Момент инерции в геометрии

33

Момент инерции в геометрии

Кандидат физико-математических наук
В. Н. ДУБРОВСКИЙ

Все хорошо знают, что математика постояно используется в физике. Режке встречается и потому менее известно обратное — использование физических понятий в математике. Один яркий пример такого рода — центр масс в геометрии — обсуждался в недавней стате М. Б. Балка и В. Г. Болтянского («Квант» № 4, с. 18). В нашей стате главную роль также играет понятие, занимаванное из механики, — момент инерции.

Но когда с понятием, взятым из физики, начинает работать математик, он быстро забывает его физический смысл и видит в нем лишь полезную математическую формулу. Так, понятие матерIALНОЙ ТОЧКИ А массы m, которое физик воспринимает как «тело массы m пренебрежимо малых размеров для данной задачи», математик определяет формально, как «пару (A, m)», состоящую из точки A (геометрической) и действительного числа m∈R». Физик дважды подумает, прежде чем воспользовется «отрицательной массой», а математик будет рассматривать как ни в чем не бывало «материальный точку»/(A, m), для которой m<0! И притом с пользователем для дела (см. цитированную выше статую, например задачу 5 на с. 19). Подобным же образом мы здесь определяем момент инерции чисто математическим выражением. А выведенная

34

затем формула Лагранжа для вычисления момента инерции станет ключом в своевобразную кунсткамеру геометрии, с множеством диковинных теorem и формул. Об этом наш расссказ.

Предваря возможный вопрос любозательного читателя, посямим все же физический смысл момента инерции. Это легко сделать, отправляясь от второго закона Ньютона. Привращаемым движением второй закон Ньютона записьается в виде $M=I\alpha$, где $M$ — момент прилагаемой силы, $\alpha$ — угловое ускорение, а $I$ и есть как раз момент инерции (см. «Квант», 1971, № 1, с. 6). Сравнивая эту формулу с $F=ma$, мы видим, что момент инерции представляется собой меру инерции врашающего тела, подобно тому, как масса представляется собой меру инерции при поступательном движении.

Что нужно знать о центре масс

Коротко напомним все необходимые нам сведения о центре масс (продобности можно найти в упомянутой статье М. Б. Балка и В. Г. Болтянского).

Рассмотрим систему из $n$ материалов точек (или точных масс), то есть $n$ пар $(A_1, m_1), ..., (A_n, m_n)$, где $A_i$ — произвольные точки пространства, $m_i$ — действительные числа («массы», сосредоточенные в этих точках); более короткое и удобное обозначение для этой системы — $m_1A_1, ..., m_nA_n$. Если общая масса $m=m_1+...+m_n\neq 0$, то

1. существует и единственная такая точка $Z$, что

$$m_1\overrightarrow{ZA}_1+...+m_n\overrightarrow{ZA}_n=\overrightarrow{0};$$

эта точка называется центром масс системы $m_1A_1, ..., m_nA_n$;

2. для любой точки $P$ имеет место равенство

$$\overrightarrow{PZ}=\frac{1}{m}(m_1\overrightarrow{PA}_1+...+m_n\overrightarrow{PA}_n);$$

(1)

Рис. 1.

3. (теорема о группировке) при замене части материалов точек системы $m_1A_1, ..., m_nA_n$, например точек $m_1A_1, ..., m_kA_k$, на их центр масс $C$, в которой помещена их общая масса $m'=m_1+...+m_k$, положение центра масс всей системы не меняется, то есть центры масс системы $m'C, m_{k+1}A_{k+1}, ..., m_nA_n$ и $m_1A_1, ..., m_nA_n$ совпадают.

Неопределенно из определения следует, что центр $Z$ двух точных масс $m_1A_1$ и $m_2A_2$ находится по известному правилу рычаза: точка $Z$ лежит на пряной части — коэффициент пропорциональности двух коллинеарных векторов).

Задачи

1. Пусть $a, b, c$ — длины сторон $BC, CA, AB$ треугольника $ABC$. Доказите, что центр его вписанной окружности является центром масс системы $aA, bB, cC$. (Указание: пользователь тем, что биссертиса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам $^*$), доказите, что, например, барисентр материалов точек в $bB$ и $cC$ — основание биссертисы угла $A$; примените теорему о группировке.)

2. Рассмотрим три внешисанные окружности треугольника $ABC$ — окружности, касающиеся (извне) одной из сторон треугольника и продолженной двух других сторон (рис. 1). Пусть $A_1, B_1, C_1$ — точки их касания со стороны $BC, CA, AB$. Доказите, что а) отрезки $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $N$ (точке Наделя), б) точка пересечения медиан $M$ треугольника лежит на отрезке $ZN$, где $Z$ — центр вписанной окружности, и $|ZM|:|MN|=1:2$.

Мoment инерции и формула Лагранжа

Мomentом инерции системы материалов точек

$$m_1A_1, m_2A_2, ..., m_nA_n$$

относительно фиксированной точки $P$ называется число

$$I_P=m_1|PA_1|^2+m_2|PA_2|^2+...+m_n|PA_n|^2.$$

Впервые это понятие было введено вликом Л. Эйлером (1707—1783).

Для любителей физики отметим, что в механике обычно рассматривается, собственно говоря, момент инерции системы точек относительно

*) См., например, статью Сефибекова С. Р. «Четыре доказательства теоремы о биссертисе» (Квант, 1983, № 8, с. 37).

**) См. также книгу Н. Н. Воробьева «Числа фибоначчи» (М.: Наука, 1978, с. 15).

35

Основные от точки $A_i$ до этой оси (его произведение на угловую скорость вращения системы вокруг оси равно момент имплуса системы).

Он совпадает с $I_P$, когда точка $P$ и все точки $A_i$ лежат в одной плоскости, а ось перепределения её и проходит через $P$.

Формулу (2) можно записать короче, обозначив расстояние от $A_i$ до $P$ через $r_i$ и воспользовавшись знаком суммы $\Sigma^*$):

$$I_P = \sum_i m_i r_i^2.$$

(3)

Формула (3) и (2) можно придать другую форму. Пусть $P$ и $Q$ — две произвольные точки, тогда

$$I_P = \sum_i m_i |PA_i|^2 = \sum_i m_i (\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QA_i})^2$$

$$= \sum_i m_i |PQ|^2 + 2\sum_i m_i \cdot \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{QA_i} + \sum_i m_i |QA_i|^2,$$

то есть

$$I_P = I_Q + m |PQ|^2 + 2\overrightarrow{PQ} \cdot (\sum_i m_i \overrightarrow{QA_i}).$$

(4)

Если теперь в качестве $Q$ взять центр масс $Z$ нашей системы, то, поскольку $\sum_i m_i \overrightarrow{ZA_i} = \overrightarrow{0}$ (по определению центра масс), мы получим

$$I_P = I_Z + m |PZ|^2.$$

(5)

В конце статьи мы показем, что момент инерции относительно центра масс выражается, если $m \neq 0$, следующей красивой формулой:

$$I_Z = \frac{1}{m} \sum_i m_i m_j |A_i A_j|^2$$

(6)

и, следовательно, для любой точки $P$

$$I_P = \left( \frac{1}{m} \sum_i m_i m_j |A_i A_j|^2 \right) + m |PZ|^2.$$

(7)

Формулы (5)—(7) называются формулами Лаеранжа, на них основываются все дальнейшее.

*) Этот знак позволяет кратко записывать суммы из многих слагаемых: вместе $A_1 + A_2 + A_3 + \dots + A_n$ мы пишем $\sum_i A_i$ или просто $\sum_i A_i$ (когда число слагаемых $n$ ясно из контекста). Аналогично, $\sum_i m_i r_i^2$ — сокращение для $m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \dots + m_n r_n^2$ и т. п.

Рис. 2.

Математика — это исчисство называется веши одинаково, а одинаковые — по-разному

Шутливый афоризм, вынесенный в заголовок, имеет глубокий смысл. Математические теоремы отражают самые общие закономерности, поэтому одна и та же теорема в разных областях может встретиться нам в ситуации, не имеющих на первый взгляд ничего общего. Хорошим, хотя и очень элементарным, примером служит формула (5).

Перепишем ее в «нейтральных» обозначениях, отвлекаясь от смысла входящих в нее величины. Пусть $x_1, \dots, x_n$ — какой-то набор векторов, $c_1, \dots, c_n$ — набор чисел, $c = c_1 + \dots + c_n \neq 0$, $x_0 = (c_1 x_1 + \dots + c_n x_n) / c$, $y_i = x_i - x_0$ при $i = 1, \dots, n$. Тогда

$$c_1 x_1^2 + \dots + c_n x_n^2 = (c_1 y_1^2 + \dots + c_n y_n^2) + cx_0^2$$

(8)

($x_i^2, y_i^2$ нужно понимать, как складные квадраты векторов $x_i, y_i$). Доказывать эту формулу нам уже не нужно, потому что всегда можно считать, что $x_i = \overrightarrow{PA_i}$, тогда $x_0 = \overrightarrow{PZ}$, где $Z$ — магнитный системе материалов точек $c_1 A_1, \dots, c_n A_n$, $y_i = \overrightarrow{ZA_i}$ и формула (8) превращается в формулу Лаеранжа (5).

Теперь приведем еще три интерпретации этой формулы.

1. Пусть $x_1, \dots, x_n$ — векторы перепределикляров, опущенных из точек $A_1, \dots, A_n$ на ось $l$ (рис. 2), $c_1, \dots, c_n$ — массы, помещенные в эти точки. Тогда $x_0$ — это вектор перепределикляра из их барицентра $Z$ на ось $l$ (почему?), а $y_i$ — векторы перепределикляров из точек $A_i$ на ось $l_0$, проведенный через

36

точку $Z$ паралельно $l$. В этом случае (8) принимает вид теоремы Штейнера:

$$I_l = I_{l_0} + md^2$$

(здесь $I_l$ и $I_{l_0}$ — моменты инерции системы $c_1A_1$, …, $c_nA_n$ относительно осей $l$ и $l_0$, $m=c$ — общая масса, $d$ — расстояние между осями).

2. Пусть $n$ частиц $A_1$, …, $A_n$ с массами $m_1$, …, $m_n$ движутся равномерно и пря-молинейно со скоростью $\vec{v}_1$, …, $\vec{v}_n$ относительно некоторой системы отчета $S$. Тогда их центр масс движется в системе $S$ со скоростью $\vec{v}_0 = (m_1\vec{v}_1 + \dots + m_n\vec{v}_n) / m$ ($m = m_1 + \dots + m_n$). Скорость частицы $A_i$ в системе покоя центра масс по правлу сложения скоростей равна $\vec{u}_i = \vec{v}_i - \vec{v}_0$. Пусть $E$ и $E_0$ — полные кинетические энергии всех части в системе $S$ и в системе центра масс, то есть $E = \frac{m_1v_1^2}{2} + \dots + \frac{m_nv_n^2}{2}$, $E_0 = \frac{m_1u_1^2}{2} + \dots + \frac{m_nu_n^2}{2}$. Полягая в (8) $x_i = \vec{v}_i$, $c_i = m_i/2$, получим теорему Кёнца о кинетической энергии:

$$E = E_0 + \frac{mv_0^2}{2}$$

(полная кинетическая энергия системы части равна энергии их движения относительно центра масс плоскости энергия движения центра масс).

Последний пример — из совершенного другой области — теории вероятности.

3. Пусть в некотором эксперименте со случайным исходом измеряется некоторая величина $X$, например, бросают игольную кость и определяют выпавшее число очков. Предположим, что, в зависимости от результата эксперимента, величина $X$ может принимать $n$ значений $x_1$, …, $x_n$ (в примере с костью — 6 значений 1, 2, …, 6), причем значение $x_i$ принимается с вероятностью $p_i$ (числа $p_i$ неотрицательны и дают в сумме 1; в нашем примере, оченьindo, все значения равноверятны, то есть $p_1 = p_2 = \dots = p_6 = 1/6$). Число $p_1x_1 + \dots + p_nx_n$ называется средним значением (или математическим ожиданием) случайных $X$ и обозначается $MX$ (в нашем примере $MX = (1 + \dots + 6)/6 = 3,5$). Таким образом, с точки зрения теории вероятностей выражения, входящие в (8) (при $c_i = p_i$, $c = \Sigma p_i = 1$), можно интерпретировать так*):

$$p_1x_1^2 + \dots + p_nx_n^2 = MX^2$$

— среднее значение случайной величины $X^2$ или, как говоря, второй момент (снова «момент»!) случайной величины $X$; $y_i = x_i - x_0 = x_i - MX$ — отклонения значений случайных $X$ от среднего значения;

$$p_1y_1^2 + \dots + p_ny_n^2 = MX(X - MX)^2$$

— среднее значение квадрата отклонения $X$ от $MX$; это очень важная характеристика случайной величины, показывающая степень ее «разброса» вокруг среднего значения, она называется диисперсей и обозначается $DX$; $x_0^2 = (MX)^2$.

В результате (8) превращается в формулу для вычисления дисперсии, имеющейся во всех учебниках теории вероятности (правда, не носшуюничих звучных имен):

$$DX = MX^2 - (MX)^2$$

Легко ли здесь узнать формулу Лагранжа?

Задча 3. Найдите дисперсию числа окнов при бросании кости.

Геометрические следствия

Формула Стоярта. Найдем расстояние $d$ от вершины $A$ треугольника $ABC$ до точки $D$ на стороне $BC$, знаний длины $a$, $b$, $c$ сторон треугольника и длины отрезков $BD$ и $DC$ (рис. 3). Пусть $p = |BD| : |BC|$, $q = |DC| : |BC|$, тогда $D$ — это центр масс системы материалов точек $qB$, $pC$. Вычисляя момент инерции этой системы относительно точки $A$, получим (см. (7))

• Формула (8) верна и в случае, когда $x_i$ — числа: можно просто считать их векторами с координатами $(x_i; 0; 0)$. С другой стороны, ее можно применять к случайным величинам, принимающим векторы значения.

38

Для доказательства заметим, что $Z$ — это центр масс системы материальных точек $aA, bB, cC$ (см. задачу 1). Найдем моменты инерции этой системы относительно $Z$ (см. (6)):

$$I_Z = \frac{abc^2 + bca^2 + cab^2}{a+b+c} = abc = 2R \sin \hat{A} \cdot bc = 4RS = 4Rrp,$$

и относительно 0:

$$\Pi \text{ формуле (5)} |OZ|^2 = (I_O - I_Z)/2p = R^2 - 2Rr.$$

Одна из красивейших теорем геометрии треугольника утверждает, что середины сторона треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, лежат на одной окружности — так называемой «окружности девятей точек» (см. «Квант» 1981, № 8, с. 34). Но еще большее впечатление произвольит.

Теорема Фейербаха. Окружность девятей точек касается четырех «замечательных» окружностей — вписанной и трех внешисанных.

Мы доказем эту теорему только для вписанной окружности (остальные расстриваются аналогично — см. задачу 8), причем нам будет достаточно знать, что окружность девятей точек проходит через середины $A_1, B_1$ и $C_1$ сторона треугольника $ABC$.

Треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом 1/2, поэтому радиус его описанной окружности равен $R/2$; ее центр обозначим через $F$. Условие касания этой окружности с вписанной удобно записать и доказывать в виде:

$$|FZ|^2 = \left(\frac{R}{2} - r\right)^2.$$

Поместим в вершины $ABC$ треугольника массы $a, b, c$ (их центром масс будет точка $Z$), разобем каждую массу на две части: $a = (p-b) + (p-c), b = (p-c) + (p-a), c = (p-a) + (p-b)$ и попарно сгруппируем эти части, как показано на рисунке 6; центр масс при этом остается на месте. Центр масс системы $(p-a)B, (p-a)C$ находится в точке $A_1$, системы $(p-b)A, (p-b)C$ — в точке $B_1$, а системы $(p-c)A, (p-c)B$ — в точке $C_1$, следовательно, точка $Z$ — это центр масс системы $(p-a)A, (p-b)B_1, (p-c)C_1$ (массы, полученные после группировки, мы одновременно уменшили вдвое). Найдем моменты инерции этой системы относительно точек $F$ и $Z$:

$$I_F = ((p-a) + (p-b)) + (p-c)) \cdot \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{R^2}{a} \cdot p,$$

$$I_Z = \frac{1}{p} ((p-a)(p-b)\left(\frac{c}{2}\right)^2) + (p-b)(p-c)\left(\frac{a}{2}\right)^2) + (p-a)(p-b)\left(\frac{b}{2}\right)^2).$$

Задачка 7. Докажите, что для любого треугольника справедливо точекство $(p-a)(p-b)c^2 + (p-b)(p-c)a^2 + (p-c)(p-a)b^2 = abcp^2 - 4S^2$.

Пользовать токдейством этой задачи (её решение приводится в конце журнала), завершить доказательство совсем легко: по формуле (5)

$$|FZ|^2 = \frac{I_F - I_Z}{P} = \frac{R^2}{4} - \frac{abc}{4p} + \frac{S^2}{p^2} = \frac{R^2}{4} - \frac{abc}{4Rp} R + \left(\frac{S}{p}\right)^2 = \frac{R^2}{4} - rR + r^2 = \left(\frac{R}{2} - r\right)^2,$$

что и требовалось.

Задачка 8. Докажите утверждение теоремы Фейербаха для вписанных окружностей. (Указание: центр вписанной окружности, касающейся (извне) стороны $a$, служит центром масс системы $(-a)A, bB, cC$. Соберите эти массы в середина сторона, пользоваться равенствами $a = (p-b) + (p-c), b = p - (p-b), c = p - (p-c).$)

Расстояние до центра масс и вывод формулы Лагранжа

Чтобы доказать формулы (7) и (6), мы выведем формулу, выражающего расстояние от произвольной точки $P$ до центра масс $Z$ системы материальных точек $m_1A_1, \dots, m_nA_n$ через расстояния от этой точки до точек системы: $r_i = |PA_i|$, и попарные расстояния между

(Окончание см. на с. 48)