Задачи М311—М315; Ф323—Ф327

46

Задачи

M311—M315; Ф323—Ф327

M311. Из одной бактерии получилось 1000 следующего образом: вначале бактерия разделилась на две, затем одна из двух получившихся бактерии разделилась на две, затем одна из трех получившихся бактерии разделилась на две и так далее. Докажите, что в некоторых моментах существовала такая бактерия, число потоков которого среди 1000 бактерии, получившихся в конце, заключено между 334 и 667.

Д. Ю. Григорьев

M312. В паралелограмм $P_1$ высан паралелограмм $P_2$, в котором в свою очередь высан паралелограмм $P_3$, причем стороны $P_3$ паралелыми сторонам $P_1$. Докажите, что хотя одна сторона паралелограмма $P_3$ по длине не меньше половины паралелной ей стороны $P_1$.

А. А. Григорян

M313. Дан угол с вершиной $O$. Расмотрим множество четырех вершин $M$ паралелограммов ONML, вершины $N$ и $L$ которых лежат на сторонах данного угла, а площадь равна постоянной величины $k$. (Это множество называется zигерболой.) Докажите что на биссертрисе этого угла и на ее продолжении найдется также точки $F_1$ и $F_2$ (где $|F_10| = |0F_2|$) для которых разность расстояний $|F_1M| - |F_2M|$ не зависит от точки $M$.

И. Н. Бронштейн

M314. Среди всех 9-значных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 0, найти такое, для которого разность между самим числом и произведением его цифр:
a) наименьшая;
b) наиболее.

Каков будет ответ для $n$-значных чисел при любом $n$?

А. Г. Лейдерман

M315. На каждом ребре выпуклого многогранника поставлена стрелка так, что в каждую вершину многогранника входит и из каждой выходит хотя бы одна стрелка. Докажите

47

Рис. 1.

Рис. 2.

те, что существуют по крайней мере две грани многогранника, каждую из которых можно обойти по периметру, двигаясь в соответствии с направлениями стрелок на ее сторонах.

А. М. Зубков

Ф323. П-образная капиллярная трубка с длиной колен $l = 10\ см$ и диаметрами $d_1 = 0{,}1\ мм$ и $d_2 = 0{,}2\ мм$ опускается вертикально открытыми концами в воду и погружается настолько, чтобы уровень воды в более узком колене был вровень с уровнем воды в сосуде. Найти положение уровня воды в широком колене. Объемом горизонтальной трубки пренебречь. Атмосферное давление нормальное. Коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma = 70\ дн/см$.

Б. Б. Буховцев

Ф324. Из собирающей линзы с фокусным расстоянием $f = 50\ см$ и диаметром $d = 5\ см$ вырезана полоса шириной $h = 5\ мм$, а оставшиеся части сдвинуты вплотную. На расстоянии $l = 75\ см$ от линзы расположен точечный источник света $S$. На каком максимальном расстоянии от линзы можно наблюдать интерференционную картину?

Л. П. Баканина

Ф325. Частота малых гармонических колебаний тяжелого шара на легкой закрепленной в стене спице (рис. 1, $a$) равна $\nu_1$, а частота коле-

баний этого шара на прикрепленной к потолку пружине (рис. 1, $б$) равна $\nu_2$. Какой будет частота колебаний шара на той же пружине, прикрепленной к спице (рис. 1, $в$)?

И. Ш. Слободецкий

Ф326. Закрытый крышкой сосуд доверху наполнен жидкостью, в которой имеются два пузырька. Как изменится давление в жидкости, если пузырьки сольются? Начальное давление в жидкости $p_0$, коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$, радиус каждого пузырька $r_0$. Считать процесс изотермическим.

Р. Л. Энфиаджян

Ф327. Определить показания электродинамического амперметра $A_1$ и магнитоэлектрического амперметра $A_2$ (рис. 2), пренебрегая их внутренними сопротивлениями, если известно, что на клеммы $A - B$ подается напряжение $u = u_1 + u_2 \sin \omega t$, причем $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$.

Емкостями между клеммами приборов пренебречь; колебания стрелок приборов незаметны.

В. А. Погожев

47