Вниманию семиклассников! Всесоюзная заочная математическая школа при МГУ объявляет приём учащихся на 1973—1974 учебный год

48

В ВЗМШ принимаются только ученики седьмых классов. Школьники, проживающие в Москве, Ленинграде и их пригородах, в ВЗМШ не принимаются. Занятия в школе начинаются с 1 сентября.

В ВЗМШ три курса. Ученики, успешно окончившие школа, получат свидетельство о ее окончании. Обучение в школе бесплатное.

В этом номере «Кванта» предлагаются задачи, которые служат вступительный контрольной работы в заочные математические школы при МГУ и ЛГУ. Те, кто хочет поступить в ВЗМШ, должны выслать решение этих задач не позднее 10 марта 1973 года. После проверки работы (примерно в июле 1973 года) будет сообщено, приняты ли вы в ВЗМШ.

Хотя некоторые из вступительных задачи по внешнему виду отличются от обычных школьных, для их решения не требуется никаких дополнительных знаний по математике. Для того, чтобы быть принятым в школе, не обязательно решать все задачи без исключения. При оценке работы будет учитываться не только количество решенных задач, но и качество решения. Решение каждой задачи должно быть обосновано. Ответ без всяких обяснений может быть не зачитан. Если в задание возможно несказать не будет!:

Работы должны быть выполнены на русском языке в ученической терради в клатеку. Вступительные работы обрабатно не выслаляются. Происм при пересылке не сворачивать терради в трудку. В конверт вместе с террадию нужно выполнить листок бумаги размером 14×6 см с написанным в нем вашим почтовым адресом (мы наклейем его на конверт, когда будет посылать ответ). На обложку терради наклейте лист клетчатой бумаги, разграфив и заполнить его по следующему образцу (инначaleва работа проверяется не будет!):

Вологодская Фамилия, имя, год рождения: Иванов Петр, 1959 г.
Школа (полное название): Школа № 2, г. Тотмыц
Класс: 7 класс «Б»
Фамилия, имя, отсутствую учитель математики: Никаноров Николай Алексеевич
Место работы и должность родитель: отец — шофер автобазы № 3, мать — домашняя хозяйка.
Полный почтовый адрес: г. Тотмаа, ул. Ленина, д. 3, кв. 8

Результаты проверки (заполняется проверяющим).

Школьники, проживающие в Архангельской, Калининградской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Псковской области, Коми и Карельской АССР, Белоруссий, Латвийской, Литовской и Эстонской ССР, должны выслать работы по адресу: Ленинград, П-228, ул. Савушкина, 61, Специнтернат при ЛГУ, заочная школа, на конкурс.

Школьники, проживающие в Курской, Белгородской, Воронежской и Тамбовской области выслать работы по адресу: Воронеж, Университет, ФЗМШ, на конкурс.

Школьники, проживающие в остальных областях и ресурсных ССР, должны выслать работы по адресу: Москва, В-234, МГУ, мехмат, ЗМШ, на конкурс.

49

Задание
вступительный
kontrolной работы
в ВЗМШ в 1973 году

1. На плоскости даны две точки, $A$ и $B$ ($AB = 5,3$ см). Блока может прыгнуть в любом направлении на 1 см. Может ли она занесколько прыжков допрыгать из точки $A$ в точку $B$?

2. Существуют ли такие целые числа, что при зачеркивании первой цифры они уменныются в 57 раз?

3. Стальную плитку размерми $73 \times 19$ обвели карандашом на бумаге. Найдите центр получения прямого угловника, имея в распоряжении только эту плитку и карандаш.

4. Двенадцать разбиников отравлиц царя Додона. Добыча оказылась большей — почти 30 000 золотовых. Стали они делить деньги поровну, но один золотовой оказылся лишьим. Разбиники передали из-за того, кому достанется лишьий золотовой, и ненароком одного убили. Оставшиеся 11 разбиников стали тогда делить золотовой поровну между собой, но все повторилось снова: один золотовой оказылся лишьим, разбиники передались, одного убили, стали делить золотово на десятьх, тогда снова один золотовой оказылся лишьим и т. д. Когда в живых осталось шестеро разбиников, самый умный из них, го именно Иван Замашкин, который все время стоял в стороне и думал, сказал: «Стойте! Дальше все снова будет так же! Отдайте лучшие лишьий золотовой мне, а остальное разделим поровну». Разбиники удивились, отдали ему лишьий золотовой, а остальное разделили поровну. Прав ли был Иван Замашкин? Сколько было золотовых?

5. На доске было написано 4 числа. Их сложили всевозможными способами по два и получили следующие шесть сумм: 2, 4, 9, 9, 14, 16. Какие числа были написаны на доске?

6. Можно ли расставить девять чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по кругу так, чтобы сумма любых трех чисел, стоящих подряд, делилась бы на 3 и была: a) больше 9; b) больше 12?

7. Треугольник $ABC$ после поворота около вершины $A$ занял положение $AB_1C_1$.

Докажите, что если прямая $AC$ делит пополам отрезок $BB_1$, то прямая $AB_1$ делит пополам отрезок $CC_1$.

8. Представьте число 203 в виде суммы нескольких положительных слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых тоже равнялось 203.

9. Катеты прямогольного треугольника равны $a$ и $b$. На его гипотенузе как на стороне во внешнюю сторону треугольника построен квадрат. Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра квадрата.

10. На сколько частей могут делить плоскость 4 различные прямые? Для каждой случая нарисуйте пример.

11. Утром Коля и Оля решили полить огород. Коля открыл краан, наполнил свою лейку, и сразу вселд за ним Оля подставила свою лейку под струю. Колина лейка направляется за 15 сек, а Олина — за 10 сек. Нополив свою лейку, каждай из детей тут же начинает поливать огород. Из Колиной лейки вода выливается за 60 сек, а из Олина — за 45 сек. Как только лейка оказывается пустой, каждый из них мгновенно подставляет ее под струю воды, а если в этот момент набирает воду другой, то джидается, пока краан не освободится, и сразу же начинает подставить свою лейку. Когданик не набирает воду, она льется в бочку, стояшую под краан. Если быник не набирал воду, бочка направилась бы за 15 мин. За сколько времени после включения крана направляется бочка, если Коля и Оля все это время поливают огород? Кто первый будет набирать воду после того, как она получается через край бочки?

12. Разложите выражение $x^9+x^4-x-1$ на 5 множителей.