Задачи М261—М265; Ф273—Ф277

48

Задачи

M261—M265; Ф273—Ф277

M261. Обруч радиуса $R$, внесший на неподвижном круге радиуса $r < R$, начинойот катить по этому кругу. Докажите, что точка обруча описывает ту же траекторию, которое описывает снаружи по тому же кругу радиуса $r$ (рис. 1, а, б). (Качение проискодит без скольжения — так, что длины прокатившихся друг по другу дуг равны.)
С. Г. Гиндикин

M262. Какое наиболее число:
a) ладей,
b) ферзей
можно расставить на шахматной доске $8 \times 8$ так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?

B. и Л. Рабинович

M263. Даны два числа $p$ и $q$, большие 1. На сторонах $BC$ и $DC$ прямотolgника $ABCD$ берется точки $P$ и $Q$ так, что $|BC| = p \cdot |BP|$ и $|DC| = q \cdot |DQ|$. При каком отношении длион сторон $AB$ и $AD$ угол $PAQ$ будет иметь наиболее величины? Какова эта наиболее величина в частном случае $p = 2$, $q = \frac{3}{2}$ (рис. 2)?

Э. Г. Готман

M264. В горode одна синяя площать и $n$ зеленьх, причем каждая зеленья площать соедиена улицами с синей и с двумя зеленьми (рис. 3). На каждой из $2n$ улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую

49

Рис. 2.

плошадь можно приехать и с каждой — уехать. Докажите, что с любой плошади этого города можно, не нарушая вредных правил, доехать до любой из остальных.

(Для города, план которого изобранен на рисунке 4, аналогично утверждение было бы неверным.)
Б. Розенитейн, ученик 9 класса

Рис. 3.

Рис. 4.

М265. Диагональ $d$ прямогольного параллелепипеда образует с его ребрами $a, b$ и $c$ углы $\alpha, \beta$ и $\gamma$. Докажите, что $\alpha + \beta + \gamma$ меньше $π$.
М. Л. Гервер

Ф273. Для получения газов при сверхвысоких температурах и давлениях иногда применяется установка, состоящая из закрытого с одной конца цилиндра-ствола и поршня-пулы, влетающей в цилиндр с открытой стороны. При хорошего обработке ствола и пуля удалется добиться малой утечки газа через зазор. Благодаря очень высоким температурам сильно скатые газы в этих условиях еще можно считать идеальным. Оценить верхний предел температуры аргона, подвергнутого скатению в такой установке, если пуля массы $m = 100$ е влетает в ствол, имеющий объем $V_0 = 200\text{ cm}^3$,

с начальной скоростью $v = 250\text{ m/c}$. Начальные температура и давление газа равны соответствию $T_0 = 300^\circ\text{K}$ и $p_0 = 1\text{ atm}$.

Ф274. Решите задачу Ф232 или прочитите ее решение в этом номере журнала. Какое количество теплла выделится на сопротивлении $R$ после замыкания ключа $K$, если волтамперная характеристика диода будет такой, как показано на рисунке 5?

Рис. 5.

Ф275. На обод массивного колеса массы $M$ надет дополнительный груз малого размера и массы $m$, причем $M : m = 15$. С какой скоростью должен катиться колесо, чтобы оно подпрыгивало?

Ф276. Какие они следует прописать человеку, если в воде он видит нормально?

Рис. 6.

Ф277. Определить период колебаний грузника $C$, шарнирно прикрепленного двумя очень легкими стержнями длины $l$ к стержню $AB$, укрепленному под углом $\alpha$ к горизонту (рис. 6). $\rightarrow BAC = \rightarrow ABC = \beta$. Третий примебречь.