Теорема Борсука—Улама, или Кое-что о погоде, о дрессированной лошади и двумерных полях

20

Погода
считается с топологически

Теорема
Борсука —
Улама

или
Кое-что о погоде,
о дрессированной лошади
и двумерных полях

Член-корреспондент АН УССР
М. Г. КРЕЙН,
кандидат физико-математических наук
А. А. НУДЕЛЬМАН

Погода капризна и своенравна. Параметры, описывающие ее (например, давление, температура, влажность), непрерывно изменяются с течение времени и при переходе из одной местности в другую. На картах погоды изготовы и изобары могут иметь самые прихотливые (и, увы, не всегда предсказуемые) формы. И тем не менее, как бы причудливо ни выглядела карта погоды земного шара, имеет место

Теорема о погоде. В каждой момент времени на Земном шаре имеется пара диаметрально противоположных точек («антиподов»), в которых одинаковы как температура, так и давление.

Это утверждение, облеченное в «метеорологическую» форму, на самом деле отражает не свойства земной атмосферы, а свойства функиций, определяемых и непрерывных на сфере. Она относится к топологии — отдельу математики, которые, в частности, занимается изучением свойств функиций, или наборов функиций, непрерывных на тех или иных множествах.

Некоторые свойства таких функиций определяются структурой множества, на которых они непрерывны. Например, для числовых функиций, изучаемых в школе, справедлива геометрическая оценная.

Теорема о нулеве функиции. Если функиция f непрерывна на отрезке [a; b] и на его кончках принимает значение противоположных знаков, то между a и b есть такая точка x₀, в которой f(x₀) = 0.

Мы не приводим доказательства этой наглядно очевидной теоремы, поскольку оно, как это нистрано, не элементарно.

Для справедливости теоремы о нулеве существены как непрерывность функиции (почему?), так и то свойства отрезка, которое называется связываностью

21

(в отрезке нет «пробелов», «просветов»). Так, функция $f(x) = \sqrt{(x^2 - 1)(4 - x^2)} + 2x$ непрерывна на своей области определения $[-2, -1] \cup [1, 2]$ отрицательна на $[-2, -1]$ и положительная на $[1, 2]$, а в нуль она не обращается ни в одной точке.

В этой стате расссказывается о некоторых свойствах пар функции, определенных и непрерывных на сфере. Но научем мы с более простого случая — с одного неожиданного свойства функции, непрерывных на окружности.

Случай окружности: без рассированной лошади

Пусть цикровая лошадь по команде рассировщика плавано начинает бег по окружности аренды из точки $A$ и, заканчивая оборот, плавано оставливается в этой же точке. Окзывается, как бы ни изменялась ее скорость во время бета, можно указать две диаметрально противоположные точки аренды, в которых скорость лошади имеет одно и то же значение.

Разумеется, дело здесь не в рассировке лошади (которую мы в дальнейшем представляем себе в виде точки), а в свойстве непрерывных функции, о котором сейчас понятет речь.

Будем определять положение лошади $J$ на окружности с площадью угла $\Theta$ ($0 \leq \Theta \leq 2\pi$), который радиус $OJ$ образует с радиусом $OA$, проведенным в начальном точку (рис. 1); соответствующое значение скорости обозначим через $v(\Theta)$. Подразумеется, что функция $v$ непрерывна на $[0; 2\pi]$ (движение и остановки — плавные), по условию $v(0) = 0$, $v(2\pi) = 0$. Точка $J'$, диаметрально противоположной точке $J$, при $0 \leq \Theta \leq \pi$ отвечает угол $\Theta + \pi$. Требуется доказать существование та-

Рис. 1.

кого $\Theta_0 \in [0; \pi]$, для которого $v(\Theta_0) = v(\Theta)$.

Рассмотрим функцию $u(\Theta) = v(\Theta + \pi) - v(\Theta)$. Нам надо найти такое $\Theta_0 \in [0, \pi]$, для которого $u(\Theta_0) = 0$. Функция $u$ непрерывна на отрезке $[0; \pi]$ (как разность непрерывных функций) и на концах этого отрезка ее значения $u(0) = v(\pi) - v(0) = v(\pi)$ и $u(\pi) = v(2\pi) - v(\pi) = -v(\pi)$ либо имеют противоположные значки (если $v(\pi) \neq 0$, либо равны нулю (если $v(\pi) = 0$). В последнем случае $\Theta_0 = 0$; если же $v(\pi) \neq 0$, то существование $\Theta_0$ вытекает из теоремы о нуле.

Легко понять, что для доказательства несуществования неотрицательности функции $v(\Theta)$ (обегая арену, лошадь может время от времени двигаться в обратном направлении) и условия $v(0) = 0$, $v(2\pi) = 0$, существенно лишь равенство $v(0) = v(2\pi)$ (точку $A$ лошадь может пройти с разгона; важно, чтобы она вернулась в эту точку с той же мгновенной скоростью).

Очевидно, что $v$ можно рассматривать как функцию не числа $\Theta$, а точки $J$, поэтому доказанную теорему можно сформулировать еще следующим образом:

Теорема «о лошади». Если неоторая функция определена на окружности и непрерывна на ней, то найдется две диаметрально противоположные точки окружности, в которых эта функция принимает одинаковые значения.

Mathematical formulas for theorems on paths

Переведем на математический язык теорему о погоде. В данной момент времени каждой точке $P$ земной поверхности $S$ ставятся в соответствие два числа — давление $f(P)$ и температура $g(P)$ в этой точке. Тем самым на сфере $S$ определены две функции, которые предполагаются непрерывными на $S$ — при малых изменениях положения точки $P$ значения этих функций изменяются мало.

Точное определение непрерывности функции на произвольном точном множестве $X$ (просположном на прямой, в плоскости или в пространстве) можно сформулировать так:

22

функция $\varphi$ называется неперрывной в точке $P_0 \in X$, если для любого $\varepsilon > 0$ можно указать такое $\delta > 0$, что для каждой точки $P \in X$, удаленной от $P_0$ на расстояние, меньше $\delta$, имеет место неравенство $|\varphi(P) - \varphi(P_0)| < \varepsilon$; функция неперрывна на множество $X$, если она неперрывна в каждой точке этого множество.

Условимся антипод точки $P \in S$ обозначает через $P'$ ($P$ и $P'$ — концы одного и того же диаметра сферы).

Отвлекаясь от «метеорологического» смысла функций $f$ и $g$, формулируем теорему в общем виде:

Теорема Борсука — Улама а*). Если функция $f$ и $g$ определяны и неперрывны на сфере $S$, то на этой сфере найдется диаметрально противоположные точки $P_0$ и $P'_0$, в которых $f(P'_0) = f(P_0)$ и $g(P'_0) = g(P_0)$.

Введем две функции $F(P) = f(P') - f(P)$ и $G(P) = g(P') - g(P)$. Обе они неперрывны на $S$ и обладают свойством антисимметрии; $F(P') = -F(P)$, $G(P') = -G(P)$, так как, например, $F(P') = f((P')') - f(P') = f(P) - f(P') = -F(P)$. Для точек $P_0 \in S$, в которых $f(P'_0) = f(P_0)$, $g(P'_0) = g(P_0)$, и только для таких точек $F(P_0) = 0$ и $G(P_0) = 0$.

Следовательно, теорема Борсука — Улама вытекает из следующей теоремы:

Теорема об обшем нуле. Если функция $F$ и $G$ неперрывны на сфере $S$ и обладают свойством антисимметрии, то на сфере $S$ найдется точка $P_0$, в котором обе функции равны нулю: $F(P_0) = G(P_0) = 0$.

Teorema о нулях векторных полей

Теорема о нуля дает достаточно условия, при выполнении которых функция, неперрывная на отрезке, имеет на отрезке «нуль». Сейчас будет рассмотрен теорема, дающая признак существования общего «нуля» у двух функций, неперрывных на круге.

Пусть каждой точке $Q$ некоторого плоского множества $K$ (у нас это чаще всего будет круг) поставлен в соответствии неокторный вектор $\vec{a}(Q)$, лежащий в той же плоскости. В этом случае говорят, что на множество $K$ задано двумерное векторное поле (рис. 2). Вектор в плоскости задается с помощью двух координат, поэтому задание двумерного векторного поля равносильно заданию двух функций: $\vec{a}(Q) = (x(Q); y(Q))$.

Векторное поле называется неперрывным в точке $Q_0$, если в этой точке неперрывны обе функции $x(Q)$, $y(Q)$; поле неперрывно на данной множестве, если оно неперрывно в каждой точке. Векторное поле называется вырождным в множестве $K$, если для некоторой точки $Q_0 \in K$ вектор $\vec{a}(Q_0)$ — нульвой. Нам нужны достаточные условия вырождности неперрывного на круге векторного поля.

Мы сначала даим векторное истолкование теоремы о нulle. На прямой вектор задается одной координат. Поэтому задание на отрезке функции можно использовать как задание одномерного векторного поля (состоящего из векторов, которые расположены на одной прямой), и теорему о нulle можно сформулировать так:

Теорема о нуля одномерного поля. Если она отрезке задано неперрывное одномерное векторное поле, причем на концах отрезка соответствующие векторы имеют противоположные направления, то это поле вырожденное (рис. 3, а).

На случай двумерного поля эта теорема обобщается следующим образом:

Теорема о нуля двумерного поля. Если на круге задано неперрывное двумерное векторное поле, причем в любых диаметрально противоположных точках его окружности соответствующие векторы имеют противоположные направления, то это поле вырожденное (рис. 3, б).

Как и одномерная теорема о нulle, эта теорема доказывается средствами, выходящими за рамки школьного курса. Но в то время как в теореме о нуля одномерного поля это компенсировалось наглядно, о двумерной теореме этого нельзя сказать. Поэтому мы приведем «праводопобное рассужждение», которое мы надеемся, убедит читатель в справедливости этой теоремы.

23

Пусть $O$ — центр круга $K, r$ — его радиус. Граничную окружность круга $K$ образнаим через $C$, а через $C_u$ образнаим концентрическую окружность радиуса $ar(C = C_1)$. Пусть $\vec{a}$ — непрерывное векторное поле на $K$.
Если $\vec{a}(Q) \neq 0$ для всех $Q \in C_u$, то при движении $Q$ по $C_u$ вектор $\vec{a}(Q)$ будет как-то поворачивать. Обозначим через $v(C_u)$ количество оборотов против часовой стрелки, которое совершает вектор $\vec{a}(Q)$, приложенный к фиксированной точке $I$, когда точка $Q$ пробегает окружность $C_u$ один раз против часовой стрелки$^*$). Целое число $v(C_u)$ может быть положительным, нулем или отрицательным.
Уточним, что если в процессе движения $Q$ по некоторой дуге окружности $C_u$ вектор $\vec{a}(Q)$ сделает несколько оборотов против часовой стрелки и столько же оборотов по часовой стрелке, то при подсчете $v(C_u)$ эти обороты «взаимно уничтожаются».
Советуем читателю найти $v(C)$ для полей, показанных на рисунке 4 (поле скоростей врашающего круга и поле, образованное паралельным переносом).

Пусть $\vec{a}(Q), Q \in K$ — векторное поле, удовлетворяющее условием теоремы. Рассуждая от противного, предположим, что $\vec{a}(Q) \neq 0$ для всех $Q \in K$. Тогда, в частности, $\vec{a}(Q) \neq 0$. В силу непрерывности поля, выззи 0 все векторы $\vec{a}(Q)$ мало отличаются по направлению от $\vec{a}(0)$. Значит, при малом $\varepsilon_0 > 0$ имеем $v(C_{\varepsilon_0}) = 0$ (см. рис. 5 — так как на $C_{\varepsilon_0}$ векторы направлены «почти так же», как $\vec{a}(0)$, вектор $\vec{a}(Q)$ не совершенно увеличивать $\varepsilon$ до крайнего значения $\varepsilon = 1$. Так как $\vec{a}(Q) \neq 0$ всюду, число $v(C_{\varepsilon})$ определяено для всех значений $\varepsilon, 0 < \varepsilon \leq 1$, то есть $v(C_{\varepsilon})$ — всюду определенная на $(0, 1]$ функция от $\varepsilon$. Эта функция непрерывна (так как нашей поле непрерывно) и принимает лишь цель значения. Но целочисленная функция изменяется только

*) Читательям, ознакомившимся со статей С. В. Матвеев в «Кванте», 1983, № 4, советуем сравнить это число с «инвариантом $V$».

24

ко скачами (по величины $\geqslant 1$), она либо разрывна, либо постоянна. Значит, в нашем случае $v(C_\varepsilon) = \text{const}$, откуда $v(C) = v(C_{\varepsilon_0}) = 0$.

Возьем теперь на окружности $C$ неокторуто точку $A$ и диаметрально противоположную ей точку $A'$ (рис. 6). Так как направления векторов $\vec{a}(A)$ и $\vec{a}(A')$ противоположны, при движении точки $Q$ по полукружности $AmA'$ от точки $A$ до точки $A'$ вектор $\vec{a}(Q)$ совершает нечетное число полуборотов. При дальнейшем движении точки $Q$ по полукружности $A'nA$ от $A'$ к $A$ вектор $\vec{a}(Q)$ совершит такое же (и притом в том же направлении) число полуборотов. Следовательно, $v(C)$ есть нечетное число, что противоречит доказанному равенству $v(C) = 0$ и завершает наше рассужждение.

Доказательство теоремы об общем нуле

Итак, пусть на сфере $S$ заданы непрерывные функции $F$ и $G$, обладающие свойством антисимметрии $F(A') = -F(A)$, $G(A') = -G(A)$.

Проведем через центр $O$ сферы $S$ какую-либо плоскость. Круг, получившийся в сечении, обозначим через $K$, а его окружность — через $C$. Введем в секущей плоскости какую-нибудь прямогольную систему координат с началом $0$ и каждой точке $Q \in K$ поставим в соответствии вектор $\vec{a}(Q)$ с координатами $F(P)$ и $G(P)$, где $P$ — та точка верхней полусферы, которая проектируется в точку $Q$ (рис. 7). Предоставляем читателю убедиться в том, что полученное векторное поле непрерывно на $K$. В силу свойства антисимметрии на сфере функций $F$ и $G$, для всех $Q \in C$ будем иметь

$$\vec{a}(Q) = -\vec{a}(Q')$$

По теореме о нулевому поля найдется точка $Q_0 \in K$, в котором $\vec{a}(Q_0) = \vec{0}$. Это значит, что $F(P_0) = 0$, $G(P_0) = 0$, где $P_0$ — точка сферы, проектирующая в точку $Q_0$. Теорема доказана.

Одно географическое следствие

Из теоремы Борсука — Улама вытекает одно следствие, огорчительное для географов. Положение точки на земном шаре принято указывать с помощью географических координат — широты $\theta$ и долговы $\varphi$. Их можно рассматривать как функции точек земной сферы. В этой системе координат особое положение занимают полюсы: широта у каждой из них $90^\circ$ (северная или южная), а долгову можно приписать любую. Поэтому, если дивгаться, скажем, к северному полюсу по одному meridianу, а достигнуть его, продолжить движение по любому другому meridianу, то при этом непрерывном движении широта будет изменяться непрерывно, а долгова — испытает скачок. Если условиться приписывать знак «плюс» восточной долгите и знак «минус» — западной, то долгова испытывает скачок и при переходе из западного полушария в восточное черте meridianан, являющийся антиподом гривничского meridiana. Возникает вопрос: нельзя по всей поверхности сферы ввести координаты так, чтобы они были непрерывными функциями соответствующей точки сферы? При этом, естественно, не должно быть разных точек с одинаковыми параметрами координат.