Московский физико-технический институт

55

Практикум абитурения

Ниже публикуются материалы вступительных экзаменов вузы в 1982 году.

Московский физик-технический институт

Matematika
Писменный экзамен

Вариант 1

1. Решите неравенство
   $$81^x + 3^{2x+1} > 54.$$
2. В трапеции $ABCD\ BAD = 90^\circ, ADC = 30^\circ$. Окружность, центр которого лежит на отрезке AD, касается прямых AB, BC и CD. Найдите площадь трапеции, если известно, что радиус окружности равен R.
3. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} tg y - tg x = 1 + tg x \cdot tg y \\ \cos 2y + \sqrt{3} \cos 2x = -1. \end{cases}$$
4. Из точки $M(1; 1)$ проведены касательные к двум ветям гиперболы $y = \frac{k}{x}$ ($k < 0$), касающей этих ветей в точках A и B, причем треугольник MAB — правильный. Найдите коэффициент k и площадь треугольника MAB.
5. В правильной шестиугольной примите $SABCDEF$ (S — вершина) длина стороны основания равна 2. Вершины K и M ромба KLMFF лежат на ребрах AB и SD соответственно и $|KM| = 3$, а отрезок KL пересекает ребро SB. Найдите объем примыды.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\log_3 x - \frac{2}{1 + \log_2 7} = \frac{6}{3 + \log_3 x}.$$
2. Решите уравнение
   $$\frac{\cos 3x}{\sin 3x - 2 \sin x} = tg x.$$
3. Равнобедренный треугольник $ABC$ ($\hat{C} = 90^\circ$) и треугольник $DEF$ расположены так, что точка D лежит на стороне AB, а точка E — на продолжении стороны AB за точку A. Отрезок KL является средней линии в общих треугольниках, и площадь четырехугольника $DKLB$ составляет $\frac{5}{8}$ площади треугольника $ABC$. Найдите $DEF$.
4. Найдите площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости системы неравенств

$$\begin{cases} x^2 + y^2 \geq 10 \\ 3x^2 - 4x - 32 \leq 0 \\ (3x - 2y)(3y - x + 10) \geq 0. \end{cases}$$

5. В правильной приме $ABCA_1B_1C_1$ длина бокового ребра равна 3. Точка M — середина ребра AC, точка N лежит на ребре $B_1C_1$, а точка P принадлежит грани $AA_1B_1B$ и удалена от плоскости ABC на расстояние 1. Известно, что угол в 30° образуют прямые PM и PN — с плоскостью $AA_1B_1B$ и прямая PN — с плоскостью $BB_1C_1C$. Найдите объем примыды.

Вариант 3

1. Решите уравнение
   $$\sqrt{\frac{x+5}{2x+1}} - \sqrt{5x-3} = 0.$$
2. Решите неравенство
   $$\log_2 - x \left( \frac{3-x}{4-x} \right) < 1.$$
3. Квадрат $ABCD$ и окружность расположены так, что окружность касается прямой AC в точке C, а центр окружности лежит по ту же сторону от прямой AC, что и точка D. Касательные к окружности, проведенные из точки D, образуют угол 120°. Найдите отношение площади к площади круга, ограниченного данной окружностью.
4. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 3 \cos(4x-2y) = \sqrt{2} \cos(2x-2y) \\ \sqrt{2} \sin(x+y) = 3 \sin(y-x). \end{cases}$$
5. Сферы с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ радиусов 3 и 1 соответственно касаются друг друга. Через точку M, удаленную от $O_2$ на расстояние 3, проведены две прямые, каждая из которых касается обених сфера, причем точки касания лежат на прямых по одному сторону от точки M. Найдите угол между касательными, если известно, что одна из них образует с прямой $O_1O_2$ угол 45°.

Физика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Собака C безит с постоянной скоростью $v_0$ по тропинке AB, составляющей угол $\alpha = 60^\circ$ с горизонтальной натяжной проводкой MN (рис. 1). К оценнику собаки привязан легкий, горизонтальной висящей трос длины l. Трос соединен с колютом K массы m, которое скользить по проводке без tremия. Найдите натяжение троса в момент, когда колюц и собака находятся на одинаковых расстояниях от места пересечения T тропинки и проводки.
2. Моль идеального газа нагревается при постоянном давлении, а затем при постоянном объеме переводится в состояние с температурой, равной начальной температуре $T_0 = 300$ K. Оказалось, что в итоге газу передано количество Q = 5000 Дж. Во сколько раз изменяется объем, занимаемый газом?

59

путь $l=5$ см и остановливается. Какой путь проходит точка за третий секунду этого движения?

2. Тело положили на наклонную плоскость, составляющего с горизонтом угол $\alpha=30^\circ$. С каким ускорением будет движаться тело, если коэффициент треня тела о плоскость $\mu=0,03$?

3. В вагоне, движущемся горизонтально с постоянным ускорением $a=3$ м/c$^2$, на проволоке высит груз массой $m=2$ кг. Определите силу натяжения проволоки и угол ее отклонения от вертикали. Груз относительно вагона неподвижен.

4. Конькообежец массой $M=60$ кг, стоя на льду, бросает в горизонтальном направлении шайбу массой $m=0,3$ кг со скоростью $v=40$ м/c. На какое расстояние откатится при этом конькообежец, если коэффициент треня коньков о лед $\mu=0,04$?

5. Какой груз нужно положить на плоскую льду, чтобы она полностью погрузилась в воду? Площадь льдины $S=1$ м$^2$, ее толщина $d=20$ см, плотность льда $\rho_\ell=0,9$ г/cm$^3$.

6. Внешняя цепь гальванического элемента составлена из трех резисторов (см. рисунок). Найдите сопротивление этой цепи, если сопротивления резисторов $R_1=R_2=R_3=R=1$ Ом.

Рисунок

7. Две лампы, расччитанные на одно и то же напряжение, имеют номинальные мощности $P_1=60$ Вт и $P_2=100$ Вт соответственно. На какой из ламп и во сколько раз будет выделяться большая мощность при последовательном включении обеих ламп в сеть с номинальным напряжением?

8. На каком расстоянии от рассеивающей линии с оптической силой $D=-5$ дитр надо поместить предмет, чтобы его миним изобравнение получилось в $n=4$ раза меньше самого предмета?

9. Диапазит имеет размеры $8\times 8$ см. Определите формуное расстояние объекта проекционного аппарата, если на экран, нахождение от него на расстоянии $l=4,5$ м, получается изобравнение размером $2,5\times 2,5$ м.

10. Работа выхода электронов из натрия $A=2,27$ эВ. Найдите красную границу фотофекта для натрия. Постоянная Планка $h=6,62\cdot 10^{-34}$ Дж·с.

Публикацию подготвили А. М. Березман, О. Ю. Овчинников, С. В. Пчелинцев

Ответы, указания, решения

Меандры рек

Найдем форму поверхности жидкости, врашающегося в стакане с угловой скоростью $\omega$. Обратимся к рисунку 1 (см. с. 18). Если линейный размер выделенного кубика $\Delta r$, то его масса равна

$$\Delta m=\varrho \cdot \Delta s \cdot \Delta r.$$

Используя это выражение для $\Delta m$, из уравнения (1) и (2) (см. с. 18) получаем:

$$\Delta h=(\omega^2/g)r \cdot \Delta r.$$

Таким образом, тангенс угла $\alpha$ наловака касательной к кривой, изобразяющей сечение свободной поверхности жидкости на рисунке 1, растет пропорционально расстоянию от центра:

$$tg \alpha=\Delta h/\Delta r=(\omega^2/g)r.$$

Если высота уровня жидкости на оси врашения равна $h_0$, то для того, чтобы найти ее на расстоянии $r$, надо добавить к $h_0$ величины среднего значения $tg\alpha$, умноженную на $r$. Среднее значение величины, изменяющей по линейному закону, легко найти, взяв полученную результат.

$$h(r)=h_0+\frac{\omega^2 r}{2g} r.$$

Как видно, зависящать $h(r)$ является квадратной, а ее график изобравяется параболой. (Те, кто знакомы с интегрильным исчислением, конечно, поняли, что мы таким образом вычислили интеграл.)

Любопытно, что парабolicность формы врашающегося жидкости использалась на практике для создания телекополя. Знаментий американский физик Роберт Вуд построил телекополь с парабolicским зерком, помещив на дне колодца врашающегося сосуд со ртутью.

Московский физик-технический институт

Математика

Вариант 1

1. $$\frac{1}{2}\log_3 6; +\infty$$

2. $$\frac{6-\sqrt{3}}{2}R^2.$$ Указание. Данная окружность касается прямой $AB$ в точке $A$.

3. $x=-\frac{5}{12}\pi+\pi k, y=-\frac{\pi}{6}+\pi l(k, l\in Z).$ Указание. Первое уравнение системы равносильно уравнения

$$\frac{tg y-tg x}{1+tg x \cdot tg y}=1,$$

которое, если $x$ и $y$ не являются числами

60

вида $\frac{\pi}{2} + \pi m$, в свою очередь, равносильно уравнению
$$tg(y - x) = 1.$$
4. $k = -\frac{1}{2}, S_{\Delta MAB} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Указание.
Точки $A$ и $B$ симметричных относительной прямой $y = x$. Для определения $k$ используйте равенство $|AB| = |AM|$.
5. $6\sqrt{3}$. Решение. Проведем через точку $S$ прямую, параллельную $(FM)$; обозначим точку пересечения этой прямой с $(ABC)$. через $P$ (рис. 1). Из $S \in (FSD)$ и $(FM) \subset (FSD)$

следует $(SP) \subset (FSD)$. Поскольку $P \in (FSD)$ и $P \in (ABC)$, $P \in (FD)$. Так как отрезок $KL$ пересекает ребро $SB$, $(KL) \subset (ASB)$. Из $(SP) \parallel (KL)$ и $S \in (ASB)$ следует $(SP) \subset (ASB)$. Поскольку $P \in (ASB)$ и $P \in (ABC)$, $P \in (AB)$. Итак, $(AB) \cap (FD) = P$. Так как $FAD = FAP$ и $AFD = 90^\circ$, $|PF| = |FD|$. По теореме Фалеса $|SM| = |MD|$.

Положим $|SA| = b$, $|AK| = x$. Из $\triangle AFD$ $|FD| = 2\sqrt{3}$. Из $\triangle FSD$ $|FM|^2 = \frac{b^2}{4} + 6$. Из $\triangle AFK$ $|FK|^2 = x^2 + 2x + 4$. Итак, $\frac{b^2}{4} + 6 = x^2 + 2x + 4$.

Пусть $M_1$ — ortogonalная проекция точки $M$ на $(ABC)$, $M_2$ — проекция точки $M_1$ на $(AB)$, $O$ — основание высоты прямых. $|KM|^2 = |KM_2|^2 + |M_2M_1|^2 + |M_1M|^2 = (|AM_2| - |AK|)^2 + \left(\frac{3}{4}|BD|\right)^2 + \left(\frac{1}{2}|SO|\right)^2 = \left(\frac{3}{4} \cdot 2 - x\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\sqrt{16 - 4}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\sqrt{b^2 - 4}\right)^2 = x^2 - 3x + 8 + \frac{b^2}{4}$. Итак, $x^2 - 3x + 8 + \frac{b^2}{4} = 9$.

Из уравнения (1), (2) находим $b = \sqrt{13}$, $x = \frac{3}{2}$ (значит, $M_2 = K$). Следовательно, $|SO| = 3$, $V = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 3 = 6\sqrt{3}$.

Вариант 2

1. {9}.
2. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k (k \in Z)$. Указание. Перечень сите $tg x$ в левую часть уравнения и приведите дроби к общему знаменателю.
3. arctg $\frac{1}{4}$. Указание. $(KL) \parallel (AB)$.
4. $27\frac{11}{27} - 5\pi$. Указание. Прямая $3y - x + 10 = 0$ касается окружности $x^2 + y^2 = 10$.
5. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Решение. Пусть $M_1$ — проекция точки $M$ на $(ABB_1)$, $N_1$ — проекция $N$ на $(ABB_1)$, $P_1$ — проекция $P$ на $(BCC_1)$ (рис. 2). Проведем через точку $P$ плоскость, параллельную $(ABC)$; обозначим точки ее пересечения с соответствующими боковыми ребрами прямых через $A_2$, $B_2$, $C_2$. Поскольку боковые грани правильной прямых перпендикулярны плоскостям ее оснований, $M_1 \in [AB]$, $N_1 \in [A_1B_1]$, $P_1 \in [B_2C_2]$. ИЗ прямогоного треугольника $PNN_1$ ($NPN_1 = 30^\circ$) $|NN_1| = \frac{1}{2} |PN|$. ИЗ прямогоного треугольника $BNN_1$ $|B_NN_1| = \frac{1}{2} |PN|$. Аналогично, из треугольников $PNP_1$ и $PB_2P_1$ $|B_2P| = \frac{|PN|}{\sqrt{3}}$. Обозначим через $N_2$ проекцию точки $N$ на $(B_2C_2)$. Тогда $|B_2N_2| = |B_1N| = |B_2P|$; значит, $|PN_2| = |B_2P|$. ИЗ прямогоного треугольника $PNN_2$ по теореме Пифора находим ($|NN_2| = 2$) $|PN| = \sqrt{6}$, откуда $|B_2P| = \sqrt{2}$. ИЗ $\triangle ABC|MM_1| = \frac{\sqrt{3}}{4} |AB|$, $|AM_1| = \frac{1}{4} |AB|$, $|BM_1| = \frac{3}{4} |AB|$. ИЗ прямогоного треугольника $PMM_1$ ($MPM_1 = 30^\circ$) $|PM_1| = \frac{3}{4} |AB|$. ИЗ прямогоного треугольника $PB_2BM_1$ находим ($|BB_2| = 1$) $|AB| = \sqrt{2}$. Затем имена. Так как $|B_2P| = |B_1N| = |AB|$, получаем $P = A_2$ и $N = C_1$. На рисунке 2 — не так, поскольку мы его рисовали, мы этого еще не знали.

Вариант 3

1. {1}.

61

2. $-\infty; 1 \cup \left[ \frac{5-\sqrt{5}}{2}; 2 \right]$.

3. $\frac{4+\sqrt{15}}{3\pi}$. Указание. Из $\triangle DOE$ ($O$ — центр окружности, $E$ — любая из точек касания указаны в условиях касательных) выразите $|DO|$ через радиус окружности $R$, примите к $\triangle DOC$ теорему косинусов.

4. $x = \pm \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} \right) + \pi k, \quad y = \mp \frac{3}{2} \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + \pi l(k, l \in \mathbb{Z})$. Указание.

Перемножив, соответственно, левые и правые части уравнения, преобразуйте полученные произведения в сумму синусов. Не забудьте, что при таком способе решения необходимо проверка!

5. $2\arctg \frac{1}{3}$. Решение. Пусть первая пряма касается сфер в точках $A$ и $B$, а вторая — в точках $C$ и $D$, $O_1'$ и $O_2'$ — центры сечений сфера плоскостью $AMC$ (рис. 3).

Рис. 3.

Так как $(O_2D) \perp (MD), \quad |DM| = \sqrt{|O_2M|^2 - |DO_2|^2} = 2\sqrt{2}$. Умножив скалярно обе части равенства $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CO_1} + \overrightarrow{O_1O_2} + \overrightarrow{O_2D}$ на вектор $\overrightarrow{CD}$, получим $|CD|^2 = |CD| \cdot |O_1O_2| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$, поскольку $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CO_1} = \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{O_2D} = 0$. Отсюда $|CD| = 2\sqrt{2}$. Положим $A\hat{M}O_1' = a$. Имеем $|DO_2'| = 2\sqrt{2} \text{tg} \alpha$. $|CO_1'| = 4\sqrt{2} \text{tg} \alpha$, $|O_1'O_2'| = \frac{2\sqrt{2}}{\cos \alpha}$. Далее, $|O_1'O_1'| = \sqrt{|O_1C|^2 - |CO_1'|^2} = \sqrt{9 - 32 \text{tg}^2 \alpha}$, $|O_2'O_2'| = \sqrt{|O_2D|^2 - |DO_2'|^2} = \sqrt{1 - 8 \text{tg}^2 \alpha}$. Отрезки $O_1O_2$ и $O_1'O_2'$ могут не пересекаться (рис. 4, 6). Не зная пока, каково их расположение в данном случае, мы можем составить уравнение $16 = |O_1O_2|^2 = (|O_1O_1'| \pm |O_2O_2'|)^2 + |O_1'O_2'|^2 =$

Рис. 4.

$= (\sqrt{9 - 32} \text{tg}^2 \alpha \pm \sqrt{1 - 8} \text{tg}^2 \alpha)^2 + \frac{8}{\cos^2 \alpha}$, из которого находится $\text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{9}$. Проверка по казывает, что внутри скобки должен стоять знак +.

Физика

Вариант 1

1. Рассмотрим колюц $K$, скользываece по проволоке (рис. 5). На него действуют две силы: натяжение троса $\vec{T}$ и реакция проволоки $\vec{F}$, направленная перpendикулярно проволоке (так как трене отсутствует). Под действием этих колюц сускорением скользит по проволоке. Если из кинематических сообщений определять ускорение колюца в заданный в условиях момент времени, то можно будет найти и искомое наяжение троса.

Введем косуогольную систему координат, направив оси $X$ и $Y$, как показано на рисунке 5. В любой момент времени расстояние между

Рис. 5.

колюцом и собакой равно длине троса $l$, а координаты $x$ колюца и $y$ собаки связаны с $l$ по теореме косинусов:

$l^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos 120^\circ = x^2 + y^2 + xy$.

Проифференцируем это равенство дважды по времени:

$2(x')^2 + 2xx'' + 2(y')^2 + 2yy'' + 2x'y' + xy'' + yx'' = 0$.

Поскольку собака безит с постоянной скоростью $v_0$, в любой момент времени $y' = v_0$ и $y'' = 0$. Так как трос неерактим, проекции скоростей колюца и собаки на направление троса $KC$ одинаковы, а в данной момент времени одинаковы и модули эти скорости: $v = v_0$, $x' = -v_0$ (знак «минус» связан с выбором положительного направления оси $X$). координаты $x$ и $y$ можно связать с длиной троса $l$ с помощью теоремы синусов:

$x = y = l \text{tg} 30^\circ$.

Таким образом, ускорение колюца в рассматриваемый момент времени равно

$x'' = -\frac{2v_0^2}{2x + y} = -\frac{2v_0^2}{3l \sin 30^\circ} = \frac{4mv_0^2}{3l}$.

63

Можно также просто возвести обе части уравнения $\sqrt{x+2}-1=\sqrt{x-a}+2$ в квадрат, но следует потом проверку.

2. $\frac{9}{2}$; $\triangle ABC$ отображается на себя при тожестевном отображении и при освой симметричной относительной прямой $y=x$.

Указание. При искомых перемещениях плоскости вершина $C$ и множество $\{A, B\}$ отображается на себя. (Подробнее — см. «Квант», 1979, № 7, с. 60.)

3. $x_1=\pi k, x_2=\frac{5}{6}\pi+2\pi l(k, l\in\mathbb{Z})$. Указание. Данное уравнение равносильно системе
   $$\begin{cases} 2\sin x=3\mathrm{tg}^2 x \\ \mathrm{tg} x\leqslant0. \end{cases}$$

4. a) $\max f(x)=f(1)=5, \min f(x)=f(0)=1;$
   [0; 2] [0; 2]

6. $\min f(x)=f(3)=1, \max f(x) не существует.$
   [2; 4] [2; 4]

Указание. Область значений функций $f$ на $]2; 4[$ — промежуток [1; 5].

5. $\left\{\frac{1}{3-a}\right\}$ при $a\geqslant4$ и при $a\leqslant-3, \left\{-\frac{7}{a+3}\right\}$ при $3\leqslant a<4, \left\{\frac{1}{3-a}, -\frac{7}{a+3}\right\}$ при $-3<a<3$.

Указание. Нарисуйте график функции $y=|3x+3|$ и врашайте прямую $y=ax+4$ во круглую точку (0; 4).

Вариант 2

1. $\{(a; 3-a^2)\}$ при $a>3$ и при $2<a<3, \{(1-a; 2+2a-a^2)\}$ при $-2<a<-1$ и при $a<-2, \emptyset$ при $a=3, -1\leqslant a\leqslant2$ и $a=-2$.

Указание. Данная система равносильно системе
$$\begin{cases} (x-2)^2=2x^2-4x+y+1 \\ x+y-3=a-a^2 \\ x-2>0 \\ x-2\neq1. \end{cases}$$

2. $\sqrt{3}, (\sqrt{3}-1; 2)$ или $(-\sqrt{3}-1; 2)$; $\triangle ABC$ отображается на себя при тожестевном отображении, осевых симметричных относительных высот и поворотах вокруг центра треугольника на $\pm60^\circ$. Указание. При искомых перемещениях плоскости множество $\{A, B, C\}$ отображается на себя.

3. $x_1=2\pi k, x_2=-\frac{\pi}{4}+\pi l, x_3=\frac{\pi}{4}+2\pi m$ $(k, l,m\in\mathbb{Z})$. Указание. Данное уравнение равносильно системе
   $$\begin{cases} (\sin x+\cos x)^2=1+\mathrm{tg} x \\ \sin x+\cos x\geqslant0. \end{cases}$$

4. a) $\max f(x)=f(0)=1, \min f(x)=f(1)=0;$
   [0; 2] [0; 2]

6. $\max f(x)=f(3)=4, \min f(x)=f(2)=1$. Указание. Нарисуйте график функции $f$.

5. $\emptyset$ при $a>\frac{9}{4}, \left\{\frac{2}{3}\right\}$ при $a=\frac{9}{4}, \left\{\frac{3\pm\sqrt{9-4a}}{2a}\right\}$ при $\frac{9}{28}<a<\frac{9}{4}$ и при $a\leqslant-4, \left\{-\frac{14}{3}, \frac{3\pm\sqrt{9-4a}}{2a}\right\}$ при $a=\frac{9}{28}, \left\{-\frac{3\pm\sqrt{9-28a}}{2a}, \frac{3\pm\sqrt{9-4a}}{2a}\right\}$ при $0<a<\frac{9}{28}, \left\{-\frac{7}{3}, \frac{1}{3}\right\}$ при $a=0, \left\{\frac{-3+\sqrt{9-28a}}{2a}, \frac{-3+\sqrt{9-28a}}{2a}\right\}$ при $-4\leqslant a<0$. Указание. Нарисуйте график функции $y=|3x+3|$ и рассмотрите семейство кривых $y=ax^2+4$, изменяя $a$ от $+\infty$ до $-\infty$ (все эти кривые проходят через точку (0; 4)).

Физика

1. $t=2\sqrt{v^2+la}/a\approx47,6$ с.

2. $v_a=e/\sqrt{10am_p}\approx3,7\cdot10^3$ м/c.

$v_p=4e/\sqrt{10am_p}\approx1,5\cdot10^4$ м/c.

3. $F=\frac{\pi\operatorname{gh}^2(3R-h\mathrm{tg}\alpha)}{3\cos\alpha}\approx29,2$ Н.

4. $l=\sqrt{2h(v_0^2-2c\Delta t)/g}\approx286$ м.

5. $x=\frac{V_0}{S}\frac{\Delta T}{2T_0+\Delta T}=1$ см.

6. $T=\frac{mg\sin^2\alpha\cdot\mathrm{tg}\alpha}{\varepsilon}\approx3,5\cdot10^{-4}$ Н.

равновесие безразличное.

7. $Q_1=C_1\left(\frac{\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2}{R+\mathcal{E}_1r}\right)=10^{-5}$ Кл;

$Q_2=C_2\frac{\mathcal{E}_2R}{R+r}\approx2,4\cdot10^{-5}$ Кл.

8. $\mathcal{E}=\frac{\Delta I/\Delta t}{4\pi^2\operatorname{v}^2C}\approx0,25$ В.

9. $\beta=\pi/2$-arcsin $(n\cos 2\alpha)\approx48,6^\circ$.

Указание. На первой боковой грани лучше претерпевает полное отражение.

10. $v=\sqrt{\frac{2}{m}\left(\frac{hc}{\lambda}-E\right)}\approx2\cdot10^6$ м/c.

Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина

Matematika

Писыменный экзамен

Вариант 1

2. $x=\arctg(1\pm\sqrt{2})+\pi k(k\in\mathbb{Z})$.

3. $]-\infty; 0[ \cup] \frac{4}{19}; +\infty[$.

4. $3\sqrt{3}a^2$.

5. $[-2\frac{1}{4}; -2]$.

Вариант 2

1. $(x-1)\cos x-(x+1)\sin x$.

2. $x_1=\frac{\pi}{4}+\pi k, x_2=\frac{\pi}{2}+2\pi l(k, l\in\mathbb{Z})$.

3. $\frac{a^3}{6}\cdot\frac{\sqrt{\cos 2a}}{\sin a}$.

4. 5. Указание. Найдите $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$.

5. {3}.

Вариант 3.

1. $\ln x+1$

2. $\emptyset$.

3. $x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k(k\in\mathbb{Z})$.

4. {5}.

5. $\pi d^2\cdot\frac{1+\sin\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos^2\alpha}$.

64

Физика

1. $l' = 5l = 25$ см.
2. $a = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha) \approx 4,6$ м/с$^2$.
3. $F_H = m\sqrt{g^2 + a^2} \approx 20,5$ Н; $\alpha = \arctg(a/g) \approx 17^\circ$.
4. $l = \frac{m^2v^2}{2\mu gM^2} \approx 0,05$ м.
5. $m = Sd(\rho_B - \rho_1) = 20$ кг (здесь $\rho_B = 10^3$ кг/м$^3$ — плотность воды).
6. $R_{06\mu} = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{2}{3}R = \frac{2}{3}O_m \approx 0,7$ Ом.
7. Большая мощность будет выделяться на первой лампе, при этом $P_1'/P_2' = P_2/P_1 = 5/3$.
8. $d = \frac{1-n}{D} = 0,6$ м.
9. $F = \frac{lh}{H + h} \approx 0,14$ м (здесь $h = 8$ см и $H = 2,5$ м).
10. $\lambda_m = \frac{hc}{A} \approx 5,5 \cdot 10^{-7}$ м.

Квант для младших школьников
(см. «Квант», 1982, № 12)

1. Для того чтобы число делилось на 36, нужно, чтобы оно делилось на 4 и на 9. Чтобы число делилось на 4, нужно, чтобы число, образованное двумя его последними цифрами, делилось на 4. Отсюда последней цифрой может быть либо 0, либо 4, либо 8. Для того, чтобы число делилось на 9, нужно, чтобы сумма его цифр делилась на 9. Отсюда мы получаем для цифры, замененной второй звездочкой, в первом слуае 9, во втором 5 и в третьем 1. Таким образом, условию удовлетворяют числа 52920, 52524 и 52128.

2. Первой была положена желтая сальфетка, а коричневая была положена равные белой.

3. Задча основана на путиные одинаковых названия для единиц времени и величины углов. В условия «секунд» ознакомает единцу времени, «минута» — единцу величины угла.

4. Для чисел 43 и 63. Составим уравнение, выражающее условие задачи: $10x + y = x^2 + y^3$. Преобразуем его: $x(10-x) = (y-1)(y+1)$. Выражение справа есть произведение трех последовательных чисел и, следовательно, $x(10-x)$ делится на 2 и на 3. Отсюда следует, что $x$ четно. Кроме того, либо $x$, либо $10-x$ должно делиться на 3. Это может быть в двух случаях: $x=6$ и $x=4$. В обихх случае $y=3$. Получаем два решения: $43=16+27$ и $63=36+27$.

5. 33 числа, причем среднее — четное, а остальные — нечетные.

Шахматная страница
(см. «Квант», 1982, № 10)

Задание 19. 1. Кf3 Кf6 2. Ke5 d6 3. Кc6 Kfd7 4. К:b8 К:b8.

Задание 20. За три хода позиция получается очень просто: 1. e4 e6 2. Cb5 c6 3. C:c6 dc (или 2. Cc4 c6 3. C:e6 de). За четые хода получить ее намного сложнее. Цель достигается очень хитрым и притом единственным маневром: 1. e4 e6 2. Cb5 Kre7!! 3. C:d7 c6! 4. Ce8! Kp:e8.

Интересно, что эта задача предлагалась для решения многогrossей страрам, но быстро справиться с ней суммой только Михаил Таль.

Главный редактор — академик И. К. Киоин

Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Заместители главного редактора: М. Н. Данильчева, В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловев

Редакционная коллекция: Л. Г. Асламазов, М. И. Башмаков, В. Е. Белончкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, Н. Б. Васильев, С. М. Воронин, Б. В. Гнеденко, В. Л. Гутенхахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, А. А. Михайлов, Е. М. Никшин, С. П. Новиков, М. К. Потапов, В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов, А. П. Савин, Я. А. Смородинский, А. Б. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет: А. М. Балдин, С. Т. Беляев, В. Б. Буховцев, Е. П. Велихов, И. Я. Верченko, Б. В. Возdvijенский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Erмолаева, А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, Л. В. Канторович, П. Л. Капица, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикеева, А. В. Перышкин, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенко, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер оформили:
М. Б. Дубах, Э. В. Назаров, А. М. Пономарева, М. П. Сидоров, И. Е. Смирнова, Е. К. Тенчурина, П. И. Чернуский

Заведующая редакция Л. В. Чернова

Художственный редактор Т. М. Макарова

Корректор А. Л. Ипатова

103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1,
«Квант», тел. 251-82-42

Сдано в набор 17.11.82 Подписано в печать 31.12.82
Печать офсетная
Бумага 70×108 1/16. Физ. печ. 4
Усл. печ. л. 5,6 Уч.-изд. л. 6,74 Т-21000
Цена 40 коп. Заказ 2876 Тираж 170528 экз.

Ордена Трудового Красного Знаменни
Чеховский полиграфический комбинат
ВО «Союзполиграфпром»
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Чехов Московской области