О графике прямолинейного равноускоренного движения

33

Таким образом,

$$\Delta s_1 = v_0 \Delta t,$$
$$\Delta s_2 = v_0 \Delta t + a (\Delta t)^2,$$
$$\Delta s_3 = v_0 \Delta t + 2a (\Delta t)^2,$$
$$\Delta s_4 = v_0 \Delta t + 3a (\Delta t)^2,$$
$$\Delta s_n = v_0 \Delta t + (n-1) a (\Delta t)^2,$$

где $n$ — число промежутков, на которых мы разделили время движения $t$. Так как промежутки $\Delta t$ малы, $n$ велико, поэтому в правой части последнего равенства можно пренебречь единцией по сравнению с $n$ и считать, что

$$\Delta s_n = v_0 \Delta t + na (\Delta t)^2.$$

Общее перемещение $s$ равно сумме всех малых перемещений $\Delta s_i$:

$$s = \Delta s_1 + \Delta s_2 + \Delta s_3 + \ldots + \Delta s_n,$$

или

$$s = nv_0 \Delta t + a \Delta t^2 (1 + 2 + 3 + \ldots + n).$$

Сумма последовательных натуральных чисел равна получиме краинных слагаемых, умноженной на их число:

$$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{1+n}{2} n.$$

Пренебрегая единцией по сравнению с $n$, получаем

$$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n^2}{2}.$$

Отсюда

$$s = v_0 n \Delta t + \frac{a (n \Delta t)^2}{2}.$$

Но $n \Delta t = t$, а $(n \Delta t)^2 = t^2$, тогда окончательно

$$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}.$$

О графике прямолинейного равноускореного движения

При изучении механического движения широко пользовется графиками, показывающими зависимость координаты тела от времени (график движения) и скорости тела от времени (график скорости). Графики, как и соответствующие формулы, полностью описывают движения, то есть позволяют определить координаты науку и скорость в любой момент времени. Но график имеет преимущество наглядности (построив график какой-либо функции, можно как «увидеть» функцию).

В учебнике «Физика 8» приведены графики движения и скорости для прямолинейного равномерного движения, а также графики скорости для прямолинейного равноускореного движения. С помощью последнего графика была получена формула для перемещения $s$, а значит, и для координаты $x$ тела, движущегося равноускоренно:

$$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}, \quad x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}.$$

Эти формулы, впрочем, можно получить и прямым вычислением (см., например, заметку «Перемещение при прямолинейном равноускоренном движения»). Графики движения этого случая не приведен, а он представляется немалый интерес. О нем и пондет речь в этой заметке.

Как видно из последней формулы, выражение для координаты при равноускоренном движения — это квадратный трехчлен. В общем случае коэффициенты при $t$ и $t^2$ и свободный член не равны нулю. Графики, выражающий такой функцию, называется параболой. Ее вид и расположение относительно осей координат зависит от трех константа — $x_0$, $v_0$ и $a$. На рисунке 1, например, изображена парабола, соответствующая уравнению

$$x = 3 + 12t + 3t^2.$$

Оно описывает прямолинейное равноускоренное движение с начальной скоростью $v_0 = 12$ м/с иускорением $a = 6$ м/с². Начало отсчета времени — это момент времени, когда координата $x$ тела (начальная координата) была равна $x_0 = 3$ м. Графиком такого движения служит, строго говоря, лишь права часть кривой, показанная на рисунке 1 сплошной линейей.

Но если бы тело движения по той же прямой и с тем жеускорением и до момента времени, принято за начало отсчета, то графиком его движения была бы и левая часть кривой тоже (она показана на рисунке 1 штриховой линейей).

В качестве другого примера рассмотрение движения, представленное

34

Формулой

$$x = 2 + 20t - 5t^2.$$

Она описывает движение тела, которое в начальной момент времени $t = 0$, когда его координата была равна $x_0 = 2$ м, сообщена начальная скорость $v_0 = 20$ м/с и которое в дальнейшем движется с постояннымускорением $a = -10$ м/с². Это движение очень близко к движению тела, брошенного вертикально вверх (туда направлена ось $X$) с начальной скоростью 20 м/с с высоты 2 м над Землей. Мы лишь, для простоты, прияли ускорение свободного падения равным не 9,8 м/с², а 10 м/с². График этого движения приведен на рисунке 2 сплошной красной линии.

Из рисунка 2 очень видно (яснее, чем из соответствующего формулы), как движется тело. Сначала оно поднимается вверх, быстро удаляясь от Земли. Через 2 секунды оно достигает максимальной высоты 22 м, после чего начинает движаться вниз (падать). Движению вверх соответствует левая ветвь параболы, падению вниз — правая ветвь. Вообще парабола (с двумя ветвями) всегда изобразает движение «туда и обратно». Синей линии на рисунке 2 показан график такого же равнуюскоренного движения, но с противоположно направлениемускорением.

В математике доказывается, что парабола, выражающая квадратный трехчлен вида

$$x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2},$$

паралельным переносом осей координат может быть преобразована в параболу, выражаюшую формулу

$$x = \frac{a}{2} t^2.$$

Применительно к нашему случае этого нужно ось $t$ перенести вдоль оси $X$ на расстояние, равное $x_0 - v_0^2/2a$, а ось $X$ перенести вдоль оси $t$ на расстояние, равное $-v_0/a$. На рисунках 1 и 2 пересечены по этому правлу оси показаны штриховыми линиями.

Такой перенос осей означает, что за начало отсчета времени теперь принимается тот момент, когда скорость тела равна нулю (при движении «туда и обратно» такой момент обязается существует), а за начало отсчета координаты выбирается точка, в которой в этот момент находится тело. После перенос осей парабола становится симметричной относительной оси $X$. Значения координаты $x$ в момент времени $t$ и $-t$ и теперь одинаковы, поскольку в формулу входит только $t^2$ и замена $t$ на $-t$ ничего не изменяет.

По такой параболе (в новых осях) легко найти ускорение. Ясно, что ordината точки парабoles, соответствующей моменту времени $t = 1$, равна $a/2$, откуда и находим $a$. Ускорение $a$ можно найти и другим путем. Если построить график зависимости $x$ не от $t$, а от $t^2$, то из формулы $x = at^2/2$ видно,