Задачи М546—М550; Ф558—Ф562

32

Задачик
Квана

М546—М550; Ф558—Ф562

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшней школьной программы. Наболее трудные задачи отмещаются звездочки. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Размещается, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 1 апреля 1979 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Квана» № 2—79» и номера задач, решения которых вы посылаете, например, «М546, М547» или «Ф558». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации (или цикла задач), присвайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Квана», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»)). В начале каждого письма просим указываать ваше имя, фамилию, номер школьи и класс, в котором вы учитесь.

М546. Из произвольной точки $M$ окружности, описанной около прямогольника, опустили перpendикуляры $MP$ и $MQ$ на две его противоположные стороны, и perpendикуляры $MR$ и $MT$ — на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые $PR$ и $QT$ perpendикуляры друг друга, а их точка пересечения приадлежит диагонали прямогольника.

Введе Шафарян, ученик 10 класса (Ереван)

М547. Для того чтобы уравнение $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$, где $n$ — натуральное число, имею единственное решение в натуральных числах $x, y$, необходимо и достаточно, чтобы $n$ было простым. Докажите это.

А. Данцелян

М548. a) На окружности расположено 4 точки. Через середину хорды, соединяющей две из них, проводится прямая, perpendикулярная хорде, соединяющей две других точки. (Такая прямая проводится для каждой пары точек.) Докажите, что все шесть построенных прямых проходят через одну точку.

6. На окружности расположено 5 точки. Через центр тяжесте трех из них (точку пересечения медиан треугольника с вершинами в этих точках) проводится прямая, perpendикулярная хорде, соединяющей остальные точки. Докажите, что все десять построенных прямых проходят через одну точку.

в) Обобщите эти утверждения на случай $n$ точек.

А. Лопшиц

М549. Дано натуральное число $N$. Выпишем все его делители $d_1, d_2, \dots, d_n$ и для каждой из них найдем, сколько делителей оно имеет. Докажите, что для полученных чисел $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ выполняется равенство

$$(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2 = a_1^3 + a_2^3 + \dots + a_n^3.$$

33

Например, число $N=6$ имеет четые делители: 1, 2, 3, 6; здесь $a_1=1, a_2=2, a_3=2, a_4=4$ и $(1+2+2+4)^2=1^3+2^3+2^3+4^3$.

В. Матизен

М550. Из пункта $A$ в пункт $B$, расстояние между которых равно $d$ км, должно быть добавться $n$ волосипедов, у которых имеет $m$ волосипедов. Каждый может идти пешком со скоростью $u$ km/ч или ехать на волосипеде со скоростью $v$ km/ч. За какое наименьшее время все $n$ волосипедов смогут попасть из $A$ в $B$? (Время считается по последнему прибываему. Велосипед можно оставлять на дороге без пристора.) Расстояние частный случай: $m=2, n=3$.

С. Кромов

Ф558. Маленький тяжелый шарик влетает через отверстие внутри гладкой сферы той же массы, проходя на расстоянии $R/2$ от центра сферы ($R$ — радиус сферы). После влета шарика ответственное автоматическое закрывается. Считая соударения между шариком и сфером абсолотно упругими, найти траектории шарика и центра сферы в той системе отчета, в которой сфера первоначально покопалась. Определить параметры этих траекторий и отметить на них точки, в которых проискодят соударения.

Б. Буховцев

Ф559. Согласно теории Бете углеродный цикл звездных термоядных реакций состоит из следующих реакций:

$$p + ^{12}C \rightarrow ^{13}N + \gamma, \ ^{13}N \rightarrow ^{13}C + e^+ + v,$$
$$p + ^{31}C \rightarrow ^{14}N + \gamma, \ p + ^{14}N \rightarrow ^{15}O + \gamma,$$
$$^{15}O \rightarrow ^{15}N + e^+ + v, \ p + ^{15}N \rightarrow ^{12}C + ^{4}He.$$

Найти энергию, выделяющего при обработании моля гелия.

Ф560. Плоская бесконечная струя толщины $d_0$ падает под углом $\alpha$ на плоскость (рис. 1). Скорость струи равна $v$, ее плотность $\rho$. На какие струи распадается струя?

Ф561. Глубоководный батиксаф сварен из двух полусфер радиуса $R=2$ м. Батиксаф должен погружаться на глубину $H=10$ км. Какое направление (отношение модели силы к длине экватора) должен выдерживать шов батиксафа, если сварной экватор расположен а) горизонтально? 6)* вертикально?

Ф562. Конденсаторы емкости $C_1=2,00$ мкф и $C_2=3,00$ мкф соединины последовательно и подключены к батараее с ЭДС $\varepsilon=120$ В, средняя точка которой заземлена (рис. 2). Провод, соединиющий конденсаторы, может быть заземлен с помощью ключа $K$. Найти заряды $q_1, q_2$ и $q_3$, которые пройдет после замыкания ключа через секция $I-I$, $II-I$ и $III-I$ в направлениях, указанных на рисунке.

35

М501. Выберем из последовательности стеленей троики 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, … все числа, начинающиеся с цифры 9; пусть эти числа (no порядку) $3f^{(1)}, 3f^{(2)}, 3f^{(3)}, \dots$ (в частности, $f(1)=2$, как как первое из максимых чисел $3^2=9$).

а) Найдем $f(2)$ и $f(3)$ — номера второго и третьего максимого числа.

б) Докажите, что максимальное значение $f(n)$ при $n>1$ удовлетворяет условиям:

(1) $f(n) - n$ нечетно;

(2) $\left|f(n) - \frac{n \lg 9}{1 - \lg 9}\right| < 1$,

и определяется этим числом однозначно.

Докажем сначала такое утверждение: для любого $k>1$ существует две или три $k$-значные стеленя троики, причем в том и только в том случае, когда $k$-значное стеленя троики; тогда $10^{k-1} \leq 3^m < 3 \cdot 10^{k-1}$. Отсюда $3 \cdot 10^{k-1} \leq 3^m+1 < 9 \cdot 10^{k-1}$, то есть $3^{m+1} - k$-значное число, не начинающееся с девятки. Далее, $3^{m+2} \geq 9 \cdot 10^{k-2}$, то есть $3^{m+2} - k$-значное число, то оно обязательно начинается с цифрой 9. (В любом случае $3^{m+3} \geq 27 \cdot 10^{k-1}$ — не $k$-значное число.)

Пусть теперь $3f(n) - k$-значная стеленя троики, начиная сосяя с девятки, то есть

$$9 \cdot 10^{k-1} < 3f(n) < 10^k$$

(оба неравенства строие, поскольку $3f(n)$ — число нечетное). Подсчитаем двумя способами количество стеленей троики, меньше $3f(n)$. С одной стороны, кроме тех $n-1$ стеленей, которые начинаются цифрой 9, есть ещеровно две $k$-значные стеленя троики для каждой $l=1,2, \dots, k$, то есть их всего $2k+(n-1)$ штук. С другой стороны, количество стеленей троики, меньше $3f(n)$, равно $f(n)$: это числа $3^0, 3^1, \dots, 3^{f(n)-1}$. Значит, $2k+(n-1)=f(n)$, отсутства

$$k = \frac{f(n) - n+1}{2}$$

Поскольку $k$ — натуральное, из этого следует, что $f(n) - n$ — нечетное число. Условие (1) пункту в) доказано.

Из (*) и (**) имеем

$$9 \cdot 10^{\frac{f(n) - n-1}{2}} < 3^f(n) < 10^{\frac{f(n) - n+1}{2}},$$

или

$$\lg 9 + \frac{f(n) - n-1}{2} < f(n) \lg 3 < \frac{f(n) - n+1}{2}.$$

Выполнить несколько равнозначных преобразований,

36

ПОЛУЧИМ
2 lg 9+f (n)−n−1<f (n) lg 9<f (n)−n+1,
lg 9−1<f (n) lg 9−f (n)−lg 9+n<−lg 9+1,
то есть
−(1−lg 9)<−(1−lg 9) f (n)+(n−lg 9)<1−lg 9,
и поскольку 1−lg 9>0, имеем
−1<−f (n)+\frac{n−lg 9}{1−lg 9}<1,

то есть
|f (n)−\frac{n−lg 9}{1−lg 9}|≤1

— условие (2) пункта в) задачи.
Число $\frac{n−lg 9}{1−lg 9} = \frac{n−1}{1−lg 9} +1$ irrationalное ($n>1$ и lg 9 irrationalное). Поэтому при любом $n>1$ условию (2) удовлетворяютровно для в последовательных натуральных числа; одно из них четно, другое нечетно. Но так как для каждой $n$ четность $f (n)$ известна.(разность $f (n)$—n нечетна), то при каждом $n$ число $f (n)$ определяется однозначно. Остается доказать, что для $f (n)$ определяенного условиями (1) и (2), степень тройки $3^{f (n)}$ действительно начинается с цифры 9 (все условия на $f (n)$ мы получили в предположении, что $f (n)$ существует). Проведяя выполнение выше преобразования в обратном порядке, из условия (2) легко получим (***), то есть $3^{f (n)}$ в самом деле начинается с девятки.

Тепер уже нетрудно найти $f (2)$ и $f (3)$:
$$f (2)=23, f (3)=44.$$

Наконец, поскольку $f (n)$ определяено для всех натуральных $n$, получаем, что степеней тройки, начинающих цифрой 9, бесконечного много.

Заметим и е. Из неравенства (2) в условии задачи следует, что величины $f (n)$ растет примерно как $\frac{1}{1−lg 9} n$.

Этот результат можно вывести из того факта, что при больших значениях $N$ среди $N$ первых степеней тройки количество степеней, начинающих цифрой 9, применено равно $(1−lg 9)N$ (рис. 5); тут совершено неявно, рассматриваем ли мы степеней двойки, тройки или другого числа $\alpha$ с irrationalным lg $\alpha$; см. статью В. Болтянского — «Квант», 1978, № 5). В самом деле, если $f (n)=N$, то средние $3^{1}, 3^{2}, \dots, 3^{N}$ровно $n\approx(1−lg 9)N$ начинаются с 9; поэтому $f (n)\approx\frac{1}{1−lg 9}n$. Результат задачи М501 позволяет найти точное значение $f (n)$ для любого $n$.

Э. Туркевич

M502. Данные при параллельных отрезках $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, не лежащих в одной плоскости. Пусть $M$ — точка пересечения плоскостей $ABC_1$, $BCA_1$ и $CAB_1$, а $M_1$ — точка пересечения плоскостей $A_1B_1C$, $B_1C_1A$ и $C_1A_1B$. Доказим, что отрезок $MM_1$ параллелен прямой пересечения.

Пусть $A_0$, $B_0$, $C_0$ — проекции данных отрезков на перпендикулярную им плоскость (рис. 6). Заметим, что линяя пересечения плоскостей $ABC_1$ и $CAB_1$ проходит через точку $A$ и точку пересечения прямых $BC_1$ и $B_1C$ (рис. 7), а ее проекция проходит через точку $A_0$ и делит отрезок $B_0C_0$ в отношении $|BB_1|:|CC_1|$. Линяя пересечения плоскостей $BCA_1$ и $ABC_1$ проходит через точку $B$ и точку пересечения прямых $AC_1$ и $A_1C$ (рис. 7), так что ее проекция проходит через точку $B_0$ и делит отрезок $A_0C_0$ в отношении $|AA_1|:|CC_1|$ (рис. 6). Остается заметить, что же факты имеют место и для проекций линей пересечения пар плоскостей $(A_1B_1C$, $C_1A_1B)$ и $(B_1C_1A$, $A_1B_1C)$, так что точки $M$ и $M_1$ пересечения трое к плоскосте проектироваться в одну и ту же точку $M_0$ плоскости $A_0B_0C_0$, перпендикулярной $AA_1$. Отсюда следует утверждение задачи.

А. Савин, З. Скопец

Другое решение этой задачи получается с использованием понятия косой симметрины. Косой симметрией на плоскости называется следующей преобразование: нужно

37

Рис. 6.

Из вышеперечисленной главы приведены примеры, параллельное и неокоторное не параллельное её направление. Затем через произвольную точку $K$ проведены примеры, параллельную выбранному направлению, и найти на ней такую точку $K_1$, что отрезок $KK_1$ делится осью пополам. Точка $K_1$ и называется косимметричной точке $K$. Аналогично и в пространстве, но там вместо оси нужно взять плоскость симметрины (и не параллельное её направление). Легко проверить, что при косимметринии прямые переходят в прямые, плоскости — в плоскости.

Решение задачи. Проведем через середины наших параллельных отрезков плоскости симметрины. Расстоянием косимметрию относительно этой плоскости с направлением, параллельным нашим отрезкам. Тогда трейка плоскости $ABC_1$, $BCA_1$, $CAB_1$ переходит во вторую трейку плоскости: $A_1B_1C$, $B_1C_1A$ и $C_1A_1B$. Следовательно, точка пересечения первой трейки плоскости передет в точку пересечения второй трейки плоскости; поэтому соединяющий их отрезок параллелен данных (если две точки косимметричны, то соединяющий их отрезок имеет выбранное направление).

Л. Лиманов

M503. Набор из 2n+1 чисел $a_0, a_1, a_2, \dots, a_{2n}$ маков, что $a_k \geq \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$ для всех $k=1, 2, \dots, 2n-1$. Доказание неравенство
$$\frac{a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n-1}}{n} \geq \frac{a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{2n}}{n+1} \quad (*)$$
и выясните, для каких наборов оно превращается в равенство.

Заметим сначала, что если данный набор — арифметическая прогрессия, то все написанные в условии задачи неравенства превращаются в равенства. Ниже мы увидим, что из «выпуклых» наборов (то есть наборов, у которых $a_k \geq \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$ для всех $k=1, 2, \dots, 2n-1$) только для арифметической прогрессии неравенство (*) становится равенством.

Числа произвольного «выпуклого» набора $\{a_k\}$ представим в виде суммы чисел $a_k = b_k + c_k$ двух наборов $\{b_k\}$ и $\{c_k\}$, один из которых — $\{b_k\}$ — арифметическая прогрессия с крайними членами $b_0 = a_0$ и $b_{2n} = a_{2n}$, а другой — $\{c_k\}$ — «выпуклый» набор с нулевыми крайними членами: $c_0 = c_{2n} = 0$.

Поскольку для набора $\{b_k\}$ неравенство (*) превращается в равенство, достаточно доказать его для набора $\{c_k\}$. Но для «выпуклых» наборов с нулевыми крайними членами оно получается неопределенно из условия «выпуклости»: записав, что $c_{2i-1} \geq \frac{c_{2i-2} + c_{2i}}{2}$ для всех $i=1, \dots, n$, и сложив эти неравенства, получим:

$$c_1 + c_3 + \dots + c_{2n-1} \geq \frac{c_0}{2} + c_2 + c_4 + \dots +$$

$$+ c_{2n-2} + \frac{c_{2n}}{2} = c_0 + c_2 + \dots + c_{2n-2} + c_{2n}$$

(мы учли, что $c_0 = c_{2n} = 0$), так что

$$\frac{c_1 + c_3 + \dots + c_{2n-1}}{n} \geq \frac{c_0 + c_2 + \dots + c_{2n}}{n+1}$$

(**)

38

Осталось лишь доказать, что для выпukлы наборов неравенство (*) может быть равенством только для арифметической прогрессии. Для этого достаточно показать, что если $c_k \geq (c_{k-1} + c_{k+1})/2$, то либо все $c_k$, $k = 0, \dots, 2n$, равны нулю, либо все $c_k$, $k = 1, \dots, 2n-1$, поположи и телены (в последнем случае правое неравенство в (**) обязательно строгое).

Выберем наименьшее $c_i$; пусть оно стоит не с краю: $i \neq 0, i \neq 2n$. тогда $c_i \leq c_{i-1}$ и $c_i \leq c_{i+1}$, откуда $c_i \leq \frac{c_{i-1} + c_{i+1}}{2}$. Но по условию $\{c_k\}$ — «выпukлы» набор, значит, $c_i = c_{i-1} = c_{i+1}$. Применив то же рассужение к $c_{i-1}$ (или к $c_{i+1}$), получим, что $c_{i-2} = c_{i-1} = c_i$ (или $c_i = c_{i+1} = c_{i+2}$) и т. д. — до тех пор, пока не дойдем до краев; получим $0 = c_1 = c_2 = \dots = c_{2n-1} = 0$. Поэтому если чисел $c_k$ есть отличные от нуля, то наименьшее общеательное стоит с краю (и равно нуля), так что для $k = 1, \dots, 2n-1$ имеем $c_k > 0$.

Н. Васильев, И. Клумова

Ф502. В крышке закрытого ящика высоты $h = 1$ и имеется круглое отверстие. Как изменится освещенность дня под отверстием, если в отверстие есть линии с оптической силой $D = 1$ дитр? Ящик стопит под открытым небом, затем нумыム равномерной пленой облаков.

Световой поток, душий в единичном телефонном угле, под любым направлением один и тот же. Обозначим через световой поток, душий в единичном телефонном угле и попадающий на единичную площадку линзы или дна под отверстием.

В отсутствие линзы на дно попадают лучи, душие в телефонном угле $\Omega = S_{\text{OTB}}/h^2$ (рис. 8). Следовательно, в этом случае освещенность дня под отверстием равна

$$E_1 = \sigma \Omega = \sigma S_{\text{OTB}}/h^2$$

Рис. 8.

Рис. 9.

Линза собрает в своей фокальной плоскости на дне ящика на площадке площадью $s = h^2\omega$ все лучи, душие в телефонном угле $\omega$ (рис. 9). Такие лучи несут световой поток $\Phi = \sigma S_{\text{OTB}}\omega$, так что освещенность изображения неба в этом случае равна

$$E_2 = \Phi/s = \sigma S_{\text{OTB}}/h^2.$$

Мы видим, что $E_1 = E_2$, то есть освещенность дна ящика под отверстием не меняется.

И. Слободецкий

Ф504. Колеса легковых автоматический тщательно моно, имбы ценр масс колеса лежал моно на оси его врачи. Для чего необходимо балансировка колес?

На колесо со стороны дороги действует сила $\vec{N}$. Если колесо сбалансировано, эта сила равна по абсолотной величины 1/4 веса автоматия $M|\vec{g}|^*$ (при езде по гладке).

*) То, какая часть веса автоматия приходит на колесо, определяется положением центра тяжеста автоматия. Вообще говоря, она не равна 1/4.

39

кой горизонтальной дороге). Если же колесо не сбалансировано, то его центр тяжести движется по окружности радиуса $r$ с центростремительнымускорением $\omega^2 r$ (r — расстояние между центром колеса и центром тяжести, $\omega$ — угловая скорость вращения колеса). Поэтому в тот момент, когда центр тяжести находится в самом нижней точке, значение $|\vec{N}|$ больше значения $\frac{1}{4} M|\vec{g}|$ на величины $m\omega^2 r$ (m — масса колеса). Когда же центр тяжести находится в самом верхней точке, значение $|\vec{N}|$ меньше $\frac{1}{4} M|\vec{g}|$ на такую же величины. При просkalъывании колеса относительно дороги (просkalъывание всегда имеет место) сила трея между колесом и дорогой по этим принципам оказывается переменной. Поэтому в некоторых местах шина изнашивается быстро, чем если бы колесо было сбалансировано. А это приводит к необходимости чаще менять покрышки.

С. Семенчинский

Ф512. Цень, показанная на рисунке 10, включана в себя переменного тока частоты $v=50$ Гц. С помощью коммутатора на вход осуществляется попереченное тонаружение между точками $a$ и $b$, то направление между точками $b$ и $d$. На экране осциллопа получается изображенная двух кривых. Рисунок 11 сделан с фоторафиниками картины на экране осциллопа. Определить индуктивность $L$ контура, если $C=32$ мкФ, $R=65$ Ом.

Рис. 10.

Рис. 11.

С другой стороны, разность фаз $\varphi$ связана с параметрами электрической цепи. Построим векторную диаграмму токов и направлений для данного последовательного контура (рис. 12). Отсюда

$$\text{tg} \varphi = \frac{U_L - U_C}{U_R} = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R},$$

$$L = \frac{1}{\omega} \left( \frac{1}{\omega C} + R \text{tg} \varphi \right) = \frac{1}{2\pi v} \left( \frac{1}{2\pi v C} + R \text{tg} \varphi \right) \approx 0,5 \Gamma.$$

В. Низник