Правильная пирамида

Квант 1975, №3 с. 61, 62, 64, 65 Тег O49A

Правильная парамида
В. К. Егерев, А. Г. Мордкович

Решению многох геометрических задач присущ характер искусственности, что далеко основание немецкой философу прошло века Артуру Шопенгауэру бросить геометрические упрек в использовании «доказательства мышеловок». Действительно, решение геометрических задач содержит мало шаблонов и часто производит впечатление фокуса. Тем более важно знать тот небольшой арсенал «стандартих» приемов, которые все-tаки использоваются при решении этих задач. О некоторых приемах уже шла речь на страницах нашего журнала (см. например, статью И. А. Куши ир «Метод вспомогательного элемента», «Квант», 1974, № 2). В этой статье расссказывается еще об одном таким приеме.

Соотношение между углами в парамиде

На рисунке 1 изображена часть правильной п-угольной парамиды SABCD…, SH—высота, SK—апофема. Введем следующие обозначения:

α—угол между боковым ребром и плоскостью основания;
β—угол между боковой гранью и плоскостью основания;
γ—угол между скежными боковыми ребрами;
φ—угол между скежными боковыми гранями.

«Метод кастрюки»
Начнем с небольшей притчи. Андрею обьясили, как сварить яйцо: «Сними с гвоздя кастрюку, налей туда воды, положи яйцо, зажги газ, поставь кастрюку на газовый плиту и сним через 5 минут после того, как закипит вода». Андрюша так и сделал, все хорошо получилось. Но как-то, проснулись утром, Андрей увидел, что вода в кастрюку уже налита и газ горит. Подумав, он поасил газ, вылил воду и повесил кастрюку на гвоздик, а затем сделал так, как его учили.

Несмотря на каждушуюся несуразность такого поведения, метод возвра-

| Углы | Соотношения | | Область изменения углов | Связи между углами |
|—|—|—|—|—|
| α; φ | $\sin \alpha = \mathrm{ctg}\dfrac{\varphi}{2}\,\mathrm{ctg}\dfrac{\pi}{n}$ | (1) | $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ | |
| α; γ | $\cos \alpha = \sin\dfrac{\gamma}{2}\Big/\sin\dfrac{\pi}{n}$ | (2) | $0 < \beta < \dfrac{\pi}{2}$ | $\gamma < \pi - 2\alpha$ |
| α; β | $\mathrm{tg}\,\alpha = \mathrm{tg}\,\beta \cdot \cos\dfrac{\pi}{n}$ | (3) | $0 < \gamma < \dfrac{2\pi}{n}$ | $\alpha < \beta$ |
| β; γ | $\cos \beta = \mathrm{tg}\dfrac{\gamma}{2}\,\mathrm{ctg}\dfrac{\pi}{n}$ | (4) | $\pi - \dfrac{2\pi}{n} < \varphi < \pi$ | |
| β; φ | $\mathrm{tg}\,\beta = \dfrac{\sqrt{2}\cos\dfrac{\varphi}{2}}{\sqrt{-\cos\varphi - \cos\dfrac{2\pi}{n}}}$ | (5) | | $\varphi > \pi - 2\beta$ |
| γ; φ | $\sin\dfrac{\gamma}{2} = \dfrac{\sqrt{-\cos\varphi - \cos\dfrac{2\pi}{n}}}{\sqrt{2}\sin\dfrac{\varphi}{2}}$ | (6) | | |

Если в правильной пирамиде известен один из этих углов, то можно найти остальные три. Шесть соотношений приведены в таблице. Докажем некоторые из них.

(1) (α; φ). Рассматривая треугольники $LMC$ и $LMD$ , получаем

$\mathrm{tg}\dfrac{\varphi}{2} = \dfrac{CL}{LM}$ , $\sin \alpha = \dfrac{LM}{LD}$ . Значит,

$\mathrm{tg}\dfrac{\varphi}{2}\sin\alpha = \dfrac{CL}{LD} = \mathrm{tg}\,\angle CDL =$

$= \mathrm{tg}\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{n}\right) = \mathrm{ctg}\dfrac{\pi}{n}$ .

(2) (α; γ). Рассматривая треугольники $AHS$ и $AKS$ , получаем

$\cos\alpha = \dfrac{AH}{AS}$ , $\sin\dfrac{\gamma}{2} = \dfrac{AK}{AS}$ . Значит,

$\dfrac{\sin\dfrac{\gamma}{2}}{\cos\alpha} = \dfrac{AK}{AH} = \sin \angle AHK = \sin\dfrac{\pi}{n}$ .

(3) (α; β). Рассматривая треугольники $AHS$ и $SHK$ , получаем $\mathrm{tg}\,\alpha =$

$= \dfrac{SH}{AH}$ , $\mathrm{tg}\,\beta = \dfrac{SH}{KH}$ . Значит, $\dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha}{\mathrm{tg}\,\beta} =$

$= \dfrac{KH}{AH} = \cos \angle AHK = \cos\dfrac{\pi}{n}$ .

Отметим некоторые следствия из этих формул.

Из (1) следует, что $\mathrm{ctg}\dfrac{\varphi}{2} = \sin\alpha \times$

$\times\, \mathrm{ctg}\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{n}\right)$ . Но $\sin\alpha < 1$ , значит,

$\dfrac{\varphi}{2} > \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{n}$ или $\varphi > \pi - \dfrac{2\pi}{n}$ .

Из (2) следует, что $\sin\dfrac{\gamma}{2} = \cos\alpha \sin\dfrac{\pi}{n}$ .

Но $\cos\alpha < 1$ , значит, $0 < \dfrac{\gamma}{2} < \dfrac{\pi}{n}$ или

$0 < \gamma < \dfrac{2\pi}{n}$ . Из этой же формулы вытекает,

$\dfrac{\sin\dfrac{\gamma}{2}}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)} = \sin\dfrac{\pi}{n} < 1,$

что

то есть,

$\dfrac{\gamma}{2} < \dfrac{\pi}{2} - \alpha$ или $\gamma < \pi - 2\alpha$ .

Из (3) следует, что $\dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha}{\mathrm{tg}\,\beta} = \cos\dfrac{\pi}{n} < 1$ ,

откуда $0 < \alpha < \beta$ (что вообще говоря, очевидно).

Задача 6. Найти $S$ , зная $a$ и $\gamma$ .

«Методом кастрюльки» задача решается несложно: воспользовавшись формулами (4) и (8), получим

$S = \frac{na^2\, \mathrm{ctg}\dfrac{\gamma}{2}}{4}.$

Но, пожалуй, еще проще решить задачу непосредственно:

$S = n \cdot S_{\triangle ASB} = n \cdot \frac{1}{2}AB \cdot SK =$

$n \cdot \frac{1}{2}a \cdot \frac{a}{2}\mathrm{ctg}\frac{\gamma}{2} = \frac{na^2\, \mathrm{ctg}\dfrac{\gamma}{2}}{4}.$

Задача 7. Найти $S$ , зная $a$ и $\alpha$ .

Из формулы (3) следует соотношение

$\cos\beta = \frac{\cos\dfrac{\pi}{n}}{\sqrt{\mathrm{tg}^2\alpha + \cos^2\dfrac{\pi}{n}}}$

(проверьте это!). Следовательно,

$S = \frac{na^2\sqrt{\mathrm{tg}^2\alpha + \cos^2\dfrac{\pi}{n}}}{4\sin\dfrac{\pi}{n}}$

Задача 8. Найти $S$ , зная $a$ и $\varphi$ .

Из формулы (5) следует, что

$\cos\beta = \frac{\sqrt{-\cos\varphi - \cos\dfrac{2\pi}{n}}}{\sqrt{2}\sin\dfrac{\pi}{n}}$

(проверьте!). Воспользовавшись формулой (8), получим

$S = \frac{\sqrt{2}\, na^2\cos\dfrac{\pi}{n}}{4\sqrt{-\cos\varphi - \cos\dfrac{2\pi}{n}}}.$

5. Вычисление радиуса описанного шара

Задача 9. Найти $R$ , зная $a$ и $\alpha$ .

Как известно, около правильной пирамиды всегда можно описать шар, центр его $O$ лежит в точке пересечения высоты $SH$ пирамиды с перпен-

дикуляром $FO$ к боковому ребру, проведенным через середину $F$ ребра $AS$ (см. рис. 2). Тогда $\angle SOF =$
$= \angle SAH = \alpha$ . Имеем $AS = \dfrac{AH}{\cos\alpha} =$
$= \dfrac{a}{2\sin\dfrac{\pi}{n}\cos\alpha}$ ; $\quad R = OS = \dfrac{FS}{\sin\alpha} =$
$= \dfrac{AS}{2\sin\alpha};$

$R = \frac{a}{2\sin\dfrac{\pi}{n}\sin 2\alpha}. \tag{9}$

Задача 10. Найти $R$ , зная $a$ и $\beta$ .

Из формулы (3) следует, что

$\sin 2\alpha \cdot \frac{2\,\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\mathrm{tg}\,\beta\cos\dfrac{\pi}{n}}{1+\mathrm{tg}^2\beta\cos^2\dfrac{\pi}{n}}.$

Воспользовавшись формулой (9), получим

$R = \frac{a\left(1+\mathrm{tg}^2\beta\cos^2\dfrac{\pi}{n}\right)}{2\sin\dfrac{2\pi}{n}\,\mathrm{tg}\,\beta}.$

Задача 11. Найти $R$ , зная $a$ и $\gamma$ .

Из формулы (2) следует, что

$\sin\alpha = \frac{\sqrt{\cos\gamma - \cos\dfrac{2\pi}{n}}}{\sqrt{2}\sin\dfrac{\pi}{n}} \text{ (проверь-}$

те!), а $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha =$

$= \frac{\sqrt{2}\sin\dfrac{\gamma}{2}\sqrt{\cos\gamma - \cos\dfrac{2\pi}{n}}}{\sin^2\dfrac{\pi}{n}}.$

Значит,

$R = \frac{a}{2\sin\dfrac{\pi}{n}\sin 2\alpha} =$

$= \frac{\sqrt{2}\,a\sin\dfrac{\pi}{n}}{4\sin\dfrac{\gamma}{2}\sqrt{\cos\gamma - \cos\dfrac{2\pi}{n}}}$

Рис. 2. Рис. 3.

Формулу

$R = \frac{\sqrt{2} \sin \frac{\varphi}{2} \mathrm{tg} \frac{\varphi}{2} \mathrm{tg} \frac{\pi}{n}}{4 \sqrt{1 - \cos \varphi - \cos \frac{2\pi}{n}}},$

выражающего $R$ через $a$ и $\varphi$ , доказательство.

Вычисление радиуса вписанного шара

Как известно, в правильную парамиду всегда можно вписать шар, его центр $O$ лежит в точке пересечения высоты $SH$ парамиды с биссектриской угла $SKH$ (рис. 3). Поэтому проще всего вычисляется радиус вписанного шара в случае, когда задан угол $\beta$ ; с этого случая мы и научем.

Задча 12. Найти $r$ , зная $a$ и $\beta$ .

Имеем $r = OH = KH \cdot \mathrm{tg} \frac{\beta}{2}$ ;

$r = \frac{a}{2} \mathrm{ctg} \frac{\pi}{n} \mathrm{tg} \frac{\beta}{2}. \tag{10}$

Задча 13. Найти $r$ , зная $a$ и $\alpha$ .

Из формулы (3) следует, что

$\mathrm{tg} \frac{\beta}{2} = \frac{\sqrt{\cos^2 \frac{\pi}{n} + \mathrm{tg}^2 \alpha - \cos \frac{\pi}{n}}}{\mathrm{tg} \alpha}.$

Из формулы (10) теперь получаем

$r = \frac{a}{2} \mathrm{ctg} \frac{\pi}{n} \mathrm{tg} \frac{\beta}{2} =$

$\frac{a \mathrm{ctg} \frac{\pi}{n} \left( \sqrt{\cos^2 \frac{\pi}{n} + \mathrm{tg}^2 \alpha - \cos \frac{\pi}{n}} \right)}{2 \mathrm{tg} \alpha}.$

Задча 14. Найти $r$ , зная $a$ и $\gamma$ .

Из формул (4), (10) получаем

$r = \frac{a}{2} \mathrm{ctg} \frac{\pi}{n} \cdot \frac{\sin \left( \frac{\pi}{n} - \frac{\gamma}{2} \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{n} + \frac{\gamma}{2} \right)}.$

Выражение $r$ через $a$ и $\varphi$ най-дите самостояльно.

У праванняя

(МИФИ, 1973). Найти двугранный угол между основанием и боковой грани правильной треугольной парамиды, если двугранный угол между боковым гранями этой парамиды равен $\alpha$ .
(УДН, 1973). Двугранные углы при боковых ребрах правильной 4-угольной парамиды равны $\alpha$ . Найти двугранные углы при боковом ребре равен $2\alpha$ . Найти объем парамиды.
(УГУ, 1973). Высота правильной треугольной парамиды равна $h$ , а расстояние от основания высоты до бокового ребра равно $a$ . Определить двугранный угол между боковым гранями парамиды.
(МАТИ, 1973). Каждый из равных углов боковой грани правильной шестугольной парамиды равен $\varphi$ . Расстояние от середины высоты до бокового ребра равно $l$ . Найти высоту парамиды.
(МАИ, 1973). Высота правильной 4-угольной парамиды равна $h$ , а плоский угол между смежными боковыми гранями равен $\varphi$ . Найти площадь боковой поверхности.
(УДН, 1973). Сторона основания правильной 4-угольной парамиды, описанной около шара радиуса $R$ , равна $a$ . Найти полную поверхность парамиды.
(НГУ, механит, 1969). Двугранный угол при боковом ребре правильной 4-угольной парамиды равен $\alpha$ , радиус вписанного шара $R$ . Найти полную поверхность парамиды.
(ЯПИ, 1973). В шар радиуса $R$ вписана правильная 4-угольная парамидя, у которой плоский угол при вершине равен $\alpha$ . Найти объем парамиды.
(Из писем читаателей) Найти объем парамиды $SABC$ , если высота наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$ , $\triangle ABC$ —равносторонний, в него вписана окружность радиуса $r$ , причем $SC = OC$ и $SO \perp BA$ .

Г. М-ва