Об одной олимпиадной задаче

22

Об одной
олимппадной
задание

(или может ли в меншем быть
чero-нибудь больше?)
В. М. ТИХОМИРОВ

Как-то раз — это было давным-
давно, тридцать с чем-то лет тому
назад — руководитель кружка, тани-
ственно улыбнувшись, задал нам тако-
й вопрос:

«Один тетраэд лежит внутри дру-
гого. Как вы думаете, может ли сум-
ма его ребер оказаться больше, чем
сумма ребер объемлющего тетраэдра?»

Мы дружно закричали: «Нет!» —
«А кто-нибудь может это доказать?»
И тогда один из нас воскликнул:
«А чего тут доказывать: разве у меня
шего может быть чero-нибудь больше?
» — «Это что — аксиома?» —
«Нет, но…» — «А не аксиома — дока-
жи!» — «Не это же оченьно!» Они
преприализсень еще немного, и вдруг
раздался удивленный возглас:
«А ведь может!»

Эта сценка вспомнились мне в
апреле прошло года в Одесе, когда
дало проходил второй тур XVI Всесоюз-
ной математической олимпiadы. Там
десятиклассик был предложена
такая задача:

Вершины тетраэдра KLMN лежат
внутри, на гранях или на ребрах
другою тетраэдра ABCD. Докажите,
что сумма длины всех ребер тетраэдра
KLMN меньше, чем 4/3 суммы длины
всех ребер тетраэдра ABCD*).

(Отметим, что число 4/3 в форму-
лировке нашей задачи не может быть
уменьшено. Для того чтобы понять
это, достаточно рассмотреть правиль-
ную треугольную парамиду ABCD с
очень большим в сравнении с ребром
основания ABC боковым ребром и
взять точки K и L где-нибудь на основании, а две другие точки M и N —
где-то у вершины D.)

С этой задачей справились лишь
четверро участников из пятидесети
трех. Но все решения оказались
очень красивыми, и мне захотелось
о них расскаать.

Начну с чисто геометрического решения, целиком лежшего в русле школьной математики. Оно принадлежит школьнику из города Дмитровграда Ульяновской области Ильмуру Зиганшину.

Введем сначала некоторые обозначения. Пусть KLM — грань тетраэд-

*) Полное решение этой задачи приводится на с. 42 (задание M759). Но не спешите знакомиться с ним. Советуем сначала doitать статью конца и попробовать с ее помощью найти решение самостояльно.

23

ра KLMN, имеющая наиболее периметр среди всех граней этого трезада. Спроектируем трезадр ABCD на плоскость грани KLM. Проекции вершин трезада образнаим соответствие $A_1, B_1, C_1, D_1$. Проекция всего трезада ABCD — это либо треугольник (и тогда одна из точек $A_1, B_1, C_1$ или $D_1$ лежит внутри треугольника, образованного остальных точками), либо выпуклый четырехугольник, ограниченный ломаной $A_1B_1C_1D_1$ (см. рисунок). Ломаную, ограничивающую проекцию трезада ABCD, образнаим через Г (на рисунке она происована более жирными линиями). Ясно, что $\triangle KLM$ лежит внутри Г. Для любых четырех точек пространства $E, F, G, H$ (они могут оказаться в одной плоскости, неокоторые из них могут совпадать и т. п.) через $P_{EFGH}$ образнаим величины $|EF|+|FG|+|EG|+|EH|+|FH|+|GH|$ и называем ее периметром EFGH. Проектиру треугольника KLM и длину ломаной Г образнаим $P_{KLM}$ и $P_\Gamma$ соответственно.

Решение Зиганшина основано на четырех вспомогательных утверждениях, которые представляют интерес и сами по себе. Они формулированы в виде задач, продумайте их самостоятельно.

Задание 1. Если грань KLM имеет периметр, не менящий, чем перimeter каждого из остальных трех граней трезада KLMN, то

$$P_{KLMN} \leq 2P_{KLM}.$$

Задание 2. Если треугольник KLM лежит внутри выпуклой ломаной Г, то

$$P_{KLM} \leq P_\Gamma.$$

Задание 3. Если ломаная Г ограничивает проекцию на плоскость трезада ABCD и при этом $A_1, B_1, C_1, D_1$ — проекции вершин трезада, то

$$P_\Gamma < \frac{2}{3}P_{A_1B_1C_1D_1}.$$

Задание 4. Если $A_1B_1C_1D_1$ — проекции вершин трезада ABCD на некоторую плоскость, то

$$P_{A_1B_1C_1D_1} \leq P_{ABCD}.$$

Из соответствия (1) — (4) решение основной задачи следует немедленно

$$P_{KLMN} \leq 2P_{KLM} \leq 2P_\Gamma < 2 \cdot \frac{2}{3}P_{A_1B_1C_1D_1} \leq \frac{4}{3}P_{ABCD},$$

что и требовалось доказать. Если вы хорошошенько потребите и докажете все утверждения задачи 1—4, то вы непреемно получите удовлетворение от естественности и красоты замечала этаго решения.

Сходным с заграншинским было решение победителя олимпиды среди десятиклассников ленинградского школьника Гриш Перельмана.

Два других решения выходит за рамки школьной программы. Здесь, пожалуйста, уменьшено сделать одно значение. Объчно более всего цепятся также олимпидные задачи, для решения которых знание высших разделов математики не может особенно помочь и математик-профессионал не имеет премиущества перед школьником. Однако удовлетворить этому требованиюудается не всегда. И вот здесь как раз тот случай, когда знание некоторых фактов «нешкольной» математики позволяет получить доказательство очень быстро. При этом решения достигается двумя совершенными путями. Удивительно, что оба эти способа решения были найдены школьниками.

Сначала я рассеккую о решении Андрея Савкина (Ленинград).

В начале своего решения Савкин формулирует следующую теорему: Пусть заданы две системы векторов в трехмерном пространстве, обладающие следующим свойствам: если взять любую прямую и проектировать на нее все векторы объектs системы,

25

Задание 7. По крайней мере у одной из тетраэдров $K_0L_0M_0N$ или $K_0L_0M_0N'$ перimeter больше, чем у тетраэдра $K_0L_0M_0N_*$).

А раз у максимального тетраэдра каждой вершина совпадает с одной из точек $A, B, C$ или $D$, то следует лишь рассмотреть этот вырождный случай.

Задание 8. Пусть каждая из точек $K, L, M$ и $N$ совпадает с одной из точек $A, B, C$ или $D$. Тогда

$$P_{KLMN} < \frac{4}{3} P_{ABCD}$$

Так завершает решение Спивака. Мы видим, что для математикапрофессионала его можно сконцентрировать в одной фразе: вследствие теоремы Вейерштрасса решение задачи о сложном тетраэдре максимального перimeter существует, а вследствие выпуклости функций расстояния это решение сосредоточено в вершинах тетраэдра ABCD, что свойит общую проблуку к вырожденной (задаче 8).

Отметим, что авторское решение основывалось также на задаче 7: чуть более тонкое ее применение позволяет избежать ссылки на теорему Вейерштрасса**).

На этом можно было бы и закончить, но еще несколько слов — попутных. В последнем решении нашел отражение важный принцип для задачи на максимум и минимум: максимальное значение выпуклой функции на многоэрннике (если оно существует) достигается в вершине многоэрнника. Этот принцип играет важную роль в линейном программировании — разделе математики, имеющим большое применение в экономике (см. об этом, например, в статье 3. Литовченко «Лучший вариант» («Квант», 1978, № 5)). В предпоследнем решении мы столкнулись с одним из сравнительно новых понятий математики — понятии варианции (о нем расссказывается в

*) Для тех из вас, кто знаком с понятным выпуклости, задача 7 будет особенно легкой, но ее решение сразу следует из выпуклости функций расстояния. (Согласно одному из определений, функция, заданная на точках пространства, называется выпуклой, если ее значение в середине любого отрезка не превыходит полусуммы значений в его концах.)
**) См. решение задачи М759.