщает всем телам одно и то же ускорение $g \approx 980 \text{ cm/sek}^2$, а ускорение частицы в электрическом поле зависит от отношения заряда к массе:

$$a = \frac{q}{m} E.$$

(5)

Задание 4. Математический математик представляет собой шарик массы $m=1$ е, подвешенный на шелковой нити длиной $l=36$ см. Как изменится период колбаный матрика, если, сообщив шарик положительный или отрицательный заряд $q=\pm 20$ ед. заряда СГСЭ, помещить матрицку в однородное электрическое поле с направлением $E=10$ ед. направлением СГСЭ, сливыые линейного направления вертикального вниз.

Без электрического поля период колбаный матрика равен $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \approx 1,2$ сек. В электрическом поле ускорение матрика будет равно $g + \frac{q}{m} E$. Следовательно,

$$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g + \frac{q}{m} E}} = 2\pi \sqrt{\frac{lm}{gm + qE}}.$$

Если $q=+20$ ед. заряда СГСЭ, то $T_1 \approx 1,1$ сек и $T_1-T_0 \approx -0,1$ сек.

В случае $q<0$ $T_2 \approx 1,35$ сек и $T_2-T_0 \approx 0,15$ сек.

Задание 5. В сильном однородном электрическом поле направленно $E$ на одной сливой линии в точках 1 и 2, расположенных на расстоянии $l_0$ друг от друга, находящего протон и электрон (рис. 4). Начальная скорость обихача равна нулю. Чему будет равно расстояние между частицами спустя время $t$ после начала движения?

Выберем начало отсчета в точке 2, где находится электрон, и за положительное направление примем направление направления электрического поля. Пренебрегая взаимодействием частиц друг с другом (сильное поле), можно считать движением электрона и протона равную ускоренными. Тогда, согласно известной kinematической формуле, координата протона в момент времени $t$ будет равна

$$x_1 = l_0 + \frac{e}{m_\pi} E \frac{\tau^2}{2},$$

где $e$ — заряд, $m_\pi$ — масса протона. Koордината электрона

$$x_2 = -\frac{e}{m_\pi} E \frac{\tau^2}{2},$$

где $m_\pi$ — масса электрона. Искомое расстояние

$$l = x_1 - x_2 = l_0 + \frac{eE\tau^2}{2} \frac{m_\pi + m_\pi}{m_\pi m_\pi} \approx \approx l_0 + \frac{eE\tau^2}{2m_\pi},$$

так как $m_\pi \gg m_\pi$.

Проводники в электристическом поле

При решении большого числа задач нужно знать, как ведут себя в электростатическом поле проводники. Можно показать, что направленность поля внутри проводника равна нулю, а на его поверхности направлена перpendicularно проводнику. Заряд внутри проводника также равен нулю; весь он сосредоточен на поверхности проводника.

Поверхность заряд имеет наиболее плотность на острые, где кривизна поверхности максимальная. Наглядное подтверждение этому можно получить, решив следующую задачу.

Задание 6. Два проводящих шарик радиусов $r$ и $R$ соединены длиным проводником. Найти относение поверхности плоскости зарядов шариков, если система сообщен неокоторий заряд.