Если бы Следопыт знал физику...

23

Если бы
Следить
знал физику…
Кандидат физico-mатематических наук
Ю. М. САНДЛЕР

«Берите польче пулю, и ваш выстрел будет точен…» «Ункас, мальчик, ты даром тратишь порох и засыпаешь его слишком много. Ружеь отдает, и пуля летит плохо… Твоя пуля попала на два дюйма выше…» Эти слова принадлежат герою романа Купера охотнику Натанизлю Бампо. Охотником он, судя по романам, был действительно замечательным. Но вот насколько точны были его советы с точки зрения физики? Действительно ли пуля польче и не слишком много пороху повышают точность выстрела? Давайте попытаемся разобраться в этом вопросе.

Сначала полезно напомнить, что выстрел всегда сопровождается отдельей. Если приклад ружья упирается в пуля стрелка, то при выстреле ружье «толкает» его. Внимательный наблюдается заметить, что одновременно с толком в пуля при выстреле стрелка держается вверх — ружье поворачивается около точки, в которой оно.

Упирается в пуляю. Это тоже обьясняется отдельей.

Чтобы понять, как это все происходит, обратится к рисунку 1. Отревок OB — это ствол ружья, отрезок OA — приклад, в точке A ружье упирается в пуля стрелка. На пуля, движущуюся в стволе, действует сила давления пороховых газов. На ружье в горизонтальном направлении действует такая же по абсцилотной величины丝ла, направленная в противоположную сторону. Проекция fcos α этой силы определяет толчок в пуляю, а проекция fsin α создает момент, который заставляет ружье поворачивать вокруг точки A. Плечо стрелка мы будем считать неподвижным (в первом приближении это справедливо, так как время выстреле

Рис. 1.

24

ла мало, а массу стрелка можно считать достаточно большой).

Понятно, что от количества пороха, сторающего при выстреле, зависит сила давления пороховых газов. Чем больше пороховой заряд, тем больше это давление, тем больше сила $f$ (см. рисок 1) и тем больше скорость набирает пуля, движясь в стволе. С другой стороны, чем больше сила $f$, тем больше врашательный момент, обусловленный ее проекцией $f$ sin $\alpha$, и тем больше должно быт отклонение ствола от горизонтали при выстреле. Мы попробуем оценить это отклонение и обсуждим вопрос о том, как оно зависит от массы и скорости пуля.

Мы будем рассматривать упрощенную «модельную» задачу, и наши вычисления нельзя расматривать как точное решение задачи о механике ружья при выстреле. О степени правильности наших качественных расужdenей мы сможем судить по разумности количественных оценок, к которым они приведут.

Для обозначения приближенных равенств мы получемся значком $\sim$; такой значок часто употребляют, когда речь идет о сравнению по порядку величины$^*$).

На рисунках 2 и 3 показаны положения ружья в начальной момент (горизонтальный ствол) и в момент вылета пуля. Точку $A$, как уже сказано выше, можно считать неподвижной. Центр тяжестки ружья находится в точке $O$. Длину ствола обозначим буквой $L$, а расстояние $AO$ — $l$. Угол между $L$ и $l$ равен $\alpha$, угол отклонения ствола в момент, когда пуля покидает ствол ружья, — $\varphi$. Средняя сила давления пороховых газов, действующая на пуля, равна $f$, пуля движется в стволе ружья ускорено, но нам удобно для оценок пользоваться средней скоростью пуля; обозначим ее $\bar{v}_n$. Временем выстрела $t$ называем время движения пуля по стволу; тогда

$$\bar{v}_n\tau \sim L.$$ (1)

Вращение ствола ружья, вообще говоря, тоже неравномерно, но можно вести среднюю угловую скорость $\bar{\omega}$;

$$\bar{\omega} \sim \frac{f \sin \alpha - Mg \cos \alpha}{M},$$ (4)

$$\bar{v}_p \sim \bar{a}_p \tau$$ (5)

(здесь $M$ — масса ружья). Можно сразу воспользоваться тем, что типичные значения $\alpha$ не велики ($\alpha \leq 2 \cdot 10^{-1}$ рад), и считать $\sin \alpha \approx \alpha$, $\cos \alpha \approx 1$. После этого из написанных выше формул (2)—(5) легко получить

$$\varphi \sim \frac{L}{l} \left( a \frac{m}{M} - \frac{g L}{\bar{v}_n^2} \right).$$ (6)

25

Посмотрим теперь повышательное на формулу (6). При ее вывод мы не учили, что перед выстрелом где-то вблизи точки $O$ ружее подерживает еще рукой охотника. Но нас интересует отклонение ствола вверх, и если у охотника не доходит руки, то в рассматриваемой нами модельной ситуации можно считать, что ружее «оторвалось» от подерживающей руки в тот самый момент, когда был нажат спуск. Поэтому в формулах (4) и (6) учтены только силы $\vec{f}$ и $M\vec{g}$. Действие силы $\vec{f}$ вдоль направления $OA$ (проекция $f$ cos $\alpha$) «гасится» плечем стрелка (последний действия на ружее с такой же по величине, но противоложно направленной силой).

Следующий наш выбор основан на том факте, что ружее «прыгает» вверх; значит, первое слагаемое в скобках в формуле (6) больше, чем второе, то есть

$$\alpha \frac{m}{M} > \frac{gL}{\bar{v}_n^2}$$

и, следовательно,

$$\bar{v}_n > \left( \frac{MgL}{\alpha m} \right)^{1/2}.$$

Попробуем теперь сделать численную оценку. Пусть масса ружья $M \sim 5$ кг,лина ствола $L \sim 1$ м, масса пули $m \sim 10$ г, $\alpha \sim 2 \cdot 10^{-1}$ рад. Нетрудно убедиться, что неравенство (7) приводит к значению $\bar{v}_n > 100$ м/c. Реальные скорости для боевого оружия $\sim 600$—800 м/c. Таким образом, мы убедились в том, что второе слагаемое в формуле (6) меньше первого, и по порядку величины

$$\varphi \sim \alpha \frac{m}{M} \frac{L}{l} \sim 0,2 \frac{m}{M} \frac{L}{l}.$$

Из (8) следует, что чем меньше $\alpha$, тем точнее стрелба. Значит, лучше, если ружее имеет вид неизогнутой палки? Разумеется, нет. Не нужно забывать, что формула (8) справедлива только тогда, когда первое слагаемое в (6) превышает второе. Существует и чисто практическая причина — из ружья с очень малым углом $\alpha$ очень трудно стрелать, из него просто неудобно целиться.

Если взять $(m/M) \sim 10^{-3}$ и учтень, что $L/l \sim 1$, то для угла $\varphi$ мы получаем оценку $\varphi \sim 10^{-3}$ рад. Что это означает? При таком значении $\varphi$ на расстоянии порядка 100 м пуля отклонится вверх от точки прицеливания примерно на 10 см (естественно, если отсутствует другие причины промахов и если отвлечется пока от влияния на летящую пулью силы тяжести).

Итак, как показали наши оценки, легкая руля действительного улучшает точность стрелбы. От массы порохового заряда рассмотренное выше отклонение пули от цели не зависит.

Мы обсудили пока только вопрос о том, как вычислить отклонение ружья от линни прицеливания (в нашем случае — от горизонтального направления), пока руля движется в канале ствола. Именно это отклонение и существенно для точности стрелбы. Но и после того, как руля вылетела из ствола, само ружее продолжает двигаться вверх, скорость центра тяжестки ружья не равна нулю. Попробуйте сами оценить, на какой дополнительный угол отклоняется ружье после того, как руля покинала ствол. (Вследующем номере журнала мы приведем решение этой задачи.)

Обратимся теперь снова к вопросу о скорости пули и величины порохового заряда. Мы уже говорили о том, что чем больше насыпает охотник пороху, тем больше скорость пули. А какая здесь связаь с точностью стрелбы? Мы должны учеть еще, что руля отклоняется при своем полете и вниз, это связано с действием сил тяжести. Такое отклонение зависит, конечно, от скорости пули и дальности цели. Если руля вылетает из ружья горизонтального, то ее отклонение виз определяется формулой $gt^2/2$, где $t$ — время полета. Считая $t \sim (X/\bar{v}_n)$, где $X$ — дальность цели, оцените сами отклонение $gt^2/2 \sim gX^2/2\bar{v}_n^2$ при $\bar{v}_n \sim 8 \cdot 10^2$ м/c и $X \sim 100$ м. Вы увидите, что вниз пуля отклоняется тоже на несколько сантиметров ($\sim 10$ см). В принципе, отклонение, определяем углом $\varphi$, и отклонение под действием силы тяжести могут даже до той или иной степени компенсировать друг друга. Понято теперь, что изгиб ружья ($\varphi$) конструтивно оправдан.

А теперь читатель может снова задуматься над вопросом о том, знал ли Следопыт физику.