Закон сохранения импульса. Реактивная сила

49

Закон сохранения импульса. Реактивная сила

Одна из возможных формулировок второго закона Ньютона утверждает, что изменение импульса (количество движения) механической системы равно импульсу внешних сил:

$$\Delta \vec{P} = \vec{F}_{\text{внешш}} \Delta t,$$

(1)

где $\vec{P} = \sum m_i \vec{v}_i$ — полный импульс системы, $\vec{F}_{\text{внешш}} = \sum \vec{F}_{j\text{внешш}}$ — векторная сумма внешних сил, действующих на систему.

Для замкнутой (изолюрованной) системы $\vec{F}_{\text{внешш}} = 0$ и следовательно,

$$\vec{P} = \text{const}$$

(2)

— суммарный импульс системы есть величины постоянная. Это — закон сохранения импульса. Он позволяет найти конечные скорости взаимодействующих тел, образующих изолированную систему, не вдаваясь в детали взаимодействия.

Следует помнить, что уравнение (2) — векторное, и ответ может существенно зависит от направления начальных скоростей тел.

Задача 1. По главной горизонтальной поверхности движения мележащая массой $M$ со скоростью $v$ (рис. 1). В нее стрелляют из ружья, причем пуля массой $m$, легящая со скоростью $\vec{V}$, застреваем в мележаще. Какой станеем скорость мележащей после попадания в нее пуля в случае:

a) когда скорость пуля направлена горизонтально, как же как скорость мележащки, б) когда скорость пуля направлена вертикально вниз?

Воспользуемся законом сохранения импульса в проекции на направление первогоачального движения тела.

В случае a) получим:

$$mV + Mv = (m + M) v_k,$$

откуда конечная скорость телажки

$$v_k = \frac{mV + Mv}{m + M}.$$

Как видно, после попадания пуля скорость телажки увеличивается.

В случае б) начальный импульс пуля не дает проекции на горизонтальное направление, следовательно,

$$Mv = (m + M) v_k.$$

Отсюда

$$v_k = \frac{Mv}{m + M}$$

— конечная скорость телажки уменьшается.

Векторный характер закона сохранения импульса в ряде случаев приводит к неожиданным результатам.

Задача 2. Две одинаковые лодки, в которых находится два одинаковых скоростей, движутся по инерции (почти без трения) с одинаковыми скорностями параллельно друг друга по поверхности озера (рис. 2). Начинаем идти досколь. Спортивен, сидящий в первой лодке, вычерпиваем body из

50

лодки и выпадает ее в сторону, а скорость во второй лодке спит. Какая из лодок быстрее пройдет одно и то же расстояние? В направлении, перпендикулярном к килю, лодки движутся не модули.

Как следует из решения задачи 1, при попадании в лодку воды массой $m$, начальная скорость которой направлена вертикально (дождь!), скорость лодки уменшается и становится равной по модулю

$$v_k = \frac{M}{M + m} v,$$

где $M$ — масса лодки, $v$ — модуль ее начальной скорости. Отсюда видно, что изменение скорости лодки

$$\Delta v = v - v_k = \frac{v}{1 + M/m}$$

тем меньше, чем больше относение $M/m$. Поскольку масса должна попавшего в лодки, одна и та же, уменшение скорости будет больше у той лодки, из которой спортмен вычерпывает воду. Заметим также, что при выбросе воды в сторону скорость лодки не меняется, так как киль не дает ей движаться в перпендикулярном направлении.

Таким образом, в которой спортмен спит, быстрее пройдет заданное расстояние и первой окажется у финиша.

Если система не замкнута, изменение ее импульса всегда с дейстивем внешних сил.

Рис. 2.

Задание 3. Пучок частц, имеющих скорость $v$ и массу $m$, падает на пластину площадью $S$; при этом он частично поелочается, а частично урруго отражается (рис. 3). Какая сила действует на пластину, если концентрация частц в пуже равна $n$, а доля поелоченных частц $\alpha$? Расстояние также служит, когда пластина сама движется со скоростью $\vec{u}$: а) настретцу пучку, б) в том же направлении, что и налетающие частцы.

Вначале рассмотрим случай неодвижной пластины. Каждая часть, поглощаемая пластиной, передает ей импульс $mv$. За время $\Delta t$ до пластины должен те частицы, которые находятся в объеме $V = vS\Delta t$ (в модуль скорости частиц), то есть

$$N = nvS\Delta t$$ частц.

Из них поглощается

$$N_{\text{погл}} = \alpha N = \alpha nvS\Delta t$$ частц,

и, следовательно, пластине передается импульс

$$\vec{P}_{\text{погл}} = N_{\text{погл}} \cdot mv = \alpha nvS\Delta tmv.$$

В соответствии с формулой (1)

на пластину действует сила $\vec{F}_1$, модуль которой равен

$$F_1 = |\vec{P}_{\text{погл}}| / \Delta t = \alpha nSmv^2.$$

При упругом отражении частцы модуль ее скорости, а значит, и модуль импульса частцы не меняются, однako направление вектора импульса меняется на противоположное. Поэтому изменение импульса частцы

$$\Delta \vec{P} = mv - (-mv) = 2mv.$$

Число частц, отраженных от пла-

51

стины за время $\Delta t$, равно
$N_{\text{отр}} = (1 - \alpha) N = (1 - \alpha) nvS \Delta t$.
Следовательно, при отражении части пластине передается импульс
$$\vec{P}_{\text{отр}} = N_{\text{отр}} \cdot 2 m v$$
$$= 2 (1 - \alpha) nv S \Delta t m v$$
что приводит к появлению силы $\vec{F}_2$, действующего на пластину. Ее модель
$$F_2 = |\vec{P}_{\text{отр}}| / \Delta t = 2 (1 - \alpha) nSmv^2$$.
Полная сила, действующая на пластину, равна по модели
$$F = F_1 + F_2 = (2 - \alpha) nSmv^2.$$ (3)
Для того чтобы найти силу, действующую на движению на движению, перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью $u$. В этой системе скорость части увеличивается при движении пластины настречу пуку: $v_1 = v + u$ и уменьшается при движении пластины в обратном направлении: $v_2 = v - u$ (здесь $v, u, v_1$ и $v_2$ — модели соответствующих скоростей). В остальном все остаются таким же, как в случае неподвижной пластины. Следовательно, сила, действующая на пластину, находится по формуле (3), в которой следует $v$ заменить на $v_1$ или $v_2$:
$$F_a = (2 - \alpha) nSm (v + u)^2$$
$$F_6 = (2 - \alpha) nSm (v - u)^2.$$
Рис. 4.

В первом случае слава возвращает случай возникновения так называемой реактивной силы $\vec{F}_p$, когда из системы с некоторой скоростью $\vec{u}$ выбрасывается часть $\Delta m$ ее массы. В соответствии с формулой (2)
$$\vec{F}_p = - \frac{\Delta m}{\Delta t} \vec{u}.$$
Величину $\mu = \Delta m / \Delta t$, равную массе вещества, выбрасываемого за единицу времени, называют общим расходом вещества.
Задача 4. В возникном шарике, удерживаемом нимью, в том месте, где крепится нimb, появилось отвергение сечение s (рис. 4). Как изменилось нагяжение нimb, если скоростьиспечения газа из шарика равна v? Плотность газа р.
Изменение $\Delta T$ натяжения нити равно по модели реактивной силы, возникновенной при вытекании газа из шарика (изменением выталькивающей силы и веса шарика в начальной момент, пока изменение объема шарика мало, можно пребежать). За время $\Delta t$ вытекает объем газа $V = sv \Delta t$, его масса $m = \rho sv \Delta t$. Следовательно, расход газа $\mu = m / \Delta t = \rho sv$ и реактивная сила
$$F_p = \Delta T = \rho sv^2.$$
Задача 5. Закрепленный возникновенный вентилятор помещается мощность $N$, его КПД равен η. Какая реактивная сила действует на вентилятор во время его работы? Диаметр лопастей вентилятора $D$, плотность воздуха р.
Обозначим через $v$ модель скорости возникновения потока, создаваемого вентилятором. Тогда масса возникновения за время $\Delta t$, равна $m = \rho v S \Delta t$, где $S = \pi D^2 / 4$ — площадь сечения возникновения потока (рис. 5), а его кинетическая энергия —
$$E_{\text{киин}} = \frac{mv^2}{2} = \frac{\rho v^3 S \Delta t}{2}.$$
Следовательно, мощность вентилятора
$$N = \frac{E_{\text{киин}}}{\eta t} = \frac{\rho v^3 S}{2\eta}.$$

52

Рис. 5.

Отсюда можно найти скорость потока воздуха:

$$v = \left( \frac{2\eta N}{\rho S} \right)^{1/3}$$

и реактивную силу, действующую на вентилятор:

$$F_p = \rho S v^2 = (\rho S)^{1/3} (2\eta N)^{2/3} = (\pi \rho)^{1/3} (\eta DN)^{2/3}.$$

Если механическая система движется с постоянной скоростью, так что изменение ее импульса происходит только вследствие выброса массы, для нахождения реактивной силы удобнее перейти в систему отчета, связанную с движущим телом.

Задача 6. На горизонтовальной поверхности смоит сосуд с водой, закрытый лекitim подвижным порисем, на котором лекitim мягкейный груз массой M (рис. 6). У дна сосуда имеется отвергение сечением s, через коморое вытекаем вода. Какова установившаяся скорость движения сосуда, если сила треня между сосудом и поверхностью пропорциональна скорости сосуда, причем коэффициент пропорциональности равен k. Площадь сечения сосуда S.

Рис. 6.

Искомая скорость (точнее, ее модель v) определяется из условия равенства моделей силы треня и реактивной силы, действующего на сосуд:

$$F_{tp} = kv = F_p.$$

Чтобы найти реактивную силу, перейдем в систему отчета, движущаяся со скоростью v. В этом системе сосуд не подвижен. Для определения модели u скорости истечения воды воспользовемся законом сохранения энергии.

При вытекании небольшого количества воды массой Δm изменение кинетической энергии воды Δmu²/2 равно изменению потенциальной энергии воды Δmgh (h — высота уровня воды в сосуд) и груза MgΔh (Δh — перемещение груза, равное изменению уровня воды):

$$\frac{\Delta mu^2}{2} = \Delta mgh + Mg\Delta h.$$

Изменение уровня воды в сосуд Δh выражается через массу Δm вытекающей воды: Δh = Δm/ρS. Подставляя это выражение в закон сохранения энергии и сокращая на Δm, для скорости u истечения воды получим

$$u = \sqrt{2gh + 2Mg/ρS}.$$

Если груз достаточно тяжелый (то есть его масса много больше массы воды в сосуд: M >>ρSh), первая слагаемый под корнем можно пребреть. В таком случае скорость истечения воды практически постоянна и равна

$$u = \sqrt{2Mg/ρS}.$$

Теперь можно найти реактивную силу, действующую на сосуд:

$$F_p = u \frac{\Delta m}{\Delta t} = u \frac{\rho su \Delta t}{\Delta t} = \rho su^2 = \frac{2Mgs}{S},$$

и скорость движения сосуда:

$$v = \frac{F_p}{k} = \frac{2Mgs}{kS}.$$

Задача 7. Из реактивная скорость v, выбрасываемая порция молива m со скоростью и относительной реактивной силы. Какой станем скорость реактивы? Какую скорость будем иметь реакция после выброса двух масх порций, трех порций k порций (рис. 7)?

53

Воспользовемся законом сохранения импульса. Удобнее написать его в системе отчета, движущейся с первоначальной скоростью ракеты $v$ (так как скорость выброса топлива $u$ задана относительно ракеты). В проекции на направление движения ракеты получим
$$0 = (M - m) v_{1p} - mu,$$
откуда скорость ракеты
$$v_{1p} = \frac{mu}{M - m}.$$
В неподвижной системе отчета скорость ракеты после выброса первого порции топлива равна по модулю
$$v_1 = v + v_{1p} = v + \frac{mu}{M - m}.$$
Выброс второй порции топлива будем рассматривать в системе, движущейся со скоростью $v_1$ (на рисунке 7 выброс топлива показан в неподвижной системе отчета). Из закона сохранения импульса имеем
$$v_{2p} = \frac{mu}{M - 2m},$$
а в неподвижной системе
$$v_2 = v_1 + v_{2p} = v + v_{1p} + v_{2p} =$$
$$= v + \frac{mu}{M - m} + \frac{mu}{M - 2m}.$$
Легко видеть, что после $k$ выбросов скорость ракеты будет равна
$$v_k = v + \frac{mu}{M - m} + \frac{mu}{M - 2m} + \dots + \frac{mu}{M - km} = v + \sum_{l=1}^{k} \frac{mu}{M - lm}.$$
Для сравнения найдем также скорость ракеты $v'_k$ при одноразовом выбросе топлива массой $km$ с той же скоростью $u$ относительно ракеты. Для этого опять воспользовемся законом сохранения импульса, только запишем его сразу относительно неодвижной системы отчета:
$$Mv = (M - km) v'_k + km (v - u),$$
откуда
$$v'_k = v + \frac{kmu}{M - km}.$$
Легко видеть, что $v'_k > v_k$. Такой результат связыван с предположением, что скорость выброса топлива из ракеты в неподвижной системе отчета постоянна и равна $v - u$. В действительности по мере укорения ракеты скорость выброса топлива уменьшается (постоянна скорость выброса относительно ракеты). Поэтому первая формула для $v_k$ более точно описывает реальный сигнал.

У правания

1. Нейтрон массой $m_0$ поглощается ядром неподвижного атома массой $m$. Известно, что энергия возбужденного атома может отличаться от энергии основного состояния только на определенное значение $E_0$. С какой скоростью движется нейтрон?
2. Ракета, запущенная вертикально вверх, взрывается в высшей точке своего подвена. При взрыве образуется три осокка равной массой. Один осокок падает в месте старта ракеты. Два других падаются на Землю в один и тот же момент. Показать, что эти осокки приземляются на одном и том же расстоянии от места старта ракеты.
3. С какой силой давит на землю косяра, когда она, готовясь к прыжку, поднимается вертикально со скоростью $v$? Масса зменен $M$, ее длина $L$.
4. Лестница, на которой находится человек, уравновешена противовесом на вервере, перекиниут через блок. Масса человека равна массе лестницы, а масса блока и трене пребрежимо малы. Человек, находящийся в высоте $h$ от пола, поднимается по лестнице на $n$ ступенек. На какой высоте от пола он оказывается после этого, если расстояние между ступенками равно $l$?
5. На конце соломинки, лежащей на главном столе, сидит кузнечик. С какой намененный скоростью он должен прыгнуть, чтобы попасть на другой конец соломинки? Трене между столом и соломинкой отсутствуют. Масса соломинки $M$, ее длина $l$. Масса кузнечика $m$.
6. Скорость истечения газов из солла ракеты равна 300 м/с относительно ракеты. Может ли такой движатель разогнать ракету до скорости 600 м/с?
7. При использовании реактивного снаряда, установленного в хвосте самолета для защиты его от нападения сзади, был обнаружен удивительный факт: при пуске снаряда разворачался и догонял самолет. Как можно обьяснить это явление?