Задачи на геометрический смысл производной

40

М. Чернявский

Задание
на геометрической смысл производной

В § 10 учебника «Алгебра и начала анализа» приведется уравнение касательной к графику дифференцируемой функции и объясняется геометрической смысл производной *). Задание, разобранные в данной заметке, использовают возможность исследования геометрических фактов анализческого метода.

Из курса физики нам известно, что отражатель проектора обычно придают форму параболюда вращения. Это объясняется свойством параболы, рассматриваемых в следующей задаче:

Задание 1. Доказать, что луч света, исходящие из фокуса $F(0, 1/4a)$ параболы $y=ax^2$, в любой ее точке отражаются параллельное ее оси симметричи **).

Решение. Пусть $M(x_0; ax^2)$ — произвольная точка параболы (рис. 1). Из закона отражения света вытекает, что величины углов, образуемых с касательной MP падающим лучом FM и отраженным лучом MA, равны между собой. (На рисунке 1: $\hat{1}=\hat{2}$). Нам нужно доказать, что MA | Oy, что равnocльно равенству $\hat{2}=\hat{3}$ или, с учетом предыдущего, равенству $\hat{1}=\hat{3}$. Посленее же вытекает из равноведренности треугольника PFM. Итак, достаточно доказать, что $FM|=|FP|$.

$$|FM| = \sqrt{x_0^2 + \left(ax_0^2 - \frac{1}{4a}\right)^2} = \sqrt{a^2x_0^2 + \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{1}{16a^2}} = \left|ax_0^2 + \frac{1}{4a}\right|.$$

Для вычисления $|FP|$ запишем уравнение касательной MP. Так как $y'=2ax$, это уравнение имеет вид $y - ax_0^2 = 2ax_0(x - x_0)$. Поляга в нем $x=0$, найдем ordinateу точки $P$: $y = -ax_0^2$. Следовательно, $|FP| = \left| \frac{1}{4a} - (-ax_0^2) \right| = \left| ax_0^2 + \frac{1}{4a} \right| = |FM|$.

Легко решают задачи, в которых требуется найти углов коэффициент касательной или уравнение касательной к графику заданной функции, если известна точка касания. Впрочем, в прикладных задачах эту функцию иногда бывают необходимо найти из некоторых дополнительных условий. С таким случае мы встретиемся в следующей задаче:

Задание 2. Профиль автоматного места имеет форму параболы (рис. 2) с осью, проходящей вертикально через середину места с высотой центральной части 10 м и длиной основания 120 м. Какой должен быть наклон насыщи на общих концах места?

Решение. Заметим, что наклон насыщии — это наклон отрезков каса-

Рис. 1.

41

Рис. 2.

тельных к параболе в точках $A$ и $B$. Выберем систему координат так, как указано на рисунке 2. Тогда парабола в этой системе задается уравнением вида $y = ax^2 + 10$. Так как точка $A(60; 0)$ лежит на параболе, $a = -\frac{1}{360}$.

Таким образом, уравнение параболы $y = -\frac{x^2}{360} + 10$. Отсюда $y' = -\frac{x}{180}$.

В точке $A$: $tg\alpha = y'(-60) = \frac{1}{3}$, $\alpha = \arctg\frac{1}{3}$.

В точке $B$: $tg\beta = y'(60) = -\frac{1}{3}$, $\beta = \pi - \arctg\frac{1}{3}$.

Иногда нужно проверить, касается ли данная прямая графика заданной функции. Для этого достаточно проверить следующие два условия, которые являются необходимыми, а в

Рис. 3.

совокупности и достаточно для касания:

1. Прямая и график функции имеют общую точку.
2. В общей точке значение произвольной данной функции равно угловому коэффициенту данной прямой.

Задача 3. Касаемся ли прямая $x + 4y - 4 = 0$ гиперболы $y = \frac{1}{x}$?

Решение. Решив систему
$$\begin{cases} x + 4y - 4 = 0, \\ xy = 1, \end{cases}$$

находим общую точку прямой и гиперболы (2; 1/2). Произвольная функция $y = \frac{1}{x}$ равна $y' = -\frac{1}{x^2}$, а ее значение в точке пересечения $-y'(2) = -\frac{1}{4}$. Но угловой коэффициент прямой такой же. Значит, данная прямая касается гиперболы в точке (2; 1/2).

Задача 4. Найти величины угла, под которым парабола $y = x^2$ видна из точки $A$. (2; -1).

Решение. Очевидно, этот угол образован двумя касательными к параболе, проходящими через точку $A$ (рис. 3). Обозначим искомый угол через $\alpha$, а углы наклона касательных к оси $Ox$ через $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Тогда
$$tg\alpha = tg(\alpha_2 - \alpha_1) = \frac{tg\alpha_2 - tg\alpha_1}{1 + tg\alpha_1 \cdot tg\alpha_2} = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 \cdot k_2},$$
где $k_1$ и $k_2$ обозначают угловые коэф-

43

Пис. 5.

Пис. 6.

Пис. 7.

точке с абсциссой $x_0$, необходимо и достаточно (ср. с условиями, формулированы перед задачей 3), чтобы выполнялись следующие два условия:

1. $f(x_0) = \varphi(x_0)$;
2. $f'(x_0) = \varphi'(x_0)$.

Задание 6. Окружность радиуса 1 с центром на положимельной полоси Оу касается парабoles $y = x^2$. Найти точку касания $M$ и положение центра окружности $C$.

Решение. Обозначим центр окружности через $C(0; a)$. Тогда уравнение окружности будет иметь вид $x^2 + (y-a)^2 = 1$.

Нас интересует касание парабoles с нижней полокружностью (рис. 5, 6) уравнение которого имеет вид $y = a - \sqrt{1-x^2}$. Обозначим абсциссу точки касания через $x_0$. Используя условия 1), 2), получаем

$$\begin{cases} a - \sqrt{1-x_0^2} = x_0^2, \\ \frac{x_0}{\sqrt{1-x_0^2}} = 2x_0, \end{cases}$$

то есть

$$\begin{cases} \sqrt{1-x_0^2} = a - x_0^2, \\ x_0 \left(1 - 2\sqrt{1-x_0^2}\right) = 0. \end{cases}$$

Одно решение, очевидно, $x_0 = 0$, $a = 1$ (рис. 6). Второе уравнение имеет еще два корня $x_0 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Им соответствует одно и то же значение $a = \frac{5}{4}$.

Таким образом, мы получаем более интересный случай: окружность с центром в точке $C\left(0; \frac{5}{4}\right)$, касающаяся парабoles в точках $M_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{3}{4}\right)$ и $M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{3}{4}\right)$ (рис. 5).

Задание 7. Точка движения прямолинейно под действием постоянной силы сускорением $2 m/c^2$ и с нулевой начальной скоростью. Через 3 секунды после начала движения сила прекращает действовать, и точка начинает движаться равномерно с набранной скоростью. Найдите закон движения точки и построите график движения.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы в начальной момент точка находилась в начале координат: $s = 0$ при $t = 0$. Тогда при $0 \leq t \leq 3$ имеем $s = t^2$. При $t \geq 3$ график движения — часть касательной к параболе $s = t^2$, проведенной в точке (3, 9) в сторону возрастания $t$ (рис. 7). Поэтому его уравнение имеет вид

$$s - 9 = 6(t - 3)$$

или

$$s = 6t - 9.$$

Таким образом, закон движения оп-