18
Миниальные повреждности
Доктор физико-математических наук
А. Т. ФОМЕНКО
Когда белыйский физик Жозеф Плато в XIX веке начал опыты по изучению конфигурации мыльных пленок, он вряд ли предполагал, что они послужат толчком к возникновению целого научного направления, бурно развивающегося вплоть до настоящего времени и известного сегодня под названием «проблема Плато». Опыты, которые когда-то проволил Плато, хорошо знакомы нам с детства — вряд ли кто-нибудь не развлекался в свое время выдуванием мыльных пузырей или конструкрованием мыльных пленок, затягивающих проволочный контур.
Если вы хотите в домашних условиях получить красивые мыльные пленки (например те, которые обсуждаются в этой статье), вот несколько практических советов. Вам нужны: гибкая тонкая проволока, туплетное мыло, стакан или миска воды и глицерин (можно и без него, но с ним пленки
устойчивее). Из четырти куска мыла сделайте мелкую стружку, расторите в теплой воде и добавьте ложку глицерина (если он есть). Из проволоки сделайте замкнутый контур с ручкой, опустите в растор и осторожно выhte его; замысловаато изгибая контур, можно разнообразить форму пленок.
Когда мы вынимаем проволочный контур из мыльной воды, на нем повисает красивая радужная мыльная пленка, ограниченная этим контуром. Размеры пленки могут быть довольно значительны, но, конечно, чем больше пленка, тем легче она лопается под воздействием силы тяжесте. Если, напротив, размеры контура невелики, то во многих вопросах, связанных с изучением мыльных пленок, можно пренебрегать силой тяжесте. Этим обстоятельством мы и будем пользоваться в дальнейшем.
Как образуется мыльная пленка?
Рассмотрим изменение свойств поврежденной пленки жидкости при добавлении в нее мыла. На рисунке 1, а условно изображена граница раздела двух сред: воды и воздуха. Стрелками обозначены силы взаимного притяжения, действующие между полярными молекулами воды, характеризующимся асимметриным распределением электрического заряда. Отчетливо видно, что именно эти силы вызывают появление по-
19
верхностного натяжения на границе двух сред. В отличие от молекул воды, молекулы мыла образованы длиными тонкими неполярными углеводородными цепями с полярной кислородной группой на одном из концов цепи. Когда молекулы мыла добавлены в воду, они устремляются к поверхности и заполняют ее равномерным слоем, причем каждая из них ориентирована своим неполярным, концом наружу (рис. 1,6). Оттесяя молекулы воды внутри, молекулы мыла уменьшают, тем самым, поверхность натяжение. Оказывается, это obstructionство придает поверхностной пленке дополнительную эластичность, проявляющийся в тот момент, когда мы опускаем, а затем извлекаем из воды тонкий проводочный контур.
В самом деле, когда проводка достигает поверхности (см. рис. 1,6, где показано сечение проводки), поверхность вспучивает, обволкавая контур. Это происходит вследствие того, что около проводки число молекул мыла временно уменьшается (см. рис. 1,6), то есть падает их число на единицу площади пленки, а следовательно, увеличивается поверхность натяжения.
Минимальная поверхность — модель мыльной пленки
Физическая принцип, лежащий в основе формирования мыльных пленок и регулярующий их поведение и свойства, чрезвычайно прост: физическая система сохраняет определенную конфигурацию только в том случае, когда она не может легко изменить ее, заняв положение с меньшим значением энергии. Энергия по-
Рис. 1.
2*
20
верхности (мыльной пленки), часто описываемая в терминах поверхностного натяжения жидкости, обусловлена наличием сил притяжения между отдельными молекулами и несбалансированностью этих сил на границе поверхности. Начиные несбалансированных сил влечет за собой следующий интересный эффект: жидкая пленка превращается в эластичную поверхность, стремящаяся минимизировать свою площадь и, следовательно, минимизировать энергию натяжения, приходящая на единицу площади. При этом мы пренебрегаем силой тяжестии и давлением воздуха.
Таким образом, математический модель мыльной пленки служит гладкая поверхность минимальной площади, стягивающая данный контур: математики ее называют минимальной поверхностью. Классическая математическая теория этих поверхностей относится к так называемому варианному исчислению — области анализа, возникшей в XVIII века. В нашей дни для развития этой теории привлекаются и более современные средства топологии и дифференциальной геометрии. Разумеется, пользоваться «школьной» математикой, саму теории не изложить; но ее результаты легко посящить наглядно и можно даже проверить на опыта. Впрочем, здесь попутно возникла красивые геометрические задачи, которые решаются средствами элементарной математики.
Рис. 5.
Рис. 6.
21
Простейшие контуры
Рассмотрим сначала случай, когда контур не слишком сильно изогнут — именно, когда его можно взамно-однозначно*) спроектировать на выпуклый контур, лежащий в некоторой плоскости. Тогда из математической теории следует, что существует одна и только одна минимальная поверхность, затягивающая данные контур. Когда этот контур плоский, «теорема существования и единственности» представляется очевидной: контур можно затянуть куском плоскости, который он ограничивает, а любая другая стягивающая его поверхность будет большей площади (рис. 2).
Разные пленки на одном контуре
Если не ограничивать простейшим контурами, описанными в предыдущем разделе, то теорема единственности перестает быть верной: на один и тот же контур иногда можно натянуть две совсем разные минимальные поверхности. Несложный пример показан на рисунке 3; этот пример легко воспроизводится с мыльными пленками. Обратите внимание на то, что контур на рисунке 6 нельзя «хорошо» спроектировать ни на какую плоскость: возникают «двойные точки» (как на рисунке) или целые отрезки вырождаются в одну точку.
Задача 1. Придумайте другие контуры, на которые натягаются несколько минимальных поверхностей. Можно ли таких поверхностей быть больше двух?
Если сильно запутать контур (например, заузлить его), то не только может нарушиться единственность пленки, но и сама ее структура может усложнить. Именно, в общем случае «почти наверняка» появляется особые точки (или сингулярности) — такие точки, в окрестности которых пленка уже не устроена, как (изогнутый) диск, а имеет более сложную, ветвящую структуру. Это проще всего увидеть, если использовать
*) To есть так, что никакие две различные точки контура не попадут на одну и ту же точку плоскости.
Контуры с ветвлением
Простейший такой контур показан на рисунке 4. Стягивающая его минимальная поверхность имеет целый отрезок особых точек, от которого поверхность разветвляется в три плоских листа, образующие между собой углы в 120°. Причины этого эфекта вам станут понятнее, если вы решите следующее задачу.
Задача 2. a) Соедините три точки отрезками так, чтобы сумма их длины была минимальной. Сделайте то же 6) для вершин квадрата, в) для вершин произвольного четырехугольника.
Ответы на эту задачу показаны на рисунке 5, а куски аналогичных минимальных поверхностей — на рисунке 6. Обратите внимание на то, что в ответах все углы 120°, и на новь возникшую недозначность поверхности (рис. 6,6 и 8).
Интересно, что попытки построить минимальную пленку, у которой на каком-либо сингулярном отрезке сходилось бы число листов, большее, чем три, терпят неудачу. Это объясняется простым геометрическим obstructionным. Допустим, что на каком-то отрезке сошлись четыре листа пленки. Рассмотримечение поверхности, ortогональное этому
Рис. 7.
Рис. 8.
22
сигнулярному отрезку (рис. 7). Тогда четырехкратная особая точка (то есть такая, в которой сошлись 4 листа) распадается в обедининие двух трехкратных точек, поскольку длина ломаной, состоящей из двух диагоналей, больше, чем длина каждой из двух других ломаных, показанных на рисунке 7 (в чем вы убедились, если решили задачу 2). На рисунке 8 этот процесс распадения показан в непосредственной близости от сечения пленки.
Ясно, что изображенная перестройка пленки уменьшает ее полную площадь по сравнению с площадью исходной пленки. Минимальная поверхность нахождения в источном равновесии, в частности, малые возможности пленки лишь увеличивают ее площадь, поэтому равновесиявая всех сил, действующая на каждой точку пленки, должна быть равна нулю. Это относится к особым точкам. В положении равновесия в каждой точке сходятсяровно три листа, поэтому сумма трех丝, действующая в направлении листов, должна быть равна нулю. Отсюда следует, что листы должны сходиться на их общем сигнулярном отрезке под углами в 120°. Аналогичные рассуждания показывают, что если на общем ребре сходится больше четырех листов, то поверхность, стремясь занять положение с минимальной площадью, перестраивается и сигнулярное ребро распадается в несколько трехкратных ребер.
Задча 3. Нарисуйте ломаню минимальной длины, соединяющего пяты вершин правильного пятуугольника. Сколько различных таких ломаных существует?
Другие красивые ветвящиеся пленки получаются, если пленкой стянуть каркас tetraэдра или куба (рис. 9). Обратите внимание на особые точки, в которых сходятся не сколько сигнулярных ребер.
Задча 4. а) Найдите все углы между плоскостями минимальной поверхности, стянувой ребра правильного tetraэдра (рис. 9, a). 6) При каком значении x стороны центрального квадрата стянувой поверхности куба будет минимальной (рис. 9, 6)?
Задча 5*. Могут ли в особой точке минимальной поверхности сходиться не 4 особых линия, а при? А пять?
Незамкнутые контуры
Важной характеристикой поверхности является ее взаимодействие с граничным контуром. Различные типы такого взаимодействия изучаются методами топологии. Из физических свойств минимальных поверхности следует, что в них не должны быть «дырок», проколов, не взаимодействующих с граничей пленки. В противном случае такая «дырка» под действием сил поверхности
24
Провисшая цепь образует неокотурю траекторию, соединяющего две точки подвеса и называемую цепной линией. Вращая ее вокруг горизонтальной оси, мы и получим катенонд. Чтобы совместить его с поверхностью, описанной выше, нужно просто развернуть его, направив раструбом вверх.
Отметим, что конус с вершиной в начале координат не будет минимальной поверхности. На рисунке 10, е показано, как деформируется конус, стремясь занять положение с наименьшей площадью (при фиксированной границе). Конфигурация, соответствующая этому положению, и есть катенонд. Это обстоятельство связано с эффектами, с которых мы уже познакомились при изучении распада четырехкратных точек в сумму трехкратных точек. В самом деле, рисунок 7 можно рассматривать как процесс превращения «одномерного конуса», образованного двумя пересекающимся отрезками (диаметрами пунктной окружности), в более сложную кривую с двумя трехкратными особенностями. В принципие, аналогичное явление происходит и в случае обичного двумерного конуса, но только здесь его вершина (особая точка) раздувается в целую окружность — горловину катенонада.
В обих случаях процесс деформации пленки (одномерной кривой) уменьшает ее первоначально площадь (или длину в одномерном случае) и заставляет поверхности (кривую) занять оптимальное положение, характеризующая наименьший площадью (длинной).
Миниmalные поверхности в живой природе
Оказывается, минимальные пленки широко распространены в природе как наиболее экономные поверхности, формирующие скелеты неокотурных живых организмов. Наиболее эффективный пример — скелеты радиолярий, микросоппических морских животных, имеющих самые разнообразные и экотических формы. По-видимому, первый, кто обратил внимание на то, что поверхность натяжение играет существенное роль в создании формы этих существ, был английский ученый D’Arcy Wentworth Tompson, автор книги «Рост и форма». Радиоляриン состоит из небольших комчков протоплазмы, заключенных в пенообразные формы, наполобные мыльных пузырей и пленок. Поскольку эти организмы достаточно сложны, то минимальные поверхности, входящие в них, имеют вообщее говоря, много точек ветвления и ребер ветвления, на которых и концентрируется основная масса жидкости, входящей в состав организма. Эта концентрация жидкости вдоль ребер ветвления и около особы точек хорощована на реальных мыльных пленках: жидкость стекает с мыльной пленки свободно до тех пор, пока не
25
встречает ребро, на котором сходятся три листа пленки. Здесь жидкость тормозится и оседает, образуя водяные отрезки, зрительно выявляющие особые ребра минимальной поверхности. Этот же процесс фактически происходит и у радиолярий. Концентрация жидкости вдоль ребер ветвления приводит к тому, что твердые фракини морской воды и соли оседают вдоль этих ребер и постепенно образуют твердый скелет животного. Наглядно геометрию этого скелета можно представить, если в массе мыльной пены образить внимание на ребра ветвления, то есть на отрезки, по которым стыкуют разные пузыри. Эти отрезки соединяют друг с другом (иногда сложным образом) и образуют «жидкостью костяки» пены. После гибели животного мягкие ткани постепенно исчезают и остаются твердый скелет, образовавшийся описанным образом.
Итак, он представляет собой не что иное, как наглядное застывшее изображение системы ребер ветвления и особы точек, возникших в сложной минимальной поверхности, включаяшей в себя и замкнутые объемы, ограниченные подобием мыльных пузырей. Кроме того, в формировании твердого скелета радиолярии определянию роль играют и стенки клеток, также аккумулирующие в себе соли морской воды.
На рисунке 12 показаны два скелета радиолярий.
На рисунке 13 изображены две минимальные поверхности с мыльными пузырыми приями и натянутые, на контуры, образованные системой ребер обчичного тетраэдра и куба. Сходство форм на рисунках 12*) и 13 позволяет. Отчетливо видно, что скелеты радиолярий довольно точно воспроизведут картину ребер ветвления минимальных поверхности.
Важна роль минимальной поверхности в химии, где поверхности взаимодействия на границах различных сред определяют характер и скорость многих химических превращений. Примерами минимальных поверхности могут служить всем нам хорошо известные_memбраны — это и барабанная перепонка в нашем уже; это_memбраны, служащие границами живых клеток; это_memбраны в живых организмах, отделяющие один орган от другого и т.п.
Эта интереснейшая тематика привлекает самых разных специализов по биологии, химии, физики. Как мы видели, с минимальными поверхностями связан и целый ряд интересных математических проблем. Их корректная постановка и исследование позволяет лучше понять этот удивительный (хотя и простой с виду) природный фенomen.
*) Рисунок взят из книги: Ernst Haeckel, “Report on the scientific Results of the Voyage of the HMS Challenger during the Years 1873—1876”.