Необходимо или достаточно?

Квант 1976, №4 с. 53-54 Тег CF6C

Л. Фладе

Франк давно уже мечтал о собственной железной дороге. И вот в день рождения на столе были разложены рельсы, стрелки, реостат и электровоз с четырьмя вагонами. Был и домик с вывеской «Вокзал». После уроков Франк пригласил в гости своего приятель Мишу. Сначала ребята построили путь, изобразенный на рисунке 1. Франк регулировал скорость поезда с помощью реостата и переводил стрелку № 1 (C₁). Миша переводил остальные стрелки. Ребята заметили, что если стрелка C₁ поставлена в положение «налево» (по ходу поезда), то поезд не может миновать вокзала (красные стрелки на рисунке 1). Такую зависимость можно формularовать в виде «если — то»:

(1) если стрелка C₁ поставлена в положение «налево», то поезд приходит к вокзалу.

Или иначе:

(2) всегда, если C₁ поставлена «налево», то поезд приходит к вокзалу;

(3) положения C₁ «налево» до сма мочи o, чтобы поезд пришел к вокзалу.

*) L. Flade. «Notwendig oder hinreichend — das ist hier die Frage». Журнал «Альфа» (ГДР), 1975, № 2. Перевод и обработка А. Халамайзера.

Посмотрим, не обходимо ли такое положение $C_1$ , чтобы поед пришел к вокзалу? Оказывается, это не обходимо мо: при положении $C_1$ «прямо», а $C_2$ «налево» поед также приед к вокзалу (синне стрелки на рисунке 1).

Переставив отрезок рельсов между стрелками $C_2$ и $C_3$ так, как показано на рисунке 2, ребята заметили, что теперь уже положения $C_1$ «налево» не достигно для того, чтобы поед пришел к вокзалу (красные стрелки на рисунке 2). В самом деле, если стрелка $C_1$ установлена «налево», а $C_2$ «прямо», то поед не попадет к вокзалу; положение же обенх стрелок $C_1$ и $C_2$ «налево» приведет поед к вокзалу. Ну, а если $C_1$ стоит «прямо», то независимо от положения $C_2$ поед к вокзалу не придет. Значит, положение $C_1$ «налево» не обходимо мо, чтобы поед пришел к вокзалу; поед не может прийти к вокзалу, если $C_1$ не стоит «налево». Итак,

(4) молько, если $C_1$ стомит «налево», поед может прийти к вокзалу,
или иначе:

(5) поед приходит к вокзалу молько моеда, коеда $C_1$ поставлена в положение «налево».
Тот же смысл имеет предложение

(6) если поед приходит к вокзалу, мо $C_1$ стомит в положении «налево».
В школе на уроках математики вы выявили, что оборот «если — то» связывает условия и заключание теоремы, предложения, высказывания. Посмотрим, что является условием и что — заключением в высказывании (4), (5), (6). Верятно, вы заметили, что во всех трех высказывании условия совпадают: поед приходит к вокзалу. Заключением во всех трех высказывании будет $C_1$ стомит в положении «налево».

Задача 1. Укажите условия в следующих высказывациях.

a) Если намуральное число делится на 5, то оно делится и на 10.
b) Если намуральное число делится на 10, то оно делится и на 5.

b) Треугодник ABC молко моеда является равносторонним, коеда он остроугольный.

г) Если ромб имеет прямой уолл, то он является квадратом.

d) Число делится на 6 молко моеда, коеда оно делится на 3.

задача 2. Заполните пропуски словами «достаточно» или «необходимо», чтобы получились верные высказывания.

a) Дelimисъ намурально число на 4. . . . . . для моед, чтобы это число делилось на 8.

b) Дelimисъ намурально число на 8. . . . . . для моед, чтобы это число делилось на 4.

b) Свойство треугодника быстро увеличивается. . . . . для моед, чтобы он был равносторонним.

г) $a < 2$ и $b < 15$ . . . . . . для моед, чтобы было $a + b < 17$ .

d) $a.b = 0$ . . . . . . для моед, чтобы было $a = 0$ и $b = 0$ .

e) $s > 3^3$ и $7 < p < 10$ . . . . . . для моед, чтобы было $s.p > 3^4$ .

Вернемся к нашей железной дороге и рассмотрим схему пути, изобравенную на рисунке 3. Выясним, достаточно или необходимы мявляется положение $C_1$ «налево» для прихода поеда к вокзалу. Очевидно, здесь положения $C_1$ «налево» достаточно, чтобы поед пришел к вокзалу. Или, иначе, высказывание

(7) если $C_1$ установлена «налево», то поед приходит к вокзалу — верное.

А является ли положение $C_1$ «налево» в схеме на рисунке 3 необходимы мявляется положение $C_1$ «налево» необходимо в то же время достаточно, чтобы поед пришел к вокзалу. Такая зависимость может быть выражена словами «тогда и только тогда»:

(9) поед приходит к вокзалу моеда и молько моеда, коеда $C_1$ установлена «налево».