Задачи М476—М480; Ф488—Ф492

Квант 1977, №12 с. 34-35 Тег 0K4R

Задачи

M476—M480; Ф488—Ф492

М476. а) Докажите, что если вершины выпуклого $n$ -угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а вытри и на его сторонах других узлов нет, то $n \leq 4$ .

Пусть пространство разбито tremя семействами параллельных плоскостей на одинаковые кубики. Вершины кубков называем узлами. Докажите, что если все $n$ вершин выпуклого многограника лежат в узлах, а на его ребрах, гранях и внутри многограника других узлов нет, то $n \leq 8$ .

С. Миронов

M477*. Дан многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что для каждого натурального $x$ выполняется неравенство $P(x) > x$ . Определим последовательность $\{b_n\}$ следующим образом: $b_1 = 1$ , $b_{k+1} = P(b_k)$ для $k \geq 1$ . Известно, что для любого натурального $d$ найдется член последовательности $\{b_n\}$ , делящийся на $d$ . Докажите, что $P(x) = x+1$ .

M478. В волейбольном турире каждые две команды сыграли по одному матчу.

a) Докажите, что если для любых двух команд найдется треть, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.

Постройте пример такого турира семи команд.

b)* Докажите, что если для любых трех команд найдется треть, которая выиграла у этих трех, то число команд не меньше 15.

M479. Существуют ли a) шесть, 6) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух $a$ и $b$ из них сумма $a + b$ делится на разность $a - b$ ?

Задачи M477—M479 предложил C. Коняенин

M480.* Последовательность $c_n$ строится по следующему правилу: $c_1 = 2$ , $c_{n+1} = [3c_n/2]$ для $n \geq 1$ *. Докажите, что

a) в этой последовательности бесконечно много четных чисел и бесконечно много нечетных чисел;

последовательность $e_n = (-1)^{c_n}$ неперiodическая;

b) существует число $\gamma$ такое, что $c_n = \left[ \frac{3}{2} \right)^n \gamma$ .

*) Здесь $[x]$ — целая часть $x$ .

Ф488. Прямоугольная проволочная рамка с размерами сторон $a = 0,020$ м и $b = 0,030$ м погружается в мыльную воду, благодаря чему на ней образуется мыльная пленка. При наблюдении в отраженном свете, угол падения которого $\alpha = 30^\circ$ , пленка кажется зеленой ( $\lambda = 5 \cdot 10^{-7}$ м).

Можно ли определить массу этой пленки с помощью весов, точность которых 0,1 мг? Плотность мыльного растворора $\rho = 10^3$ кг/м $^3$ , показатель преломления пленки $n = 1,33$ .
Какого цвета будет казаться самая тонкая из пленок, удовлетрящих условий задачи, если свет будет падать на нее и затем отражаться перпендикулярно пленке?

Указание. Учесть, что при отражении света от более плотной среды фаза волны скачком меняется на л.

Х Международная олимпiadа по физике

Ф489. Электроныускоряются в электронной пушке электростанческим полем, прохождение промежуток, направление на котором $U = 10^3$ В. Вылетев из пушки в точке $T$ , электроны движут за тем по прямой $TT'$ (рис. 1). В точке $M$ на расстоянии $a = 5,0$ см от точки $T$ находится миншень, причем прямая $TM$ образует угол $\alpha = 60^\circ$ с прямой $TT'$ .

Какой должана быть индукция $\vec{B}$ однородного магнитного поля, перpendикулярного плоскости рисуника, чтобы электроны, вылетевшие из пушки, попадали в миншень?
Какой должана быть индукция $\vec{B}_1$ однородного магнитного поля, паралельного прямой $MT$ , чтобы электроны попадали в миншень?

Считать, что $|\vec{B}|$ и $|\vec{B}_1|$ не превышает 0,030 T.

Х Международная олимпiadа по физике

Ф490. При прохождения потока нейтронов через пластинку кадмия толщиной 1 мм количество части в пучке уменьшается на 15%, а их скорость не изменяется. Какая доля потока нейтронов прохождение пластинку из кадмия толщиной 10 мм?

Ф491. Большая тонкая проводящая пластина площади $S$ и толщины $d$ помещена в однородное электрическое поле $\vec{E}$ , perpendикулярное пластине. Какое количество теплоты выделится в пластине, если выключить поле?

П. Зубков

Ф492. На шероховатой плоскости лежат два круглых цилиндра с диаметрами $D$ и $d$ (рис. 2). Вокруг большого цилиндра обмотан шнур, к концу которого приложена горизонтальная сила $\vec{F}$ . Определить, при каком, одинаковом для всех соприкасающихся поверхностей, коэффициент трения $\mu$ большой цилиндр может быть перетащен через мыльный. Каким должано быть абсолотное значение силы $\vec{F}$ для того, чтобы это можно было сделать?

В. Керженцев