Если промежуток не замкнут...

44

С. Овчинников

Если промежуток не замкнут…

При решении геометрических задач на отыскание наиболее (или наиболее) значения иногда забывают, что искомые величины обычно удовлетворяют определенным ограничением, обусловленным их геометрическим смыслом. Во многих таких задачах исследование рассматриваемой функции на границах ее области определяется собой существующее часть решения.

Ниже приведется примеры такого исследования.

Задача 1. Наименование значения величины периметра прямоугольника,писано в данной круговой сегменте так, что две его вершины лежат на хорде данной сегмена.

Решение. Пусть $2a$ — длина хорды сегмента, а $h$ — его высота (рис. 1). Легко видеть, что величина радиуса круга есть $R = \frac{a^2 + h^2}{2h}$.

Обозначив через $x$ половину длины основания вписанного прямоугольника

Рис. 1.

ка, находим длину второй стороны:

$$y = \sqrt{R^2 - x^2} - R + h.$$

Отсюда находится величины перimetра $P$ прямоугольника как функцию переменной $x$:

$$P(x) = 4x + 2\sqrt{R^2 - x^2} - 2R + 2h.$$

При этом $x \in ]0; a[$, если $h \leq R$, и $x \in ]0; a[$, если $h > R$ (проверьте!).

Найдем критические точки функции $P$ и исследуем их. Имеем

$$P'(x) = 4 - \frac{2x}{\sqrt{R^2 - x^2}}.$$

Отсюда

$$P'(x) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{R^2 - x^2} = x.$$

Решая последнее уравнение, находим критическое точку $x_0 = \frac{2\sqrt{5}}{5}R$.

Функция $\frac{2x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$ является возраслотой. Поэтому производная $P'(x)$ положительная при $x < x_0$ и отрицательна при $x > x_0$. Таким образом, точка $x_0$ является точкой максимума функции $P$. Осталось исследовать вопрос, когда эта точка дает наиболее значение perimetра и что происходит, когда наиболее значение в этой точке не достигается. В этом исследовании существенную роль играет интервал, на котором определяна функция $P$. Например, что для $h \leq R$ это есть интервал $]0; a[$, а для $h > R$ — получиться промежуток $]0; a[$.

И в том, и в другом случае, если критическая точка $x_0$ принадлежит интервалу $]0; a[$, то функция $P$ принимает в ней свое наиболее значение. Имеем

$$x_0 \in ]0; a[ \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{5}}{5}R < a \Leftrightarrow \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{a^2 + h^2}{h} < a.$$

Решая последнее уравнение, находим $\frac{h}{a} \in \left[ \frac{\sqrt{5} - 1}{2}; \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right]$.

Для всех таких значений $a$ и $h$ наиболее значение perimetра равно

$$P(x_0) = \frac{(\sqrt{5} - 1)a^2 + (\sqrt{5} + 1)h^2}{h}.$$

45

Пусть теперь критическая точка $x_0$ не принадлежит интервалу $]0; a[$, т. е. $x_0 \geqslant a$. В этом случае произведение $P'(x)$ положительная для всех $x$ из $]0; a[$ и функция $P$ возвращает на интервале $]0; a[$.

Пусть $h \leqslant R$. Совместно с условиям $x_0 \geqslant a$ это дает нам $\frac{h}{a} \leqslant \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Так как при $h \leqslant R$ функция $P$ определяна на интервале $]0; a[$, мы делаем вывод, что она не достигает своего наиболее значения.

Если же $h > R$, то совместно с условиям $x_0 \geqslant a$ получаем $\frac{h}{a} \geqslant \frac{\sqrt{5}+1}{2}$. Так как в этом случае функция $P$ определяна на получективом промежутке $]0; a[$, она достигает своего наиболее значения при $x = a$. Это значение есть $P(a) = 4a + 2 \cdot \frac{h^2 - a^2}{h}$.

Дадим наглядную геометрическую иллюстрацию полученным результатам. Выделим в круге радиуса $R$ две параллельные «критические» хорды, находящиеся на расстоянии $\frac{\sqrt{5}}{5} R$ от центра круга (рис. 2), и построим их до прямогольника. Мы будем рассматривать лишь «верхние» сегменты с хордами, параллельными выделенным.

Если хорда данного сегмента находится между выделенными хордами, то $a > \frac{2\sqrt{5}}{5} R$ и вписанный в наш сегмент прямогольник наиболее периметра есть пересечение данного сегмента с прямогольником, построенным на выделенных хордах (см. рис. 2).

Если хорда данного сегмента находится выше обеих выделенных хорд, то $h < R$ и $a \leqslant \frac{2\sqrt{5}}{5} R$; в этом случае периметры вписанных прямогольников не достигают наиболее значения (рис. 3).

Наконец, если хорда данного сегмента находится выше обеих выделенных хорд, то $h > R$ и $a \leqslant \frac{2\sqrt{5}}{5} R$; в этом случае вписанный прямогольник наиболее perimeter имеет свойим основанием эту хорду (рис. 4).

Рис. 5.

Задача 2. Из прямогольника с отрезанным «уолком» (рис. 5) требуется вырезать прямогольник наиболее площей площади, параллельными сторонам данного прямогольника.

Решение. Введем систему координат, как это показано на рисунке 6, и продолжим линейное «среда» до пересечения с осами координат. Пусть

46

точки пересечения ее с осями координат есть $A(a, 0)$ и $B(0, b)$. Решим значала следующую вспомогательную задачу: вписать в треугольник AOB прямоуольник наибольшей площади, одна из вершин коморого есть $O$. Пусть величины вспомогания прямоуольника есть $x$. Тогда его высота равна $b - \frac{b}{a}x$. Отсюда площадь прямоуольника, расматриваемая как функция от $x$, есть

$$S(x) = x \left( b - \frac{b}{a}x \right).$$

Очевидно, $S(x)$ принимает наибольшее значение при $x_0 = \frac{a}{2}$. При этом функция $S$ возвращает на получkbтом промежутке $0; \frac{a}{2}$ и убивает на получkbтом промежутке $\left[ \frac{a}{2}; a \right]$.

Проведенное исследование функции $S$ позволяет дать следующие наглядное решение исходной задачи. Если середина $K$ отрезка $[AB]$ принадлежит «срезу» $[CD]$, то ее следует принять за вершину искомого прямоуольника. Если точка $K$ находится «выше» среза $[CD]$, то за вершину искомого прямоуольника следует принять точку $C$. Если же она находится «ниже» среза $[CD]$, то за вершину искомого прямоуольника принимается точка $D$.

Задача 3. В конус с углом $2\alpha$ при вершине освоого сечения и величиной радиуса основания $R$ виссать цилиндр с наибольшей площадью полной поверхности.

Решение. На рисунке 7 изображено освоое сечение данного конуса. Обозначая через $x$ величины радиуса основания виссанного цилиндра, легко находим, что его высота ($R-x$) стg $\alpha$. Отсюда полная поверхность, как функция переменной $x$, есть

$$S(x) = 2\pi \cdot \text{ctg} \alpha \left[ (\text{tg} \alpha - 1) x^2 + Rx \right].$$

Эта функция условями задачи определена на интервале $]0; R[$. При $tg \alpha \neq 1$ легко находим критическую точку $x_0 = \frac{R}{2(1-tg \alpha)}$ функция $S$.

В зависимости от расположения критической точки относительно интервала $]0; R[$ возможно три случая:

1. $x_0 < 0 \Leftrightarrow \text{tg} \alpha > 1$.

В этом случае, очевидно, функция $S$ является возрастящей на интервале $]0; R[$. Своето наибольшего значения функция $S$ в этом случае не достигает.

2. $x_0 \in ]0; R[ \Leftrightarrow 0 < \frac{R}{2(1-tg \alpha)} < R \Leftrightarrow \text{tg} \alpha < \frac{1}{2}$.

В этом случае критическая точка $x_0$ является, очевидно, точкой максимума функции $S$, причем на промежутке $]0; x_0]$ функция $S$ возвращает на промежутке $[x_0; R[$ убивает; следовательно, наибольшее значение этой функции есть $S(x_0) = \frac{\pi R^2 \cdot \text{ctg} \alpha}{2(1-tg \alpha)}$.

3. $x_0 \geqslant R \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leqslant \text{tg} \alpha < 1$.

В этом случае функция $S$ является возрастящей на интервале $]0; R[$. Подвода итог исследования функции $S$, можно сказать, что для $tg \alpha < \frac{1}{2}$ в конус можно вписать цилиндр с наибольшей площадью полной поверхности. Если же $tg \alpha \geqslant \frac{1}{2}$, то можно娶о значений функций $S$ есть открытий промежуток $]0; 2\pi R^2$ («Алгебра и начала анализа 10», п. 84) и функция $S$ наибольшего значения не достигает.

Задача 4. Один из углов треугольника, вписаного в окружность радиуса $R$, равен $\alpha$. Найти наиболь-

47

шее значение длины высоты треугольника.

Решение е. Обозначим длины сторона треугольника через $a$, $b$ и $c$ (рис. 8) и пустую угол, лежащий против стороны $a$, равен $x$.

Очевидно, $x \in ]0; \pi - \alpha[$. Заметим, что в условия не указано, о какой из трех высот треугольника идет речь. Поэтому при решении «в люб» необходимо найти наиболее значение длины каждой высоты, а затем уже из найденных значений определить наиболее значения, равного $2R\cos^2\frac{\alpha}{2}$.

Обозначив длины высот треугольника, опущенных на стороны $a$, $b$ и $c$, соответственно, через $h_a$, $h_b$ и $h_c$, вычислим их как функция угла $x$. Используя теорему синусов и формулу для плоскости треугольника, находим

$$h_a(x) = \frac{bc}{a}\sin x = 2R\sin \alpha \sin (x + \alpha),$$

$$h_b(x) = \frac{ac}{b}\sin (x + \alpha) = 2R\sin \alpha \sin x,$$

$$h_c(x) = \frac{ab}{c}\sin \alpha = 2R\sin x \sin (x + \alpha).$$

Рассмотрим функцию $h_a$ при $x \in ]0; \pi - \alpha[$. Очевидно, при $\alpha < \frac{\pi}{2}$ эта функция достигает наиболее значения $2R\sin \alpha$ при $x_0 = \frac{\pi}{2} - \alpha$.

Если же $\alpha \geq \frac{\pi}{2}$, то функция $h_a$ убивает на интервале $]0; \pi - \alpha[$ и наиболее значения не имеет. Аналогично находим, что функция $h_b$ для $\alpha < \frac{\pi}{2}$ достигает наиболее значения $2R\sin \alpha$ при $x_1 = \frac{\pi}{2}$, а для $\alpha \geq \frac{\pi}{2}$ наиболее значения не имеет.

Рассмотрим, наконечить функцию $h_c$. $h_c'(x) = 2R[\cos x \cdot \sin (x + \alpha)] + \sin x \cdot \cos (x + \alpha)] = 2R \cdot \sin (2x + \alpha)$. Очевидно, на интервале $]0; \pi - \alpha[$ $h_c'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin (2x + \alpha) = 0 \Leftrightarrow 2x + \alpha = \pi$.

Критическая точка есть $x_2 = \frac{\pi - \alpha}{2}$. На этот раз $\alpha \in ]0; \pi - \alpha[$ при любом допустимом $\alpha$. На интервале $]0; \pi - \alpha[$ следует положительное, а справа — отрицательное. Поэтому в точке $x_2$ функция $h_c$ достигает своего наиболее значения, равного $2R\cos^2\frac{\alpha}{2}$.

Итак, нам осталось для каждой значения угла $\alpha$ найти наиболее значения из найденных наиболее значений высот.

Рассмотрим сначала случай $\alpha < \frac{\pi}{2}$. При таких $\alpha$ наиболее значения высот достигаются и принимают два значения: $2R\sin \alpha$ и $2R\cos^2\frac{\alpha}{2}$. Преобразуем разность

$$2R\sin \alpha - 2R\cos^2\frac{\alpha}{2} = 2R\cos^2\frac{\alpha}{2} \left(2\tg \frac{\alpha}{2} - 1\right).$$

Отсюда можно сделать вывод:

a) при $\alpha < 2\arctg \frac{1}{2}$ максимальная высота равна $2R\cos^2\frac{\alpha}{2}$;

b) при $2\arctg \frac{1}{2} \leq \alpha < \frac{\pi}{2}$ максимальная высота равна $2R\sin \alpha$.

Пусть теперь $\alpha \geq \frac{\pi}{2}$. Выше мы отмечили, что наиболее значения высоты $h_c$ равно $2R\cos^2\frac{\alpha}{2}$. Легко

48

видеть, что значения функций $h_a$ и $h_b$ заполняют интервал $]0; 2R \sin^2 \alpha[$.
В рассматриваемом случае $2R \sin^2 \alpha > 2R \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.
Значит, при $\alpha \geq \frac{\pi}{2}$ наибольшее значение высоты не достигается.

Эту задачу можно решить изящнее, если привлечь геометрические соображения. Очевидно, $h_a \leq c$ и $h_b \leq c$. Поэтому при $\alpha < \frac{\pi}{2}$ наибольшие значения $h_a$ и $h_b$ равны $c$ (рис. 9). Значит, в этом случае нам нужно выбрать большие из чисел $h_c$ и $c$. При фиксированном $\alpha$ фиксированно также и $c = 2R \sin \alpha$. Наибольшее значение $h_c$ имеет, очевидно, в равноведренном треугольнике (рис. 10). Таким образом, в рассматриваемом случае нам, как и выше, нужно выбрать большие из чисел $2R \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ и $2R \sin \alpha$.

Если же $\alpha \geq \frac{\pi}{2}$, то $h_a \geq h_c$ и $h_b \geq h_c$, причем $h_a$ и $h_b$ не достигают наибольшего значения, равного $c \sin(\pi - \alpha) = 2R \sin^2 \alpha$ (рис. 11).

Внимательный читатель, конечно, заметил, что во всех разобранных задачах мы не следовали правила из п. 59 пособия «Алгебра и начала анализа 9». По существу, это правило применимо лишь к случаю замкнутого промежутка. Если же промежуток открытий или получиться, как это и было почти во всех наших задачах, поведение функций на этом промежутке требуется специального анализа!

Такая же проблема возникнет в случае бесконечных промежутков.

У разження

1. В параболический сегмент, хорда которого перпендикулярна к оси симметрины парабoles (рис. 12), вписать прямогольник наибольшего периметра. (Длина хорды — $2a$, высота — $h$).

Рис. 12.

2. В треугольник с основанием $a$ и высотой $h$ вписать прямогольник наибольшего периметра, две вершины которого лежат на основании треугольника.

3. Найти наибольшую хорду эллипса $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, проходящую через $B(0; -b)$.

4. Найти наибольшее и наименьшее расстояния от точки, лежащей на диаметре полученного, до точек получружности, ограничивающей его. Тот же вопрос для кругового сегмента.

5 (ДГУ, биофак, 1978). Найти наибольшее и наименьшее значения функций $y = \sin 2x - x$ на [0; $\pi$].

6 (ЛГУ, ф-т прикладной математики — процессов управления, 1977). Для каких значений параметра $p$ наименьшее на промежутке $[0; 1]$ значение кубического трехчлена $x^3 - 2px^2 + 1$ достигается на правом конце промежутка?

7 (XГУ, физак, 1978). Найти наименьшее значение функций $y = \frac{1}{x} + \frac{q^2}{6 - x}$ на отрезке [2; 3] в зависимости от параметра $q$.