О Ньютоновских законах движения. Сила

10

И. Белкин

О Ньютоновских законах Движения. Сила

Слово «сила» в обусловной речи имеет много значений и допускает множество толкований. Говорят о покупательной силе денег и о силе привышки, о силе воли и о силе общественного мнения, о моральной силе и даже… о нечистой силе. В этих примерах и во множестве других сilos «сила» не имеет волне ясного и однозначного объяснения. Во всяком случае, это слово имеет в них совершенное различный смысл.

Но в механике сила определяется совершенное строю и однозначно. Как говорил Ф. Энгельс, в механике «…действительно знают, что означает сilosа». В этой статье и поддет речь о силе как механическом понятии и механической величины.

Взаимодействия и силы

В первой нашей статье о законах движения («Квант», 1979, № 2) уже упоминалось, что сила — это влияние одного тела на другое. Но мы видели, что влияние тела всегда взаимное — тела всегда взаимодействуют, то есть влияют друг на друга, и сообщают друг другуускорения. Значит, при взаимодействии двух тел к каждому из них приложена сила. Сила, приложенная к телу, — причина егоускорения. Ныотон так и определяет силу: «Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерно примолненной движения». В этом и состоит смысл понятия силы в механике. Но пока это только понятие. Нас же интересует сила как физическая величина, которую можно изменить, выразить числом.

Слова «влияние одного тела на другое» содержат нечто неясное, не-

11

определенное. Что значит влияние? Как оно происходит? Тело падает визс с укорением, потому что на него влияет Земля. Дверь, сабженная пружиной, движется с укорением, потому что на нее влияет пружина. Кусок железа движется с укорением под влиянием магнита. Но разве пожки одно на другое эти влияния? Ясно, что они совершенно различны по своей природе. Во времена Ньютона о природе всех этих влияний ничего не было известно. Но в механике этого, оказывется, можно и не знать. Важно только, что влияние на тело состоит в том, что телу сообщается укорение. А это значит, что совершенно различные по своей природе влияния (силы) можно сравнить между собой, если мы сумем их выразить числа. А для этого необходимо установить, как связаны силы с сообщаемыми имми укорениями.

Второй закон Ньютона
Эту связь и установил Ньютон из анализа опитных данных. Он формулировал ее в виде второго закона движения (второй закон Ньютона).

В изложении самого Ньютона этот закон гласит: «Изменение движения пропорционально приложенной движущей силы и имеет то направление, в котором эта сила действует».

В этой формулировке заключается основная идея механики: сила вызывает изменение движения, а не само движение, как думали до Ньютона (и как думают и теперь люди, не изучавшие механику). Однако слова «изменение движения» несколько загаданы: ведь движение — это процесс, а не величина; пропорциональными же друг другу могут быть только величины. Няясно также, откуда Ньютон узнал, что существует именно такой закон — закон пропорциональной между силой и изменением движения. Разумеется, закон этот установлен на основании опита или опитов. Но каких? Ньютон об этом не сообщает. Он просто «велит» телам вести себя так, а не иначе.

Мы можем теперь считать, что слова «изменение движения» ознакомлене, поскольку укорение представляет собой быстро изменяющую скорость движения тела, если масса его постоянна *). Что касается опыта, из которого может быть установлена связь между укорением и силой, то он должен состоять в том, чтобы различные тела (различные по массе) поддержались действию одной и той же силы; при этом надо изменять укорения, которые получают эти тела. Та величина, которая в этих изменениях оказывается одной и той же для всех тел, и будет служить мерой силы, приложенной к этим телам.

В природе существует одна-единственная сила, которая не зависит от того, к какому телу она приложена. Это — упругая сила деформированного тела, например пружины. Эта сила называется силой упругости. Особенность силой упругости состоит в том, что она зависит только от того, насколько деформированного тела. Так, сила упругости пружины зависит только от ее растяжения (или скатания) по сравнению с исходной длиной (во времена Ньютона этот факт был изучен). Поэтому, если поддерживать растяжение пружины постоянным (фиксированным), то она действует на любое прикрепленное к ней тело с одной и той же силой независяimo от того, какова масса этого тела (конечно, необходимо, чтобы масса силы пружины была преобразимо мала по сравнению с массой прикрепленного к ней тела).

Итак, опит, который позволяет связь между укорением и силой, может быть проведен только с использованием пружины. Такой опит описан в учебнике «Физика 8» (с. 85). Оказывется, пружина, скатая (или растяжая) на фиксированную длину, сообщает прикрепленным к ней телам укорения, направления которых всегда совпадает с направлением действия на тела силы упругости, а абсолотные значения различны для тела с разными массами.

*) В современных книгах обычно пишут, как бы «исправляя» Ньютона, вместе «изменение движения» — «изменение количества движения». Под количеством движения при этом понятно произведение массы тела на его скорость (телеря эту величины чаще называют импульсом). Нетрудно понять, что такое толкование слов Ньютона не противоречит принятому нами.

12

Но для всех тел остается одной и той же величины произведение массы $m$ тела на егоускорение $a$, то есть величина $ma$. Отсюда следует, что сила $F$ определяется уравнением
$$\vec{F} = ma.$$
Второй закон Ньютона так теперь и формулируется: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на собственное этойускорение.

Ясно, что эта формулировка выполняе соответствует ньютоновской, поскольку из нее следует, чтоускорение («изменение движения» по Ньютону) пропорционально силе:
$$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}.$$
Итак, сила, о которой говорилось только, что она представляет собой меру влияния одного тела на другое, стала теперь физической величины, которая может быть выражена числом. Для нее можно установить единицу измерения. За единицу силы естественно принять силу, которая сообщает телу с массой, равной единице (1 кг),ускорение, равное единице (1 m/c²). Справедливо, что этой единице присвоено название «ньютон» (Н) в честь творца классического механики.

$$\vec{F} = ma - \text{уравнение движения}$$

Второй закон Ньютона — самый важный закон механики, потому что именно он позволяет решить любую задачу о движении тел. Дело в том, чтоускорение $a$, входяще в уравнение второго закона, представляет собой быстроизменения (по модулю и по направлению) скорости тела со временем:

$$\vec{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}.$$

13

Нужно помнить, что за этим векторным уравнением стоит три уравнения для проекций ускорения на оси координат:

$$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}, \quad a_y = \frac{\Delta v_y}{\Delta t}, \quad a_z = \frac{\Delta v_z}{\Delta t},$$

где $\Delta v_x, \Delta v_y, \Delta v_z$ — изменения проекций скорости, $\Delta t$ — промежуток времени, за которым произошли изменения.

В свою очередь проекция скорости — это быстроа изменения координат тела со временем:

$$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}, \quad v_y = \frac{\Delta y}{\Delta t}, \quad v_z = \frac{\Delta z}{\Delta t}.$$

Значит, за величины ускорения во втором законе Ньютона в действительности в сложном виде «скрывается» изменение координат со временем: быстроа изменения быстроы изменения координат (на языке высшей математики это приудливое словосочетание выражается проще: вторая произvodная координат по времени).

Решив уравнение $\vec{F} = ma$, мы получим выражение, показывающее, как координаты движения тела изменяются с течение времени. Следовательно, можем узнать положение движения тела в любой момент времени. А это и есть главная задача механики. Для этого и существует эта наука. Вот почему уравнение, выражающей втором законом Ньютона, называется уравнением движения.

Чтобы составить это уравнение и решить его, нужно знать силу, действующего на тело. Кроме того, нужно еще знать как называемые начальные условия — координаты тела и его скорость в некоторый начальный момент времени. Наоборот, если закон движения тела известен из опыта, уравнение движения (второй закон Ньютона) позволяет найти силу, приложенную к телу. Если, например, координата $x$ изменяется со временем по закону $x = x_0 + v_x t$, то есть тело движется вдоль оси $x$ с постоянной скоростью $v_x$, то, согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело (вдоль оси $x$), равна нулю. Если координата $x$ изменяется со временем по формуле

$$x = x_0 + v_x t + \frac{a_x t^2}{2},$$

тelo движется по оси $x$ с постоянным ускорением $a_x$. По второму закону это означает, что к телу приложена постоянная сила $\vec{F}_x$, направленная вдоль оси $x$ и равная по модулю $ma_x$.

Что значит «знать силу»?

Знать движение — это значит знать, как координаты тела зависит от времени. Этоясно из только что приведенных примеров. Но что значит «знать силу»?

Что ответить на этот вопрос, вспомним, что сила — всегда результат взаимодействия. Если на тело действует сила, то существует какое-то другое тело, от которого она «исходит». И сила зависит от взаимодействия взаимодействующих тел, от расстояния между ними. Это следует уже из того, что тела, бесконечно удаленные друг от друга, вовсе не взаимодействуют. Но при движении расстояние между взаимодействующими телами может изменяться. Поэтому могут изменяться и силы взаимодействия между этими телами. Значит, сила, приложенная к данному телу, зависит от положения движения тела относительно того тела, которое на него действует. Можно она зависит и от скорости движения тела относительно того тела, которое эту силу «создает».

Знать силу — это значит знать, как сила зависит от координат и скорости движения тела. И если вид этой зависимости известен, то соответствующие выражения и нужно подставить вместе $\vec{F}$ в формулу $\vec{F} = ma$.

А как узнать эту зависимость? Здесь как всегда, нужно обратиться к опиту.

Для сил, изучаемых в механике, взаимодействии от координат и скорости известны давно.

В 1678 году Роберт Гук (1635—1703) опытным путем установил, что сила пругостирирует пропорциональна ее удлининию. «Каково растяжение, такое сила» — такой короткой фразой объявил Гук об от-

14

крытом им законе. Телерь этот закон носит его имя. Выражают его формулой

$$F = -kx.$$

Здесь $k$ — коэффициент пропорциональноности, характерный для каждойружины: $x$ — удлинениеружины, то есть разность длины деформационной и недефорарованнойружины. Если встич отчет координаты свободного концаружины от положения этого конца при недефорарованнойружине, то $x$ — это координата концаружины. Следовательно, формула $F = -kx$ как раз и показывает, как сила упругости зависит от координаты.

Для другой важной механической силы — силы всемирного тяготения — вид зависимости от координат был установлен самим Ньютоном. Сила эта определяется формулой

$$F = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2}.$$

Здесь $r$ — расстояние между взимодействуошими телами, $m_1$ и $m_2$ — массы этих тел, $\gamma$ — коэффициент пропорциональноности. Расстояние $r$ и определяет координаты одного тела относительно другого. В земных условиях проявлением силы всемирного тяготения является сила тяжести, равная по модулю $m|\vec{g}|$, где $m$ — масса тела, $\vec{g}$ — ускорение свободного падения. В этой выражение координаты тела как будто не входят. Однако нужно иметь в виду, что значение $|\vec{g}|$ зависит от расстояния до тела от центра Земли, то есть от координат относительно этого центра. Так что и сила тяжести зависит от координат. (Только вблизи поверхности Земли ускорение $|\vec{g}|$ можно приближенно, хотя и с большой точностью, считать постоянным.)

Некоторые позже, уже в XVIII века, была изучена и третий механический силу — сила тяготения. Это единственная из механических сил, которая зависит от координат тела, к которой она принадлежена, а от относительной скорости тела и направлена против скорости.

Две из трех механических сил — сила упругости и сила тяготия — имеют как выяснились, электромагнитную природу. Природа электромагнитных сил, законы, которые они подчиняются, стали известны околоста лет назад. Природа механического сил — силы всемирного тяготения — была обясена всего шестьдесетят лет назад. А законами механики пользовются уже триста лет. Это связано с тем, что для механики природа сил не существует. Важно лишь знать, как зависит силы от координат и от скорости.

Силы складываются

Итак, опыт показывает, что механические силы зависит от координат и скоростей движениях тела. И опыт же показывает, что ни от чего другого они не зависит. В частности, сила, приложенная к телу, не зависит от того, действует ли она на тело «в одиночстве» или вместе с другими силами. Силы, приложенные к телу, не «мешают» друг друга сообщать ему ускорение. Конечно, о теле, к которой приложено несколько сил, нельзя сказать, что у него и ускорений несколько. У него одно ускорение, равное векторной сумме тех ускорений, которые сообщила бы ему каждой из сил, будь она единственной. Можно потому сказать, что и сила на тело действует одна, но она векторной сумме всех приложенных к телу

15

сил. И когда к телу приложено сразу несколько сил, в уравнение $\vec{F} = m\vec{A}$ под $\vec{F}$ нужно попять векторную сумму всех приложенных сил. Ее называют равноведействующей силой.

Третий закон Ньютона

О третьем закон Ньютона нам остается сказать очень мало. Не потому, что закон маловажный, не заслуживающий серверных погсенений. Наоборот, в нем содержится самая главная идея механики. А потому, что об этом закону у нас уже была речь и мы им уже пользовались.

В том законе движения, который в книге Ньютона значится под третьим номером и который сохраняет этот традиционный номер во всех книгах по механике от Ньютона до наших дней, говорится о том, что силы возникают при взаимодействии тел, что силы, действующие на каждого из участников взаимодействия, одинаковы по modulo и противоположны по направлению. Об этом мы уже говорили в предыдущей нашей статье. Там указалось, что при взаимодействии двух тел каждое из них получает ускорение; эти ускорения направлены в противоположные стороны и относение модели ускоренной равно обратному соотношению масс взаимодействующих тел. Все это может быть выражено формулой

$$m_1 a_1 = - m_2 a_2.$$