Группы

6

Л. Садовский,
М. Арциинов
ГРУППЫ

Математика двадцать первого века может сливно отличаться от нашей; возможно, школьник начинает изучение алгебры с теории групп подстановок, что он может сделать сейчас, если бы не установленше традиции.
Саймон Ньюкомб, 1893 год

Алгебра изучает различные действия (операции) и заюны, которые они подчиняются. Эти операции могут быть определены не только над числами, многочленами и векторами, что вам известно из школьного курса математики и физики, но и над элементами инной природу.
В статье А. Колмогорова вы познакомились с операцией композиции перемещений и понятием «группа преобразования». Здесь речь пойдёт об абстрактной алгебраической конструкции, называемой группой.

Чтобы выработать понятие группы в его современной форме, математикам потребовалось почти это лет. Двеси лет назад знаменитый французский ученый Жозеф-Луи Лагранж (1736—1813), изучая решение алгебраических уравнений в радиалах, операровал фактически с понятием группы, хотя и не пользовался самим этим термином. Им была формулирована и доказана в 1771 году первая существенная теорема в теории групп.

Исследования Лагранжа продолжили норвежский математик Нильс Хенрик Абель и француз Эварист

7

Галуа*), которые впервые вели термин «группа». Элементами рассматриемых им групп были подстановки корней алгебраического уравнения
$$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0.$$
Группы подстановок изучали также Огюстен-Луи Коши (1789—1857), Артур Кэли (1821—1903), Камилл Жордан (1838—1922) и другие известные математики. Приятое ныне определение группы было предложено Кэли в 1854 году.

С понятным группы тесно связывано широко распространенное в природе свойство симметрицы. Симметрицы не только сnejинки, пчелинные соты, кристаллы поваренной соли и кварца. Элементарные частицы тоже подчиняются «закону симметрии» — зарядовому сопряжению, согласно которой каждой частице соответствует античастица. Провыленем симметрии окружающего нас мира является принципи относительной Галиллея, законы сохранения энергии, количество движения, электрического заряда и др.

Изучение закономерностей симметрии, общих для самых различных ее проявлений, и привело к созданию специального математического аппарата, называемого теорейей групп.

В основе определения группы лежит понятие бинарной операции.

Бинарная операция
Предположим, что каждой упорядоченной паре $a$ и $b$ элементов неокоторого произвольного множества $G$ поставлен в соответствие некоторый элемент $c$ того же множества. Тогда говорят, что на множестве $G$ определяна бинарная операция. Результат применения этой операции к заданной паре элементов записью в символьческом виде
$$a * b = c.$$
*) Об этих математических см. «Квант», 1973, № 10 и 1976, № 5.

Иногда для бинарной операции избирают прививчный термин, имея ее сложением, умножением или композицией. Примером бинарной операции является композиция перемещений на плоскости.

Произведение $a * b$ и $b * a$ могут оказаться одинаковыми или различными. В первом случае говорят, что $a$ и $b$ компутируют (перестановочные), во втором — не компутируют. Бинарная операция * называется компутативной, если для любых $a, b$ будет $a * b = b * a$, и некомmutативной, если найдется хотя бы одна пара элементов $a, b$, для которых $a * b \neq b * a$.

Задача 1. Проверьте, что
a) обичное сложение является бинарной операцией на множестве $Z$ всех целых чисел;
b) умножение также является бинарной операцией на множестве $Z$.

Таким образом, на одном и том же множестве можно, вообще говоря, определить различные бинарные операции.

Задача 2. Являются ли на множестве $Z$ бинарными операциями
a) деление;
b) вычитание?
Комmutативны ли эти операции?
Задача 3. Являются ли сложение, вычитание, умножение и деление бинарными операциями на множестве всех нечетных чисел?

Есть лишь две возможность переможить заданную тройку элементов $a, b, c$, не меняя их порядка: $(a * b) * c$ или $a * (b * c)$. Если
$$(a * b) * c = a * (b * c),$$
то тройка элементов $a, b, c$ называется ассоциирующей; для нее воплощен определенный смысл имеет символ $a * b * c$. Если же операции * каждая тройка элементов ассоциирует, то и сама операция * называется ассоциирующей.

Задача 4. Ассоциативны ли следующие операции:
a) композиция перемещений;
b) сложение и умножение действительных (комплексных) чисел;
b) деление и возведение чисел в степень $(a * n = a^n)$?

8

Определение группы

Множество $G$ с определенной на нем бинарной операцией * называется группой, если выполняются три аксимы:

Аксиома I (существование единчного элемента). Существует единственный элемент $e$ множества $G$ макой, что

$$e * a = a * e = a$$

для любого элемента $a$ из $G$.

Аксиома II (существование обратного элемента). Для каждого элемента $a$ множество $G$ существует элемент $a^{-1}$ макой, что

$$a * a^{-1} = a^{-1} * a = e.$$

Аксиома III (ассоциативность бинарной операции). Для любой тройки $a, b, c$ элементов из $G$ выполняется равенство

$$a * (b * c) = (a * b) * c.$$

Если бинарная операция коммутативна, то группа называется абелевой (в честь Абеляя) или коммутативной, в противном случае — неабелевой или некоммутативной.

Итак, множество превращается в группу, как только на нем задается бинарная операция, подчиняющая трех указанным аксиомам. При этом ничего не предполагается относительно самых элементов этого множества: ими могут быть числа, многочлены, перемещения или объекты какой-либо иной природы.

Теперь, когда дано определение группы, каждый обнаружит, что с группами он, оказывается, давно знаком. В самом деле, многие числовые множества относительно общих операций сложения и умножения образуют группу. Так, группой является множество целых чисел с операцией сложения, ее называют addимной группой целых чисел. Это абелева группа, ее «единичным» элементом служит число: $0 + c = c + 0 = c$, обратным для произвольного числа — ему противоположное: $c + (-c) = 0$.

Рис. 1.

Группу образует также множество $G$ всех переменений, отображающих на себя некоторую функцию (телю) $F$. Эта группа служит характеристикой симметриности функций $F$ и называется группой симметричной функции $F$.

Задача 5. Проверьте, что множества рациональных и действительных чисел с операцией сложения являются группами (addимые группы рациональных и действительных чисел).

Задача 6. Докажите, что
a) положительные рациональные;
b) положительные действительные числа по умножению образуют группы (мультипликативные группы положительные рациональные и положительные действительные чисел).

Задача 7. Образуют ли группы множества рациональных и действительных чисел с операцией умножения?

Три лица одной группы

Лицо первоое (арифметическое). Зафиксируем натуральное число $n$ ($n \neq 1$) и рассмотрим множество (обозначаемое через $T_n$) остатков от деления каждого натурального числа на $n$. Ясно, что различных остатковровно $n$, они равны соответствию 0, 1, 2, . . . , $n-1$. Всякие два числа $k$ и $l$, которые при делении на $n$ дают равные остатки, называют сравнимыми по modulo $n$ и пишут

$$k \equiv l \pmod n.$$

Разобъем теперь множество $N$ натуральных чисел на $n$ классов по следующему принципу.

В нулевой класс (для его обозначения удобно пользоваться тем же числом 0) собираем все числа, которые при делении на $n$ дают в

9

остатке 0, то есть такие $a$, что $a \equiv 0$ (mod $n$).

В первый класс собственным числа $a \equiv 1$ (mod $n$), т. е. далоше остаток 1 при делении на $n$.

Вообще в $k$-й класс помещаем все числа $a \equiv k$ (mod $n$). Для обозначения этого класса используем то же число $k$ (рис. 1).

Определим теперь бинарную операцию на множество $Z_n$ построенных классов. Пусть $k$ и $l$ — два любых класса. Выберем в каждой из них по любому числу, например, $a$ и $b$: $a \equiv k$ (mod $n$), $b \equiv l$ (mod $n$).

Составим общную сумму $a+b$ и разделим ее на $n$. Тогда в остатке получим либо $k+l$ (если $k+l < n$), либо $k+l-n$ (если $k+l \geq n$).

Значит, имеет смысл следующее операция $\oplus$ (назовем ее «сложением классов»):

$$k \oplus l = \begin{cases} k+l, & \text{ если } k+l < n, \\ k+l-n, & \text{ если } k+l \geq n. \end{cases}$$

Например, при $n=3$ имеется три класса: 0, 1, 2. Таблица сложения этих классов выглядает следующим образом:

| $\oplus$ | 0 | 1 | 2 |
| :— | :— | :— | :— |
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |

Множество $Z_n$ относительно операции $\oplus$ образует группу, называемую группной вычётной по modulo $n$. В самом деле, все групповые аксиомы выполнены: нейтральным элементом служит нулевой класс; элементом, противоположным классу $k$ ($k \neq 0$), является класс $n-k$ ($-0=0$). Наконец, операция $\oplus$ ассоциативна (проверьте!).

Лицо второе (геометрическое). Множество поворотов плоскости вокруг центра $O$ правильного $n$-угольника на углы $\alpha$, при которых этот $n$-угольник отображается на себя, также образует группу относительно операции $\oplus$ композиции переменной. Поворотом, обратным для $R^\alpha$, является $R^{-\alpha}$:

$$R^\alpha \circ R^{-\alpha} = E.$$

В этой группе $n$ элементов (повороты $R^{\alpha_k}$, где $\alpha_k = k \cdot \frac{360^\circ}{n}$, $k=0, 1, \dots, n-1$; см. рис. 2), а правильном композиции поворотов можно записать так:

$$R^{\alpha_k} \circ R^{\alpha_m} = \begin{cases} R^{\alpha_k+m}, & \text{ если } k+m < n, \\ R^{\alpha_k+m-n}, & \text{ если } k+m \geq n. \end{cases}$$

Это правильное положение на правильное (1) сложения классов, используя его, мы могли бы написать:

$$R^{\alpha_k} \circ R^{\alpha_m} = R^{\alpha_k+m}.$$

Лицо третье (комплексное). Его смогут разгладеть те, кто знаком с компплексными числами и действиями над ними. Нас интересует сейчас множество всех компплексных корней степени $n$ из единиц, то есть множество решений уравнения $z^n=1$.

Если $z=\cos \alpha+i\sin \alpha$ — трионометрическая форма такого числа, то, согласно правилу умножения компплексных чисел, $z^n=\cos n\alpha+i\sin n\alpha$. Равенство $z^n=1$ выполняется при $n\alpha=2\pi k$, где $k$ — целое, поэтому все $n$ различных корней из единиц задаются формулой

$$z_k=\cos \frac{2\pi}{n} k+i\sin \frac{2\pi}{n} k$$

($k=0, 1, \dots, n-1$). Легко проверить,

10

что множество всех этих корней образует группу со следующим правилом умножения:

$$z_h \cdot z_l = z_{k \oplus l}.$$

(3)

Напомним, что каждое комплексное число $z = r$ (со $\alpha + i \sin \alpha$) с моделем $r$ и аргументом $\alpha$ изображается в прямогольной системе координат вектором длины $r$, составляющим с осью $Ox$ угол $\alpha$. Поэтому числа $z_h$ изображается векторами длины 1 так, что каждые два соседних вектора составят между собой угол $2\pi/n$. Иными словами, концы этих векторов размещаются в вершинах правильного $n$-угольника (рис. 3).

Тепер ясно, что группа корней $n$-й степени из единиц и группа поворотов $R^{\alpha_k}$ по существу «не отличются» и «схожи» с группой $Z_n$. Дабы уточнить последнюю фразу, следует ввести одно из важнейших понятий математики.

Понятие изоморфизма

Рассмотрим какие-либо две группы $G$ и $H$. Предположим, что между элементами этих групп установлено взаимно однозначное соответствие (обозначим его буквой $\varphi$), то есть задано обратное отображение $\varphi$ множество $G$ на множество $H$. Выберем в $G$ произвольную пару элементов $a, b$; им соответствует некоторые элементы $\varphi(a), \varphi(b)$ в $H$. Так как $G$ и $H$ — группы, то определены произведение $ab \in G$, $\varphi(a) \varphi(b) \in H$, а также $\varphi(ab) \in H$.

О пределене. Группы $G$ и $H$ называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение $\varphi$ группы $G$ на группу $H$, сохраняющее произведение, то есть такое, что для любых $a, b \in G$ будет $\varphi(a) \varphi(b) = \varphi(ab)$.

Это отображение называется изоморфизмом.

Изоморфизм двух групп ознакомится, что законы, которые подчиняются операции в обенных группах, идентины, и что всякое свойства, присущое операции в одной из групп, в равной

мере присущение операции в изоморфной ей группе. Поэтому изоморфные группы называют «абстрактно равными» и отождествляют между собой, что приводит к возникновению одной абстрактной группы: группы, относительно природу элементов которого не делается никаких конкретных предположений.

Примером изоморфных групп является три только что рассмотренные группы: и группа вычетов, и группа поворотов, и группа корней из единиц в действительности — лишь три реализации одной и той же абстрактной группы.

Изоморфизмом $\psi$ между группой поворотов и группой $Z_n$ является отображение

$$\psi (R^{\alpha_k}) = k.$$

Ясно, что при этом произведение вращений будет соответствовать, как это следует из формулы (2), сумма вычетов.

Изоморфизм $\varphi'$ между группой поворотов правильного $n$-угольника и группой корней $n$-й степени из единиц установляется соответствием

$$\varphi (R^{\alpha_k}) = z_k.$$

Правило (4), конечно, выполняется, оно вытекает из равенства (3).

Задача 8. Установите изоморфизм между группой корней $n$-й степени из единиц и группой $Z_n$ вычетов по модулю $n$.

Задача 9. Построите изоморфизм между адитивной группой всех действительных чисел и мультипликативной группой положительных действительных чисел.

11

Группы симметрии

Отличить симметрично фигуру от несимметричной легко — в этом нам помогает интуиция. Она подсказывает нам, что квадрат симметричее ромба, а окружность симметричее злппса. Но одной интуициии недостаточно. Сообравенная более обстоятельные возникают при рассмотрении перемещений пространства (или плоскости), при коморых данных фигур F отображется на себя. Можетство таких преобразований (с операцией композиции перемещений) образует группу, называемого группой симметричной фигур F. Об этом вы уже знаете из статьи А. Колмогорова (см. с. 4.), да и мы уже привели этот пример группы. Теперь мы изучим группы симметрины некоторых фигур.

Начнем с окружности, которая издревле представлялась людям воплошением совершенства и образцом симметрини. При любом повороте относительно центра и при зеркальном отражении относительно произвольного диаметра окружность самосовмещается. Таким образом, группа симметрики окружности состоит из всех поворотов $R_0^\alpha$ вокруг центра $O$ окружности и всех осевых симметрий $S_l$ с осями $l$, проходящими через точку $O$.

Значительно меньше группа симметрины злппса — она состоит из двух осевых симметрий относительно взаимно перпендикулярных сопряжающих диаметров эллипса (об эллипсе рассказано в «Кванте», 1975, № 1), поворота $R_0^{180^\circ}$ (центральной симметрии) вокруг эллипса и, конечно, тоже действенного отображения $E$. Такой же будет группа симметрини ромба.

А вот у квадрата группа симметрини побольше, ее мы сейчас и расстотим.

Нарисуем на плоскости квадрат и обозначим его вершины цифрами 1, 2, 3, 4. При любом самосовмещении квадрата каждая его вершина оказывается на месте некоторой вершины. Так, например, при повороте $R_0^{90^\circ}$ ($O$ — центр квадрата) вершины 1, 2, 3, 4 перейдут соответственно в вершины 2, 3, 4, 1 (рис. 4): $R_0^{90^\circ}(1) = 2$, $R_0^{90^\circ}(2) = 3$, $R_0^{90^\circ}(3) = 4$, $R_0^{90^\circ}(4) = 1$. Это факт можно записать иначе:

$$1 \rightarrow 2, 2 \rightarrow 3, 3 \rightarrow 4, 4 \rightarrow 1.$$

Подобным же образом поворoty $R_0^{180^\circ}$ сопоставляется запись

$$1 \rightarrow 3, 2 \rightarrow 4, 3 \rightarrow 1, 4 \rightarrow 2.$$

Сказанное можно записать и виной форме, смысл которого ясен из предыдущого:

$$R_0^{90^\circ} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}, R_0^{180^\circ} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$

Мы получили то, что математики называют подстановкой: обратное отображение конечного множества $M$ на себя (десь — множество четырех точек — вершин квадрата). Занутеровав элементы этого конечного множества чисlamи 1, 2, …, $n$, мы сложем записать каждую подстановку в виде таблицы

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & ... & n \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & ... & a_n \end{pmatrix},$$

в нижней строке которой записаны же числа, что и в верхней, но в ином порядке. Подстановка, следовательно, состоит в том, что каждому элементу $a_k$ из $M$ ставится в соответствие единственной элемент $b_k$ из того же множества, и разным элементам $a_k$ соответствует разные $b_k$.

12

При такой точке зрения для одной и той же подстановки можно принять различные записи, например:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.$$

Объчно элементы верхней строки располагают в естественном порядке, и потому в общем виде подстановку из $n$ элементов записывают в виде

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{pmatrix}.$$

Пусть $\sigma$ и $\tau$ — две подстановки множества $M$. Произведением $\tau \circ \sigma$ подстановки $\sigma$ на $\tau$ называем такую подстановку $\omega$, которая возникает в результате последовательного выполнения сначала $\sigma$, а затем $\tau$. Таким образом, если $\sigma$ элементу $a$ ставит в соответствии $b$, а $\tau$ элементу $b$ ставит в соответствии $c$, то произведение $\tau \circ \sigma$ элементу $a$ сопоставляет $c$. Произведение зависит от порядка компонентей. Действительно, если $\tau$ сопоставляет элементу $a$ элемент $d$, а $\sigma$ элементу $d$ сопоставляет $f$, то произведение $\sigma \circ \tau$ отображает $a$ в $f$.

Тождественная подстановка

$$e = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ 1 & 2 & \dots & n \end{pmatrix},$$

не изменяющая расположения элементов, играет роль единцы. Для каждой подстановки $\omega$ имеется единственная её обратная $\omega^{-1}$ такая, что $\omega \circ \omega^{-1} = \omega^{-1} \circ \omega = e$.

Задание 10. Докажите, что определение выше умножение подстановок ассоциативно.

Задание 11. Покажите, что подстановка $\omega^{-1}$ возникает из заданной, если помещать местами ее верхнюю и нижнюю строки.

Множество подстановок из $n$ элементов образует группу (обратимых отображений конечного множества $M$ на себя), ее называют «симметрической группой $n$-й степени» и обозначают через $S_n$.

Задание 12. Выпишите подстановки, соответствующие осевым симметримам квадрата (рис. 5) $S_{(24)}$, $S_{(13)}$, $S_l$, $S_m$ и повороту $R_0^{270^\circ}$ (здесь (24) — прямая, проходящая через точки 2, 4 и т. п.).

Задание 13. Докажите, что группа подстановок четырех элементов состоит из 24 элементов.

Задание 14. Убедитесь, что не каждой из этих подстановок можно поставить в соответствии с соответствие с самосовмещение квадрата.

Последания задача показывает, что в группе симметрики квадрата меньше 24 элементов — каждому самосовмещению квадрата соответствует подстановка (4 вершин квадрата), но не каждой подстановке соответствует самосовмещение квадрата.

Этим квадрат отличается от треугольника: у треугольника группа симметрики состоит из шести элементов и подстановок 3 вершин треугольника тоже шесть, причем группа симметрики треугольника изоморфна группе подстановок 3 элементов.

Заметим, что группа симметрики квадрата (как и треугольника) некоммутиативна:

$$S_{(13)} \circ S_l = R_0^{-90^\circ} \neq R_0^{90^\circ} = S_l \circ S_{(13)}.$$

Задание 15. Найдите все переменные плоскости, отображующие квадрат на себя (их будет всего во всем).

Задание 16. Составьте таблицу компонций переменной плоскости, отображающих квадрат на себя (подобно таблице умножения чисел от 1 до 9).

Задание 17. Докажите, что число различных подстановок множества из $n$ элементов равно $n!$ ($n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$).

В заключение заметим, что свойства и строение абстрактных и конкретичных реализующих групп изучаются математически дисциплиной, называемой теорейей групп, которая не нашла широкое применение во многих разделах математики, теоретической физики, химии, кристаллографии, теории связи и в других наук.