Задачи о спутниках

43

Л. Баканина

Задачи о спутниках

4 октября 1957 года по правау считают началом нового века в освенении Космosa. Запуск первого искусственного спутника Земли открыл невообразимые ранее просторы для научных изысканий. Стали возникными исследованиями космических изучений, не возможности атмосферой. Человек получил возможность по-новому, so стороны взглянуть на свою родную планету: на ее поверхности, атмосферу и даже глубины.

Искусственные спутники породили множество проблем, связанных с их собственным движением, и вызвали новую волну интересса к вопросам, которые занимались еще Кеплер, Галилей, Ньюотон.

Точный расчет движения спутника — задачарезвычайно сложная. Однако в первом приближении она совпадет к задаче взаимодействия двух тел. Именно такие задачи и будут рассмотрены в этой статье.

Вспомним основные физические законы, которые необходимо знать при решении задач о движении спутников.

Прежде всего это закон всемирного тяотения — любые две материалы точки прятягивают друг друга с силой $\vec{F}$, направленной по линии, их соединяющей, а по абсолотной величины прямого пропорциональной их массам $m_1$ и $m_2$ и обратно пропорциональной квадрату расстояния $r$ между ними:

$$|\vec{F}| = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

($G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ m}^3 / (\text{кг} \cdot \text{с}^2)$ — гравиитционная постоянная).

По поводу этого закона в третьем номере «Кванта» за 1980 год была опубlikована статья В. Можаева. В ней было показано, в частности, что потенциальная энергия гравиитонного взаимодействия тел равна

$$E_p = -G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

то есть она отрицательна и обратно пропорциональная расстоянию между телами. Знание этого выражения выходит за рамки школьной программы, но иногда оказывается очень полезным при решении задач. Хорошо известная формула для изменения потенциальной энергии

$$\Delta E_p = mg\Delta h$$

является частьим случае приведенной выше обшей формулы. Она справедлива, если рассматривается взаимодействие тела массой $m$ с Землей, причем тело находится в близи поверхности Земли и перемещается на высоту $\Delta h$, малую по сравнению с радиусом Земли. В этом случае

$$\Delta E_p = \left( -G \frac{m M_3}{R_3 + \Delta h} - \left( -G \frac{m M_3}{R_3} \right) \right) = \frac{G M_3 m \Delta h}{(R_3 + \Delta h) R_3} \approx m \frac{G M_3}{R_3^2} \Delta h.$$

Но, как следует из закона всемирного тяотения, ускорение свободного падения на поверхности Земли равно

$$g = G M_3 / R_3^2.$$

Таким образом, действительно

$$\Delta E_p = mg\Delta h.$$

Кроме закона всемирного тяотения, следует вспомнить законы Кеплер —

1. каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце;
2. радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывается равные площади;
3. квадраты перiodов обращения планет относится как кубы больших полуосей их орбит.

44

Эти законы, полученные при обработке результатов многоолетних наблюдений датского астронама Тихо Браге, справедливы и для спутников. Так, например, для спутника, движущегося вокруг Земли, Земля выступает в роли Солнца, а спутник — в роли планеты.

Рассмотрим теперь несколько конкретных задач.

З адача 1. Покажите, что перiod спутника, обращающийся воркре пленеты в неосредственной близости от ее поверхности, зависит только от средней плотности пленеты. Вычислите перiod такого спутника для нейтронной звезды, считая, что плотность нейтронной звезды порядка плотности атомных ядер $Q = 10^{17}$ ке/м$^3$.

Сила притяжения спутника к планете сообщает спутнику центростремильноеускорение:

$$G \frac{mM}{r^2} = m\omega^2 r,$$

где $m$ — масса спутника, $r$ — его расстояние до центра планеты, примерное равное радиусу планеты, $M = 4/3\pi r^3$ — масса планеты. Отсюда можно найти угловую скорость $\omega$, а значит, и период $T$ обращения спутника:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\omega}}.$$

Для спутника нейтронной звезды $T \approx 1,2 \cdot 10^{-3}$ с.

З адача 2. Определите отношение массы Марса к массе Земли по параметрам орбиты советской автоматической станции «Марс-2»: максимальное удаление от поверхности (в апоцентре) $a = 25000$ км, минимальное (в апоцентре) $p = 1380$ км, период обращения $T = 18$ и 00 мин. Радуус Марса $r_M = 3400$ км, радуус Земли $r_3 = 6400$ км.

Из условия задачи известны период $T$ и длина большой полуоси $a_M = 2r_M + a + p = 33180$ км эллипса, по которым движется автоматическая станция «Марс-2». Легко вычислить периоды $T_3$ и $T_M$ спутников, врашаюшихся по круговым орбитам

вблизи поверхности Земли и Марса, и сравнить все три периода.

Для спутника Земли можно написать

$$G \frac{m_c M_3}{r_3^2} = m_c \frac{4\pi^2}{T_3^2} r_3,$$

откуда

$$\frac{T_3^2}{(2r_3)^3} = \frac{\pi^2}{2GM_3}.$$

Для аналогичного спутника Марса

$$\frac{T_M^2}{(2r_M)^3} = \frac{\pi^2}{2GM_M}.$$

По третьему закону Кеплера

$$\frac{T_M^2}{T^2} = \frac{(2r_M)^3}{a_M^3}.$$

Таким образом, из последних трех равенств получаем

$$\frac{4\pi^2}{T_3^2} r_3 = g,$$ и $T_3^2 = \frac{4\pi^2 r_3}{g}$.

Итак, окончательно

$$\frac{M_M}{M_3} = \frac{\pi^2 a_M^3}{2r_3^2 g T^2} = 0,11.$$

З адача 3. Искусственный спутник Земли запущен с экватора и врачается по круговой орбите в направлении врачия Земли. Найдите отношение радиуса орбиты спутника к радиусу Земли, при котором спутник перiodически проходит над точкой запускаровно через суток.

Так как угловая скорость спутника $\omega_c$ может быть и больше, и меньше угловой скорости Земли $\omega_3$, возможно два решения задачи.

1. Пусть $\omega_c > \omega_3$, тогда

$$(\omega_c - \omega_3) 2T_3 = 2\pi,$$

$$\omega_3 = \frac{2\pi}{T_3} \text{ и } \omega_c = \frac{3\pi}{T_3}$$

(здесь $T_3$ — один сутки — период

45

образения Земли вокруг своей оси).
Согласно второму закону Ньютона,
$$G \frac{m_c M_3}{r^2} = m_c \omega_c^2 r.$$

Подставив сюда выражение для $\omega_c$ и зная, что $GM_3 = gr_3^2$, найдем отношение радиуса орбиты спутника $r$ к радиусу Земли $r_3$:

$$\left( \frac{r}{r_3} \right)^3 = \frac{g T_3^2}{9 \pi^2 r_3} \approx 130, \frac{r}{r_3} \approx 5.$$

2. Пусть $\omega_c < \omega_3$, тогда
   $$(\omega_3 - \omega_c) 2T_3 = 2\pi, \omega_c = \frac{\pi}{T_3},$$
   $$\left( \frac{r}{r_3} \right)^3 = \frac{g T_3^2}{\pi^2 r_3} \approx 1170, \frac{r}{r_3} \approx 10,5.$$

Задача 4. Спутник, запущенный на крутовую орбиту высотой $H = 500$ km над поверхностью Земли, тормозится в верхих слоях атмосферы. Уеловое ускорение спутника равно $\beta = -3 \cdot 10^{-13}$ рад/с². На какой высоте оказывается спутник через месяц?

Обозначим через $T_0$ и $r_0$ начальные периоды обращения и радиуса орбиты спутника, а через $T$ и $r$ — период и радиус орбиты спутня месяц после запуска. По третьему закону Кеплера
$$\frac{T_0^2}{T^2} = \frac{r_0^3}{r^3};$$

следовательно, при увеличении периода обращения (при уменьшении частоты) радиус орбиты должен возрастать. Найдем, на какую величины.

Пусть период увеличился на $\Delta T$, а радиус орбиты — на $\Delta r$. Поскольку уловое ускорение $\beta$ мало, можно считать, что $\Delta T \ll T$ и $\Delta r \ll r$. Из равенства
$$T_0^2 (r_0 + \Delta r)^3 = (T_0 + \Delta T)^2 r_0^3,$$
пренебрега всеми степенями $\Delta T / T$ и $\Delta r / r$, кроме первого, получим
$$2 \frac{\Delta T}{T_0} = 3 \frac{\Delta r}{r_0}.$$

Перiod обращения $T$ связаан с угловой скоростью $\omega$ соответствием $T = 2\pi / \omega$. Продиференцируем его: $T'(\omega) = -2\pi / \omega^2$. Ввиду малости $\Delta T$ и $\Delta \omega$ будем считать, что $\frac{\Delta T}{\Delta \omega} = T'(\omega)$. Тогда
$$\frac{\Delta T}{T_0} = -\frac{\Delta \omega}{\omega_0} = -\frac{\beta t}{\omega_0}.$$

Начальную угловую скорость $\omega_0$ найдем из условия, что на высоте $H \ll r_3$ центростремительное ускорение спутника приблизительно равно $g$:
$$\omega_0^2 r_0 = g, \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{r_0}} = \sqrt{\frac{g}{r_3 + H}}.$$
Окончательно
$$\Delta r = \frac{2}{3} \frac{\Delta T}{T_0} r_0 = -\frac{2}{3} \beta t (r^3 + H) \sqrt{\frac{r_3 + H}{g}} \approx 3 \text{ км}.$$
Итак, через месяц спутник будет находиться на высоте $H' = 503$ км.

Упражнения

1. Искусственный спутник Земли запущен с экватора и врашается по круговой орбите в плоскости экватора в направлении осевого врашения Земли. Радиус орбиты спутника в $\alpha = 3$ раза больше радиуса Земли $r_3 = 6400$ км. Через какое время спутник в первой раз пройдёт над точкой запуска?
2. Вычислите первую космическую скорость при старте с поверхности Юпитера, если известно, что спутник Юпитера Ганимед врашается по почти круговой орбите радиусом $r = 1 \cdot 10^6$ км с периодом $T = 7,15$ земных суток. Радиус Юпитера $r_0 = 70 \cdot 10^3$ км.
3. Известно, что в настоящие время Луна удаляется от Земли со скоростью $\vec{v} (|\vec{v}| = 3,3$ см/год). Найдите угловое ускорение Луны. Среднее расстояние от Луны до Земли $R = 3,84 \cdot 10^5$ км, угловая скорость врашения Луны вокруг Земли $\omega = 2,56 \cdot 10^{-6}$ рад/с.