Решения задач М605—М608; Ф608—Ф612

21

Решения задач

M605. На плоскости отмечены 2n+1 различных точек. Занumerуем их числами 1, 2, …, 2n+1 и рассмотрим следующие преобразование R плоскости: сначала делается симметрия относительно первой точки, затем — относительно второй и т. д. — до (2n+1)-й точки.

a) Покажите, что у этого преобразования R есть единственная «неодвижная точка» (точка, которая отображается в себя).

Рассмотрим всевозможные способы намеции наихис 2n+1 точек (числами 1, 2, …, 2n+1). Каждый такой намеции соответствует свое преобразование плоскости R и свой неподвижная точка. Пусть F — множество неподвижных точек всех этих преобразований.

6. Указите множество F для n=1.

в) Какое максимальное и какое минимальное количество точек может содержать множество F при каждом n=2, 3, …?

Фиксируем произвольную систему координат.

Пусть точки A(x; y) и A*(x*; y*) симметрины относительно точки A’(x’; y’). Тогда x’ = (x+x*)/2, y’ = (y+y*)/2, откуда x* = 2x’ - x, y* = 2y’ - y.

Таким образом, точка с координатами (x; y) при симметрином относительно точки с координатами (x’; y’) переходит в точку с координатами (2x’ - x; 2y’ - y).

Позному при нашей преобразования R точка с координатами (x; y) перейдет в точку с координатами (-x+2x1 - 2x2+…+2x2n+1; y+2y1 - 2y2+…+2y2n+1), где (x_i; y_i) — координаты i-й из заданных 2n+1 точек.

a) Для неподвижной точки (x; y) преобразования R эти координаты определяются однозначно из условия

$$\begin{cases} -x+2x_1-2x_2+\dots+2x_{2n+1}=x, \\ -y+2y_1-2y_2+\dots+2y_{2n+1}=y \end{cases}$$

и равны (x_1-x_2+\dots-x_{2n}+x_{2n+1}; y_1-y_2+\dots-y_{2n}+y_{2n+1}) или

$$\left( \sum_{i=1}^{2n+1} (-1)^{i-1} x_i; \sum_{i=1}^{2n+1} (-1)^{i-1} y_i \right).$$

Утверждение a) доказано.

6. Пусть сначала данные точки X1, X2, X3 не лежат на одной прямой. Если точки A1 после симметричного точек X1, X2, X3 отображаются в себя (см. рисунок), то X1, X2, X3 — середины отрезков A1A2, A2A3, A3A1, где A2 = S_{X1}(A1), A3 = S_{X2}(A2). Значит, [A1X2], [A2X3], [A3X1] — медианы треугольника A1A2A3, так что точки A1, A2, A3 можно получить из точки X1, X2, X3 готовый с центром O и коэффициентом (-2). Легко видеть, что, если данные точки X1, X2, X3 лежат на прямой, ответ получается, в результате смысле, тот же.

в) Глядя на выражение (), нетрудно сообщить, что в множестве F точек не больше, чем число способов вырабатыва из 2n+1 данных точек те n точек, перед абсциссами которых в выражении () будет стоять знак «минус», то есть не больше, чем C2n+1. Очевидно, эта оценка точна (возьмите, например, 2n+1 точек на одной прямой с целыми координатами 1, 2, 2^2, …, 22n).

Оценим теперь число неподвижных точек сизу. Спроектировем данные 2n+1 точек на прямую так, чтобы никакие две точки не попали в одну. На этой прямой введем координаты и переменуем точки в порядке возрастания координат: x1 < x2 < … < x2n+1. Поставим n минус перед первым n числам и рассмотрим сумму — x1 - x2 - … - xn + xn+1 + … + x2n+1; она будет соответствовать некоторой неподвижной точке из нашего множества F. Далее произведем следующую операцию: выберем пару чисел x_i и x_i+1 таких, что перед x_i стоит минус, а перед x_i+1 — плюс, и поменяем у них знаки (на первом шаге, оценидно, i=n). Каждый такой операция приводит к сумме, соответствующей неподвижной точке из множества F, причем, поскольку после каждой операции сумма уменьшается, все эти неподвижные точки различаны. Все таких операций (вне зависимости от их порядка) мы можем произвести n(n+1), что уже дает нам

22

М606. Функция $f$ такова, что для всех действительных $x$ $f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{2}f(x)$. Докажите, что $f$ — перiodическая функция.

М607. а) Разрежьте квадрат на равноведренные трапеци. б) Разрежьте равноведренный прямогольный треугольник на равноведренные трапеци. в) Докажите, что любой многоугольник можно разрезать на равноведренные трапеци.

Рис. 1.

Рис. 2. Рис. 3.

$n(n+1)+1$ неодвижных точек. Значит, в $F$ точек не меньше $n(n+1)+1$. Ровно столько неодвижных точек получится, если, например, снова взять $2n+1$ точек на прямой с целыми координатами $-n$, $-(n-1)$, …, $-1$, 0, 1, 2, …, $n-1$, $n$. При всевозможных способах расстановки $n$ «минусов» перед некоторыми из них максимальное значение суммы этих чисел равно $2 \cdot (1+2+\dots+n)=n(n+1)$, минимальное значение равно $-n(n+1)$, причем сумма может принимать любое четное значение между числами $-n(n+1)$ и $n(n+1)$ — всего $n(n+1)+1$ значений.

И. Клумова, А. Талай

◆
По условияю для любого действительного $x$ справедливый равенства
$$f(x+2)+f(x)=\sqrt{2}f(x+1)=\sqrt{2}(\sqrt{2}f(x)-f(x-1))= =2f(x)-\sqrt{2}f(x-1),$$
то есть
$$f(x+2)=f(x)-\sqrt{2}f(x-1).$$
Позному
$$f(x+4)=f(x+2)-\sqrt{2}f(x+1)= =f(x)-\sqrt{2}(f(x-1)+f(x+1))=-f(x).$$
Следовательно,
$$f(x+8)=-f(x+4)=f(x)$$
для любого $x \in \mathbb{R}$, так что $f$ — периодическая функция, период которого равен 8.
Заметим, что функция, удовлетворяющие исходному уравнению, существует на пример, $f(x)=\sin \frac{\pi x}{4}$.

Э. Туркевич

◆
Заметим, что правильный треугольник легко разбит на равноведренные трапеци (рис. 1); поэтому достаточно довести разбиение до правильного треугольника.
Теперь можно предложить следующей нашей задачи:
a) Искомые разбиения могут быть, например, такими, как на рисунках 2, 3.
b) Разноведренный прямогольный треугольник может быть разрезан, например, так, как показано на рисунках 4 и 5. Каждое из этих разбиений дает новые способы разбиения квадрата.
Другие способы разрезания этих фигур получаются из пункта в).
b) Очевидно, какый многоугольник разбиется на выпуклые многоугольники, а какый выпуклый многоугольник разрезается на треугольники диагоналями, выходящими из любой вершины. Всякий же треугольник может быть разбит на два прямогольных треугольника высотой, опущенной на одну из сторон; наконец, какый прямогольный треугольник можно разрезать на два равноведренных, соединенных гипотенузы с вершиной прямого угла.
Позному достаточно доказать утверждение для произвольного равноведренного треугольника.
Будем для краткости называть равноведренный треугольник с углом $\alpha$ при основании «$\alpha$-треугольником».
Рассмотрим три случая.
1°. $30^\circ \leq \alpha < 60^\circ$. Нужное разрезание представлено на рисунке 6.
2°. $0 < \alpha < 30^\circ$. Как видно из рисунка 7, если можно разрезать $2\alpha$-треугольник, то можно разрезать и $\alpha$-треугольник. Отсюда и из 1° последовательно получаем разрезаемые равноведренных треугольников с углами при основании
$15^\circ \leq \alpha < 30^\circ$, $7,5^\circ \leq \alpha < 15^\circ$, $3,75^\circ \leq \alpha < 7,5^\circ$…

23

М608. На клетчатой бумаге (сторона клетки 1) нарисован п-уольник, все стороны которого лежат на линиях сетки и имеют нечетную длину.
а) Докажите, что п делится на 4.
б) Докажите, что при n=100 площадь этого п-уольника обязательно нечетна. Выясните, какова четность площади при дружех n.

Поскольку любое α, 0°<α<30°, попадает, оченьindo, в один из указанных промежутков, получаем, что при α<30° всякий α-треугольник также можно разрезать нужным образом.

3°. 60°≤α<90°. Доказательство аналогично случаю 2° (рис. 8). Очевидно, $\widehat{BAB'}=45^\circ-\frac{\alpha'}{2}<45^\circ$ ($B'$ — центр окружности, описанной около треугольника ABC), и поэтому треугольники BAB’ и BCB’ «разрезаемы».

Продолжая указанный процесс для треугольников AB’C (точка B’’), AB’‘C, …, мы, очевидно, рано или поздно получим равноведренный треугольник с углом при основании, меньшим 60°.

В. Лев

◆ a) Очевидно, у данного многоугольника горизонтальных сторон столько же, сколько вертикальных, потому что горизонтальные и вертикальные стороны черезются. Значит, n=2k, где k — число вертикальных (или горизонтальных) сторон. Так же очевидно, что сумма длин вертикальных сторон четна, поскольку мы «спускаемся вниз» на столько же, на сколько «поднимаемся вверх». Но длина каждой отрезка нечетна; значит, вертикальные стороны — четное число, то есть k=2m. Поэтому n=4m делится на 4.
б) Введем систему координат так, чтобы оси Ox и Oy содержали самую нижнюю и самую левую стороны нашего 4m-угольника. Тогда координаты вершин нашего многоугольника будут равны
$(a_1; b_1), (a_2; b_1), (a_2; b_2), (a_3; b_2), (a_3; b_3), ..., (a_{2m-1}; b_{2m-1}),$
$(a_{2m}; b_{2m-1}), (a_{2m}; b_{2m}), (a_1; b_2m),$
где $a_i, b_i$ — целые неотрицательные числа, причем все разности $a_{i+1}-a_i, b_{i+1}-b_i$ ($i=1, 2, ..., 2m$) нечетны; здесь и ниже $a_{2m+1}=a_1, b_{2m+1}=b_1$. Нетрудно выразить через эти координаты и площадь S многоугольника, представив ее как сумму и разность площадей прямогоугольников $|a_{i+1}-a_i| \times b_i$:

$$S = \left| \sum_{i=1}^{2m} (a_{i+1}-a_i) b_i \right|.$$

Поскольку все разности $a_{i+1}-a_i$ нечетны, сумма S имеет ту же четность, что и сумма $b_1+b_2+\dots+b_{2m}$. Четности чисел $b_1, b_2, ..., b_{2m}$ черезются (поскольку все разности $b_{i+1}-b_i$ нечетны), так что все m сумм $b_1+b_2, b_3+b_4, ..., b_{2m-1}+b_{2m}$

24

Ф608. Космический корабль массой $M=12$ т движется вокруг Луны по круговой орбите на высоте $h=100$ км. Для перехода на орбиту прилуения на короткое время включается реактивный дивизатель. Скорость вылетацих из соляра ракеты газов $u = 10^4$ м/c. Радиус Луны $R_\pi = 1,7 \cdot 10^3$ км, ускорение свободного надения у поверхности Луны $g_\pi = 1,7$ м/c².

1. Какое количество топлива необходимо израсходовать для того, чтобы при включении тормозного движения в точке А траекторики корабля он опустился на Луну в точке B (рис. 1)?
2. Во втором варианте прилуения кораблю в точке А сообщается импульс в направлении на центр Луны, чтобы перевести корабль на орбиту, касающийся Луны в точке C (рис. 2). Какое количество топлива необходимо израсходовать в этом случае?

Рис. 1.

Рис. 2.

1. При движении корабля вокруг Луны по круговой орбите центростриментальное ускорение корабло сообщается силой тяготения. Позтому

$$\frac{Mv^2}{R} = \gamma \frac{MM_\pi}{R^2},$$

где $v$ — скорость корабля на круговой орбите, $M_\pi$ — масса Луны и $R = R_\pi + h$ — радиус орбиты корабля. Из этого уравнения находится

$$v = \sqrt{\gamma \frac{M_\pi}{R}} = \sqrt{g_\pi \frac{R^2_\pi}{R}} \approx 1,65 \cdot 10^3 \text{ м/c.}$$

После изменения скорости корабля в точке А корабль перейдет на эллиптическую орбиту. Обозначим $v_A$ и $v_B$ скорости корабля соответственно в точках A и B этой орбиты. Согласно закону сохранения энергии

$$-\gamma \frac{M_\pi M_1}{R} + \frac{M_1 v_A^2}{2} = -\gamma \frac{M_\pi M_1}{R_\pi} + \frac{M_1 v_B^2}{2}$$

(1)

$-\gamma \frac{MM_\pi}{R}$ — потенциальная энергия тела массы $M$ на круговой орбите в поле тяготения Луны, $M_1$ — масса спускаемого аппарата); согласно закону сохранения момента импульса (или, что то же, согласно второму закону Кеплера)

$$v_A R = v_B R_\pi.$$

(2)

Решая совместно уравнения (1) и (2), находим

$$v_A = \sqrt{2\gamma \frac{M_\pi R_\pi}{(R_\pi + R)}} = v \sqrt{\frac{2R_\pi}{R + R_\pi}}.$$

Следовательно, для перехода с круговой орбиты на эллиптическую в точке А скорость необходимо изменить на

$$\Delta v = v - v_A = v \left( 1 - \sqrt{\frac{2R_\pi}{R + R_\pi}} \right) = v \left( 1 - \sqrt{\frac{2R_\pi}{h + 2R_\pi}} \right) = v \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{h}{2R_\pi}}} \right) = v \frac{h}{4R_\pi} \approx 24 \text{ м/c.}$$

Так как движатель в круговой время, можно считать, что импульс системы «спускаемый аппарат — топливо» сохраняется. Позтому можно воспользоваться законом сохранения импульса, что дает

$$(M - m) \Delta v = mu,$$

где $m$ — масса скоршего топлива. Отсюда

$$m = \frac{\Delta v}{\Delta v + u} M \approx \frac{\Delta v}{u} M \approx 29 \text{ кг.}$$

2. Во втором случае скорость $v$ корабля в точке А меняется на величины $\Delta v$, и скорость $v_A$ на новой орбите также, что $v_A^2 = v^2 + (\Delta v)^2$ (так как $\Delta v \perp v$).

Из закона сохранения энергии (выражение, аналогичное (1), с заменой $v_B$ на $v_C$) и закона сохранения момента импульса ($v_A R = v_C R_\pi$) находим

$$\Delta v = \sqrt{g_\pi \frac{(R - R_\pi)^2}{R}} = \sqrt{g_\pi \frac{h^2}{R_\pi + h}} \approx 97 \text{ м/c.}$$

25

Масса топлива, расходуемого в этом случае, равна
$$m \approx \frac{\Delta v}{u} M \approx 116 \text{ кг}.$$
И. Слободецкий

Ф609. Деталь, изготовления из алюминия, взвешивается на аналитических весах с помощью латунных.zip. При одном взвешивании воздуха внутри весов сухой, при другом — влажный, давление водяных паров в котором равно $p_{B,\pi} = 15,2$ мм рт. ст. Внешнее давление ($p = 760$ мм рт. ст.) и температура ($t = 20^\circ C$) вздуха в обихх случаях одинаковы.
При какой массе детали можно заменить разницу в показаниях весов, если их цветательность $m_0 = 0,1$ м? Плотность алюминия $Q_1 = 2,7 \text{ e/cm}^3$, латуни $Q_2 = 8,5 \text{ e/cm}^3$.

Запишем условия равновесия при взвешивании в сухом воздухе:
$$m_1 g - F_{A1} = m_2 g - F_{A2}.$$
Здесь $m_1 = Q_1 V_1$ — масса детали ($V_1$ — ее объем); $m_2 = Q_2 V_2 g$ — масса гирь ($V_2$ — их объем); $F_{A1} = Q_{c,B} V_1 g$, $F_{A2} = Q_{c,B} V_2 g$ — архимедовый силы, действующие соответственно на деталь и на гирри со стороны сухого воздуха ($Q_{c,B}$ — плотность сухого воздуха). Таким образом, в состоянии равновесия при взвешивании в сухом воздухе
$$(Q_1 - Q_{c,B}) V_1 - (Q_2 - Q_{c,B}) V_2 = 0.$$ (1)

Чтобы можно было обнаружить отклонение весов от равновесия во влажном воздухе (при той же массе гирь), должно выполнять условия условия:
$$(Q_1 - Q_{c,B}) V_1 - (Q_2 - Q_{c,B}) V_2 \geq m_0,$$ (2)

где $Q_{c,B}$ — плотность влажного воздуха.
ИЗ (1) и (2) находим условия, которые должны удовлетворять масса детали:
$$m_1 = Q_1 V_1 \geq m_0 Q_1 \frac{Q_2 - Q_{c,B}}{(Q_{c,B} - Q_{c,B}) (Q_2 - Q_1)}.$$ (3)

Выразим величины $Q_{c,B}$ и $Q_{c,B}$ через параметры, заданные в условиях задачи — $T = 293$ К, $p \approx 10^5$ Па, $p_{B,\pi} \approx 2 \cdot 10^3$ Па.

ИЗ уравнения газового состояния $pV = \frac{m}{M} RT$ следует, что
$$Q_{c,B} = \frac{p_{c,B} M_{c,B}}{RT} = \frac{p M_{c,B}}{RT},$$
где $M_{c,B} = 29 \cdot 10^{-3}$ кг/моль — молярная масса сухого воздуха. Плотность влажного воздуха равна
$$Q_{c,B} = Q'_{c,B} + Q_{c,\pi},$$
где $Q'_{c,B}$ — плотность сухого воздуха, имеющегося в объеме $V$ влажного воздуха; $Q_{c,\pi}$ — плотность водяных паров, находящихся в объеме $V$ влажного воздуха. Согласно уравнению газового состояния
$$Q_{c,\pi} = \frac{p_{c,B} M_{c,B}}{RT},$$
$$Q'_{c,B} = \frac{(p - p_{c,B}) M_{c,B}}{RT},$$
где $M_{B,\pi} = 18 \cdot 10^{-3}$ мг/моль — молярная масса пара, $(p - p_{c,B})$ — парциальное давление сухого воздуха в объеме $V$ влажного воздуха. Таким образом,
$$Q_{c,B} = \frac{(p - p_{c,B}) M_{c,B}}{RT} \approx 43,2 \text{ г}.$$

В. Белонукин

Ф610. В советско-французском эксперименте по оптической локации Лунны импульсное излучение рубинового лазера на длине волны $\lambda = 0,69$ мкм направлялось с помощью телексана с диаметром зеркала $D = 2,6$ м на лунную поверхность. На Лунне был установлен отражатель,

1. Точность установки оптической оси телексана определяется дифраクционной расходимостью лучка:
   $$\delta \varphi \approx \frac{\lambda}{D} = 2,6 \cdot 10^{-7} \text{ рад} = 0,05''.$$
2. Радиус светового пятна на Лунне равен $\frac{\lambda}{D}$. Следовательно, доля энергии лазера, попавшего на отражатель, составляет
   $$K_1 = \frac{d^2}{4(L\lambda/D)^2} = \left(\frac{dD}{2\lambda L}\right)^2.$$

26

который работал как идеальное зеркало диаметра $d = 20$ см, отражающей свет точно в обратном направлении. Отраженный свет улавливается тем же телекопом и фокусировался на фотоприемнике.

1. С какой точностью должен быть установлена оптическая ось телекопа в этом эксперименте?

2. Пренебрегая потерями света в атмосфере Земли и в телекопе, оценить, какая доля световой энергии лазера будет после отражения от Луны зарецептирована фотоприемником.

3. Может ли отраженный световой импульс зарезистрировать невооруженным глазом, если породовочно чувствуетность глаза прийять равной $n = 100$ световых квантов, а энергия, излучаемая лазером в течение импульса, равна $W = 1$ Дж?

4. Оценить выйрыши, который дает примениние отражателя. Считать, что поверхности Луны рассеивает $\alpha = 10\%$ nadauцено света равномерно в телесный угол $2\pi$ ср. Расстояние от Земли до Луны $L = 380 \cdot 10^3$ км. Диаметр экрана лазера прийять равным $d_{3p} = 5$ мм. Постоянная Планка $h = 6,6 \cdot 10^{-34}$ Дж・с.

Ф611. Акробат, находясь на боковой поверхности цилиндра, лежащего на очень шероховатом полу, перебирает позиции и движется с постоянной скоростью вправо. Считая коэффициент треня ботинок акробата о поверхности цилиндра равным $\mu$, определять предельный угол $\alpha$, который может составить с вертикально радиусом цилиндра, проведенный в точку, в которой находится акробат. Чему будет равна при этом трения ботинок акробата о цилиндр?

Силы, действующие на акробата, это сила тяжесте $\vec{mg}$, сила треня $\vec{F}_{\tau p}$ и сила нормальной реакции $\vec{N}$ (см. рисунок). По условияю задачи акробат движется с постоянной скоростью. Следовательно, согласно П закону Ньютона, векторная сумма сил $\vec{mg}, \vec{F}_{\tau p}$ и $\vec{N}$ равна нулю. Запишем это условие в проекциях на оси $X$ и $Y$, направленные так, как на рисунке (система координат $XOY$ движется вправо с той же скоростью, что и акробат; начало координат совпадает с точкой, в которой находится акробат):

в проекциях на ось $X$ —
$$mg \sin \alpha - F_{\tau p} = 0;$$

в проекциях на ось $Y$ —
$$N - mg \cos \alpha = 0.$$

Учитывая, что $F_{\tau p} \leq \mu N$, из (1) и (2) находится угол $\alpha = \alpha_0$:

$$\alpha_0 = \arctg \mu.$$

Величина силы треня при $\alpha = \alpha_0$ равна
$$F = mg \sin \alpha_0 = mg \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}.$$

С. Кротов