О пользе чисел «поистине софистических»

10

О пользе чисел
«понстине софистических»
Кандидат физико-mатематических наук
С. Г. ГИНДИКИН

Многовековая история развития представления человека о числах — одна из самых ярких сторон развития человекаской культуры. В стремлении расширить мир чисел трудноразделываемым образом переплелись разнообразные мотивы.

Дроби появились очень рано — уже у египтан и вавилонн — по-видимому, в связи с переходом к более мелким долям измерения. Их связь с делением натуральных чисел поималась более смутно и вторично.

Греки осознавали числа через процесс геометрического измерения: именно так они уясили себе существование irrationalных чисел (неосознанием диагонали квадрата и его стороны) и построили теорию «величины» (как мы сказали бы сегодня, теорию положительных действительных чисел) — одну из вершин греческого геометрии. Характерный штрих: «числами» назывались лишь натуральные числа, а их расширения — «величины». Вычислительныйспект отодвигался на второй план и обычно не считался достойным вниманияу ученого. Платон, энергично заботившийся о том, чтобы практические задачи не освверняли подлинного духа геометрии, смеляся над вычислительными, «которые разменивают единцу на мелкую монету» (занимаются делением).

Отрицательные числа появились в V—VI веках в индийской и арабской математике, где на первый план вывинулась вычислительная сторона дела. И хотя довольно рано была осознана возможность интерпретаровать отрицательные числа, скажем, как долг в задачах коммерческого содержания, практика пока-

11

зывала, что ими удобно пользоваться чашке, чем такая интерпретация возможна. Сильно упрощая, можно сказать, что вычислители расматривают отрицательные числа как «вображаемые», ненасстоящие числа, которые удобно пользоваться в промежуточных вычислениях как результатом вычитания, когда оно невыполним в области положительных чисел. При этом важно убедиться, что не нарушают «правилагиены»: можно доверять окончательному положительным ответу. Ни о каком равноправни отрицательных чисел с положительным решением не шла: в окончательном ответе, кроме простейших ситуаций, отрицательные числа не появлялись. Об отношении к ним выражительное говорят различные варианты их названия: «ложные», «фиктивные», «абсурдные», «невозможные», «минимые».

Впрочем, последний термин позднее пришлось «уступить» другому классу чисел, который удивительным образом появился в европейской математике одновременно с первым серbezным рассмотрением отрицательных чисел. Этот историк-математический пародок с Джероламо Кардано (1501—1576), яркой и противоречной личностью с повышенной склонностью к фантазиям и мистике, что передко далекzozoдоило его вложном направлении. Однако более практичный и осторожный человек вряд ли решился бы в то время на построения, который математика обязана Кардано.

Главные результаты Кардано относится к исследованию формулы для решения кубического уравнения, которое впервые получил Ферро (1465—1526) и которое Кардано узнал от Тартальы (1500?—1577) (подробнее об этом см. в моей книге «Рассказы о физике и математике» (M., «Наука», 1981)).

Напомним, что общее кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ заменой $x = y - \frac{a}{3}$ приводится к виду

$$x^3 + px + q = 0.$$ (1)

Будем искать решение уравнения (1) в виде $x = y_1 + y_2$. Тогда $x^3 = y_1^3 + y_2^3 + 3xy_1y_2$. Сопоставляя с (1), мы видим, что если $y_1$ и $y_2$ удовлетворяют равенствам $3y_1y_2 = -p$, $y_1^3 + y_2^3 = -q$, то $x = y_1 + y_2$ является решением уравнения (1). Такие $y_1$, $y_2$ легко найти: если $t_1 = y_1^3$, $t_2 = y_2^3$, то по теореме Виета $t_1$ и $t_2$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 + qt - \frac{p^3}{27} = 0$,

то есть $t_{1,2} = -\frac{q}{2} \pm \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}$,

откуда

$$x = \sqrt[3]{\frac{-q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt{\frac{-q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$$ (2)

формулу (2) называют сейчас формулой Кардано.

Вспомним теперь, что Кардано величисматривает в рамках положительных чисел. (Кроме того, он не владел алгебраической символькой, что невероятно осложняло дело, особенно при попытках формулировать общие правила. Однако этот тип трудностей мы не будем здесь имипировать.) Позмоту Кардано изучает отдельно уравнения

$$x^3 + ax = b,$$ (3)

$$x^3 = ax + b,$$ (4)

$$x^3 + b = ax,$$ (5)

где $a$, $b$ положительные. Четвертый формульно возможный тип $x^3 + ax + b = 0$ он не рассматривает, так как такое уравнение, оченьindo, не имеет (положительных!) корней.

Дель Ферро придумал правила решения (3). Тарталья переоткрыл это правило и придумал правила решения (4); он формулировал оба правила в виде стихотворения, которое и было сообщено Кардано.

Говоря проходит, печь идет о том, что решение ищется в виде $x = \sqrt[3]{u} \mp \sqrt[3]{v}$ (минус для (3), плюс для (4)), где, соответствно, $u \mp v = b$, $uv = \left(\frac{a}{3}\right)^3$ (ср. с (2)).

Уравнение (3) всегда имеет единственный действительный корень, причем этот корень всегда положен (сегодня в этом легко убедиться по графику) и благополно-

12

лучно находится по указанному правилу.

В (4) также всегда имеет единственный положительный корень $x$, причем всегда $x > \sqrt{a}$ (почему?).

Если $\Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} = \frac{b^2}{4} - \frac{a^3}{27} \geq 0$ (это равносильно тому, что $x \leq \frac{4a}{3}$), то корень находится по формуле (2).

В этом случае других действительных корней нет. Если же $\Delta < 0$, то в (2) под квадратным радиkalом стоит ориентиальное число и формула отказывается. На самом деле в этом случае (он был назван неприводимым) кроме одного положительного имеет два ориентиальных корня (быть может, кратных). Тарталья несомненно знал на примерах, что и при $\Delta < 0$ положительный корень у уравнения (4) может существовать, а Кардано недвусмысленно утверждал существование корня в общем случае. Неприводимый случай уравнения (4) достигл много воленей и Тарталье и Кардано, но способ находить корень так и не был найден!

Что касается уравнения (5), то оно легко сводится к (4): корни (5) отличаются от корней (4) знаком, и, стало быть, при $\Delta = \frac{b^2}{4} - \frac{a^3}{27} > 0$ у (5) нет положительных корней, а при $\Delta < 0$ (в неприводимом случае) имеется два положительных корня (и один ориентиный). Но такой тип рассужdenный был за пределами возможностей математков XVVI века. Тарталья пишет, что решение (5) сводится к решению (4), но не делает никаких намеков на способ сведения.

Кардано придумал способ перейти от (5) к (4), довольно близкий к подстановке $x = -y$. Мы ищем положительный корень $x$ уравнения (5). Пусть $y$ — положительный корень уравнения (4); он всегда существует, причем $y \geq \sqrt{a}$ и, в неприводимом случае, $y < \sqrt{\frac{4a}{3}}$. Складывая (4) и (5), получаем $x^3 + y^3 = a(x+y)$, откуда $x^2 - xy + y^2 = a(x+y) \neq 0$ в положительной области), $x_{1,2} = \frac{y}{2} \pm a - \frac{3y^2}{4}$. В результате при $y < \sqrt{\frac{4a}{3}}$, то есть в неприводимом случае ($\Delta < 0$), мы выражаем через положительный корень $y$ уравнения (4) два положительных корня уравнения (5) (их положительное следует из неравенства $y > \sqrt{a}$). Кардано замечает, что $y = x_1 + x_2$, то есть в неприводимом случае положительный корень уравнения (4) равен сумме положительных корней уравнения (5).

Таким образом, изучая уравнение (5), Кардано сумел остаться в рамках положительных корней. Но именно в результате этих расстояний он понял ту роль, которую играют отрицательные корни. Он понял, что у уравнения (5) всегда имеет «ложный» (отрицательный) корень — $y$, что при $\Delta < 0$ сумма всех его корней, включая «ложный», равна нулю, что для справедливости этого уравнения при $\Delta = 0$ надо считать, что уравнение (5) имеет кратный положительный корень, что уравнение (4) в неприводимом случае имеет два «ложных» корня и что сумма всех его корней в этом случае тоже равна нулю.

Утверждение о сумме корней уравнения, имеющего три корня (считая «ложные»), Кардано обобщил на общие кубические уравнения: сумма корней знаком отличяется от коэффициента при $x^2$. (Надо сказать, что известная теорема Виета, относящаяся к корням квадратного уравнения, была получена позднее.) Кардано первым работал с отрицательными корнями, причем он не просто обратил внимание на возможность их рассмотрения — он показал, сколько гармонично они входят в теории алгебраических уравнений. С этих результатов Кардано началась алгебра в современном смысле слова.

Результаты Кардано были собраны в его книге «Великое искусство или о правилах алгебры»,ышедшей в 1545 г. Глава XXXVII этой книги носит название «О правиле рассмотрения ложного неизвестного». И если первое правило в этой главе относится к отрицательным корням, то второе правило гласит: «Второй вид ложного решения

13

уравнения заключится в корне из отрицательного количества. Я приведу пример. Если кто-нибудь потребует, чтобы разделить 10 на две части, которые по переменной длины бы 30 или 40, то ясно, что этот случай или вопрос неозможно. Но мы поступим так: разделим 10 пополам, половина будет 5; умноженная на самое себя, она даст 25. Затем вычити из 25 то, что должно получить по переменной, скжем 40, как я объявил тебе это в главе о действиях в 4-й книге; тогда остатся $m:15$; если взять от этого $R$ и прибавить к 5 и вычесть из 5, то получаются части, которые, переменные между собой, дадут 40. Таким образом, части эти будут $5p:Rm:15$ и $5m:Rm:15$). Текст этот нетрудно расшифровать. Речь идет об уравнения $x(10-x)=40$, то есть $x^2-10x+40=0$. Утверждается, что его корнями будут $5 \pm \sqrt{25-40} = 5 \pm \sqrt{-15}$. Читатель без труда восстановит обозначения, которые пользовся Кардано.

Так впервые появились в математике комплексные числа, которые Кардано называют «понстине софистическими». Новыми числами Кардано совершено не пользовался и, похоже, относится к ним не без подозрения.

Во всем этом есть один интересный момент. Нередко высказывают предложение (например, Н. Бурбаки), что Кардано придумал комплексные числа, пытаясь разобраться с неприводимым случайным кубического уравнения. Дело в том, что если в формуле (2) при $\Delta<0$ не побояться извлечь квадратный корень из отрицательного числа, то в последующих операциях минимые части уничтожаются и в результате получается правильный ответ, являющийся действительным числом*). Таким образом, обращение к комплексным числам не только позволяет оправдать формулу Кардано в общем случае, но они неминуемо возникают в задаче определения действительных корней кубического уравнения с действительными коэффициентами. Было бы очень логично, если бы Кардан воел комплексные числа по этой причине. Но никаких свидетельств того, что при работе с комплексными числами Кардано выходит за пределы квадратных уравнений, нет. В результате исторически фактах часто не удается обнаружить «естественных» связи!

Связь комплексных чисел с неприводимыми кубическими уравнениями была обнаружена, если и не Кардано, то очень скоро. Это было сделано непосредственным преемником Кардано, инженером из Болоньи Рафаелем Бомбелли (около 1530—1572), автором знаменют «Алгебры», вышедший в 1572 г. Сред многохарактеристиков системыческое изучение комплексных (и отрицательных) чисел. У Бомбелли можно найти соответствия

$$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1},$$

$$\sqrt[3]{52+\sqrt{-2209}}=4+\sqrt{-1}.$$

Интересно, что Бомбелливодит специальное наименование для $i$ (“pii de meno”; 1 он называет “pii”). Бомбеллиуверенно применяет комплексные числа к неприводимому кубическому уравнению.

В формуле Кардано фигурируют выражения вида $\sqrt[3]{\alpha \pm \sqrt{\beta}}$, где $\beta$ может быть любого знака; эти выражения и исследуют Бомбелли. Пусть $\sqrt[3]{\alpha \pm \sqrt{\beta}}=u \pm \sqrt{v}$ (значит, из (2) $x=2u$). Тогда $u^3+3uv=a$, $u^2-v=a^3\sqrt{a^2-\beta}$ и, если положить $\gamma=a^3\sqrt{a^2-\beta}$, для $u$, независимо от знака $\beta$, возникнет уравнение $4u^3=3\gamma u+\alpha$. В частности, в формуле Кардано для уравнения (4) имеем $\alpha=\frac{b}{2}$, $\beta=\frac{b}{2})^2-\frac{a}{3})^3$, $\gamma=\frac{a}{3}$.

Теперь, с одной стороны, понятно, как действительный корень выражается через кубистические корни из комплексных чисел ($x=2u$), но, с другой стороны, выражения для $x$ через действительные радиалы все равно не получается, поскольку кубистическое уравнение $4u^3=$

14

$$au + \frac{b}{2}, \text{ фактически совпадающие (подстановка } x=2u \text{) с исходным уравнением (4).}$$

Позднее Лейбниц (1646—1716), который изучал кубические уравнения по книге Бомбелли, окончательно осознал, что в неприводимом случае невозможно выразить корни уравнения через радикалы оставясь в действительной области.

На рубеже XVII—XVII веков судьба новых чисел не решалась. Франсуа Виет (1540—1603), которое часто называли «отцом алгебры» за то, что он начал пользоваться алгебраической символькой (буквенными обозначениями для коэффициентов уравнения, а не только для неизвестных), старался обходиться не только без комплисных корней, но и без отрицательных. Поскольку он занимался, в частности, соответствия соответствия между корнями и коэффициентами (теорема Виета), это было ему не просто, но он находил выход из положения. Скажем, если уравнение (5) имеет два положительных корня $x_1$, $x_2$ и один отрицательный корень $x_3$, то Виет, вместе равенств $x_1+x_2+x_3=0$, $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-a$, $x_1x_2x_3=-b$ (сейчас эти равенства называются формулами Виета), показывают, что $x_1^2+x_2^2+x_1x_2=a$, $x_1x_2(x_1+x_2)=b$ (доказите!), не привлекая, в отличие от Карданов, ни третьего отрицательного корня, ни положительного корня вспомогательного уравнения (4). Есть мнение (Н. Бурбаки), что относительной консервации Виета связаан с тем, что он былстраным почитателем древних.

Мы должны вспомнить Виета еще в связи с его интерпретацией неприводимого кубического уравнения. Виет был великим мастером получения алгебраических соответствия трионометрических средств. Занimaясь трионометрическими функциями кратных углов, Виет решил воспользоваться формулой $$\cos 3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi$$ (6) для решения кубических уравнений. Он сопоставил (6) с уравнением (4). Чтобы это сопоставление было более произвольным, сделаем в (4) замену $a=3r^2$, $b=\alpha r^2$. В этих обозначениях неприводимому случае отвечает $r>\frac{a}{2}$, что делает естественным замену $a=2r \cdot \cos v (0<v<\frac{\pi}{2})$. Если еще сделать замену неизвестного $x=2ry$, то (4) превращится в уравнение

$$4y^3-3y=\cos v,$$

(kоторому, в силу (6), удовлетворяет $y=\cos \frac{v}{3}$, то есть для (4) получаем выражение для положительного корня $x_1=2r \cdot \cos \frac{v}{3}$. Ясно, что два отрицательных корня равны $x_{2,3}=2r \cdot \cos \left(\pm \frac{2\pi}{3}+\frac{v}{3}\right)$ и что для уравнения (5) корректны аналогичные выкладки, только $\frac{\pi}{2}<v<\pi$ и $x_1$-отрицательный корень, а $x_2,x_3$-отрицательные (сопоставьте эти представления для корней со способом Карданов переходит от корней уравнения (4) к корнем уравнения (5)).

Откажемся на время от имитации старины и перепишем формулу Виета в обозначениях (1), (2). Если $\Delta=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}<0$ (неприводимый случай), то, в частности, $p<0$. Полягая $r=\sqrt{-p/3}$, $\alpha=\frac{3q}{p}$ (тогда $2r>a$), $v=\arccos \frac{\alpha}{2r}$, окончательно получаем

$$x=2\sqrt{-p/3}\cos \left(\frac{2\pi k}{3}+\frac{\arccos \frac{3q\sqrt{3}}{2p\sqrt{-p}}}{3}\right)$$

Все выкладки Виет производит в области действительных чисел, однако в его представлении корней уравствуют не только алгебраические операции, но и trigonometricные функции. Его формула не противенит тому, что не существует алгебраического представления корней неприводимого кубического уравнения. Формула Виета несомненно пригодна в вычислительной помощи:

16

согласиться с Жираром: в то время «полезность» комплектных чисел никак не проявлась.

Теорема о корнях уравнения $n$-й степени появляется и на «алгебраических» страницах знаментий «Геометрии» Рене Декарта (1596—1650), выSEDшей в 1637 г. в Лейдене (там же, где книга Жирара). В этой книге заложены основы аналитической геометрии, но очень почителен также текст, относящийся к общим алгебраическим уравнениям. Декарт не пользовется буквенными обозначениями для коэффициентов (как это делал Виет) и вынужден посягать утверждение на примерах; Декартводит обозначение $x$ для неизвестного и от него идут современные обозначения для степеней $x^3$, $x^4$ (впрочем, вместе $x^2$ все еще пишется $xx$). «Итак, знайте, — пишет Декарт, — что в каждом уравнении может иметься столько различных корней, то есть значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений».
Показатель степеня здесь называется «измерением», потому что по-прежнему на первый план вывгается геометрическая интерпретация степения (квадрат, куб). Далее: «No иногда слушается, что неокоторые из этих корней ложны, или меньше, чем ничего». Как и следовало ожидать от создателя аналитической геометрии, Декарт уверенно обращается с отрицательными числами. Он четко формулирует утверждение, называемое теперь теоремой Безу (который жил заметно позже — в XVIII веке), как для положительных, так и для отрицательных корней, что позволяет понять степеня уравнения, если известен корень. После этого Декарт пишет: «Впрочем, как истинные, так и ложные корни не всегда действительны, но иногда они только минимые (“imaginaires”; отсюда и пошел термин «минимые» — С. Г.), то есть всегда можно вообразить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует никакой величины, которая соответствовала бы корнем, которое вообразит себе. Так, например, в уравнинии $x^3 - 6xx + 13x - 10\infty$ (Декарт пользовался знаком $\infty$ вместе уже

существовавшего =) можно вообразить себе три корня, но среди них только один действительный, именно 2; что же касается двух других, то их можно уведомить, уменьшать или умножать так, как я только что объясил, но при всем том они остаются только минимыми».

Обратим внимание на два остоятельства: Декарт не пытается делить левую часть уравнения на $x$—а для комплского корня $\alpha$ и, соответственно, не готов рассматривать уравнения с комплексными коэффициентами ( комплексные числа играют службную роль). Декарта можно понять так, что комплексные числа бывают положительных и отрицательными, то есть он не поняет еще, что комплексные числа есть естественно упорядочить! Это заблудение великого ученого показывает, сколько смутными были еще представления о комплексных числах. Мы приведли извлечения из Декарта, чтобы продемонстрировать в наиболее совершенном варианте представления об алгебраических уравнениях и комплексных числах, которые сложились к середине XVII века.

А затем почти полтора века слили лучших математических были концентрированы на создании математического анализа. Алгеброй, которая тогда фактически совпадла к теории алгебраических уравнений, занималась мало, и алгебраические результаты по сравнению с аналитическим достижениями выгляделя скромными. Можно сказать, что выдающее математики в основном обращении к алгебре в связи с нуждами анализа и аналитической геометрии. Складем, разложение многочленов на многотелели понадобилось для интерпрования рациональных дробей. А к комплексным числам начали поннему привыкать. В связи с нуждами анализа рассматривали даже логарифмы комплексных чисел.

В 1746 г. Д’Аlamбер публикует доказательство основной теоремы алгебры с некоторыми проблемами, но с «истинным стержнем» (Гаусс). С работ Лагранжа (1736—1813) началась новая эпоха в теории алгебраических уравнений. Покза-

17

тельно, что и Лагранж, и Эйлер (1707—1783) уделяют заметное внишание исследованию формулы Карданов в комплекной области. Эйлер рассматривает элементарные функции комплского переменного и обнаруживает порядательную связь показательной и тригонометрических функций. Это был принципиальный шаг, поскольку прежде комплские числа связьвались лишь с алгебраическими уравнениями.

Еще в начале XVIII века был обнаружен важный пример, когда комплские корни не просто могут быть введены для полотны картины, но связаны с конкретной действительной задачей. Котес и Муав обнаружили связь уравнения $x^n-1=0$ с классической задачей о делении круга на $n$ равных частей. Эта связь оченьнана, если знать геометрическую интерпретацию комплских чисел ($n$ комплских корней из 1 является вершинами правильного $n$-угольника).

Гаусс (1777—1855), возможно, уже знал эту интерпретацию, когда в 1796 г. использовал связь с уравнением $x^{17}-1=0$ для построения правильного 17-угольника. Однако в своей публикации, как, впрочем, и в диссертации 1798 г., посвященной первому строому доказательству основной теоремы алгебры (у нее есть чисто действительная формулировка: любой многочлен с действительными коэффициентами раскладывается в произведение таких же многочленов не выше второй степени), он предопчитает комплскими числами не пользоваться. В 1811 г. в письме к Бесселью Гаусс пишет: «Подобно тому, как всего действительных величины можно представить с помощью бесконечной прямой, можно себе представить область всех величины, действительных и миниых, с помощью бесконечной плоскости, где каждой точка, определяная своей абсциссой $a$ и своей ordinатой $b$, представляется в то же время величины $a+ib$.» Этот результат Гаусс опубликовал только в 1831 г. Аналогичные результаты менее известных современников Гаусаса остались почти незамещены: Ж. Аррон (1806 г.), К. Вессель (1798 г., работа оставалась неизвестной сто лет). В создании математков геометрическая интерпретация комплских чисел превращала воображаемый объект в реальный (кстати, термин «комплексное число» предложил Гаусс).

Историю математики в XIX века уже нельзя отделить от комплексных чисел. Гаусс, Коши, Якоби, Абель, Риман показывают, что переход к анализу функций комплской переменной позволяет обнаружить глубочайшие факты, которые нельзя увидеть в действительной области.

В геометрике «вообращаемые» элементы появились на сто лет позже, чем в алгебре. Жерар Дезарг (1593—1662) обнаружил, что если ввести «вообращаемые» бесконечную удаленные точки, в которых «пересекаются» параллельные прямые, то параллельность в самом деле превращается в частный случай пересечения. Здесь картина во многом напоминает ситуацию с комплексными числами, которые позволили избежать рассмотрения исключительных случаев. Виктор Понселе (1788—1867) почти через две лет (было это в Саратове, в плену после войны 1812 г.) показал, что все окружности «проходят» через две комплексные бесконечную удаленные точки. Это был момент, когда комплексные числа появились в геометрике. Многие считали, что они противоречат подлинной геометрической интуициции (известный геометр Якоб Штейнер (1796—1863) называл их «призраками», «царством теней»). И все же выбора не было — слишком многоге (действительные) геометрические факты стали понятны с комплексной точки зрения.

Triва показала комплексным числом, чтобы занять бесконечное положение в математике. Быть может, это и не так много в сравненении с десятью веками, которые показали отсутствие отрицательных числам. Впрочем, в школьной математике положение комплексных чисел (в отличие от отрицательных) остается непрочным по сея день.