Задачи М926—М930; Ф938—Ф942

34

Задчи

M926—М930; Ф938—Ф942

M926. Докажите, что если
$$x^2 + y^2 = u^2 + v^2 = 1, \quad xu + yv = 0,$$
то
$$x^2 + u^2 = y^2 + v^2 = 1, \quad xy + uv = 0.$$
С. В. Дужин

M927*. На плоскости данного конечное множество точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведено несколько отрезков с концами в данных точках. Эти отрезки разрешается менять: если какие-то два из них, AC и BD, пересекаются, их можностерить и провести:
a) отрезки AB и CD,
b) отрезки AB и BC.
(Если «новый» отрезок уже проведен, проводить его второй раз не нужно.)
Можно ли после нескольких таких замен (только по правлу a) или только по правлу b), но не по обимм) вернуть к исходному набору отрезков?

В. Е. Колосов

M928. В книотатре N+1 место. Вначале N целое, имеющие бильеты с указанием места (в их числе и Игорь), если на произвольные N мест, не глядя на свои бильеты. Пришедший последним (N+1)-й зритель хочет занять свое место; если оно занято,—стоняет сидящого там, тот поступает так же и так далее, пока нужно согласно месту не оказывается свободным. Какова вероятность того, что Игорю придется пересесть? (Другими словами, какую среди всех возможных размешений зрителей составляют невелигные для Игоря?)

И. В. Алексеев-Астафев

M929. Науральные числа a, b, c, d, e удовлетворяют условиям $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4$. Докажите, что по крайней мере a) три из них четны, 6) три делятся на 5, в) два делятся на 10.

В. Д. Яковлев

M930*. Числа от 1 до 1985 разбиты на 6 множество. Докажите, что в одном из них найдется три числа, одно из которых равно сумме двух других (или два числа, одно из двух более большей другого).

А. Д. Валцев (уч. 9 класса).

35

Ф938. Пилот космического корабля, движущого со скоростью $v=1$ km/c, затемл прямо по курсу астроид диаметром $d=7$ km, когда до его поверхности оставалось расстояние $l=8,5$ km. Космонавт сразу же включил авариные дигители, которые за пренебрежimo малое время сообщают кораблю дополнительную скорость $\Delta v=300$ м/c, направление которой задается космонавтом. может ли корабль избежать столковения?

А. В. Андранов

Ф939. Дно сосуда наклонено под углом $\alpha=45^\circ$ к горизонту. В дне имеется полусферическая выпуклость радиуса $R$ (рис. 1). Высота столька жидкости над выпуклостью равна $H$. Какая вертикальная сила действует со стороны жидкости на выпуклый участок дня? Плотность жидкости равна $q$.

Л. Г. Маркович

Ф940. Почему прикладке кирпичных печей для скрепления кирпичей используют глиняный растор, а не, например, цементный (хотя он более твердый)?

В. А. Ильин

Ф941. В магнитном поле постоянного прямолинейного тока находится квадратная металлическая рамка $ABCD$ (рис. 2). Рамку переводят в новое положение, показанное на рисунке пунктиром. Это можно сделать двумя способами: равномерным повтором вокруг стороны $CD$ или равномерным параллельным переносом вдоль $AD$. При каком способе выделится больше телла, если время перевода рамки в новое положение в обихах случаях одинаковое?

Л. Е. Шмитс

Ф942. Плоская световая волна падает нормально на экран $\partial$. Как изменится освещенность экрана в точке $M$ (рис. 3), если на пути волны помещить полубесконечную непрозрачную пластину $\Pi$, параллельную экрану?

Д. А. Купцов

Problems

M926—M930; P938—P942

M926. Prove that
$$x^2 + y^2 = u^2 + v^2 = 1, \quad xu + yv = 0$$
implies
$$x^2 + u^2 = y^2 + v^2 = 1, \quad xy + uv = 0.$$

S. V. Duzhin

M927*. In the plane a finite set of points, no three of which are collinear, is chosen. Some line segments joining pairs of these points are drawn. We are allowed to change the segments in the following way: if, say, $AC$ intersects BD, we can delete both, replacing them by
a) the segments $AB$ and $CD$,
b) the segments $AB$ and $BC$.

=a(a+x+1). Поскольку $a$ и $a+x+1$ — взаимно-простые числа (любой их общий делитель должен превышен делить $x^n$ и $x+1$), существует такие натуральные числа $u$ и $v$, что $a=u^n$, $a+x+1=v^n$, $x=uv$. Но тогда при $n \geqslant 3$

$$uv+1=x+1=v^n-u^n$$
$$=(v-u)(v^{n-1}+v^{n-2}u+\ldots+u^{n-1}) \geqslant 1+vu+1.$$

Полученное противоречие показывает, что исходное уравнение решений не имеет.

М. Гараев, В. Н. Дубровский

M906. a) Доказите, что при любом натуральном $a>1$ уравнение
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}$$

имеет по крайней мере три решения в натуральных числах $x$ и $y$.

б) Надите число натуральных решений этого уравнения при $a=1985$.

a) Решениями данного уравнения при любом натуральном $a$ является пары натуральных чисел $(2a, 2a), (a+1, a(a+1))$ и $(a(a+1), a+1)$.

6. Ответ: при $a=1985$ данное уравнение имеет 9 решений. Показем, что уравнение
   $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}$$

имеет столько решений, сколько делитель у числа $a^2$. (При $a=1985=5 \cdot 397$ число делитель $a^2$ равно 9, так как любой из них можно представить в виде $5^n \cdot 397^k$, где $n$ и $k$ незначимо принимают любое из трех значений 0, 1, 2.)

Для доказательства достаточно переписать наше уравнение в виде $ay+ax=xy$ или
$$a^2=(x-a)(y-a),$$

и заменить, что количество разложений числа $a^2$ на два компонента равно числу его делителей.

М. В. Славинский, А. Ю. Вайитров

M907. Про треугольник ABC с длинами сторона $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ известно, что $3\angle A+2\angle B=180^\circ$. Доказите, что $a^2+bc-c^2=0$.

Diagram of triangle ABC with sides $a, b, c$

Доказываемое соответствие удобно переписать в виде равенства отношений отрезков
$$\frac{a}{c}=\frac{c-b}{a}.$$

Тепер его можно доказать с помощью подобных треугольников. Возьмем на стороне $AB$ такую точку $D$, что $AD=b$ (a $DB=c-b$; см. рисунок). Равенство (*) — это условие пропорциональности сторона треугольников $ABC$ и $CBD$, заключающих общий угол $B$ этих треугольников, поэтому достаточно доказать, что эти треугольники подобны, то есть что, например, углы $ACB$ и $CDB$ равны. Имеем
$$\angle CDB=180^\circ-\angle ADC=180^\circ-\frac{180^\circ-\angle A}{2}$$
$$=180^\circ-(\angle A+\angle B)=\angle ACB.$$

(Мы воспользовались тем, что треугольник $ACD$ равноведренный и данным соответствием $3\angle A+2\angle B=180^\circ$.)

39

M908. На стороне AB треугольника ABC выбирается точка P, и через нее проводятся прямые, параллельные BC и AC, до пересечения с сторонами AC и BC соответственно в точках M и N. При каком выборе точки P отрезок MN имеет наименьшую длину?

Решите эту задачу a) для треугольника с прямым углом C; б)* для произвольного треугольника ABC.

Рис. 1.

Рис. 2.

a) Ответ: точка P должна быть основанием высоты треугольника ABC. Действительно, в случае, когда угол C прямой (рис. 1), параллелограмм CMPN являются прямоугольниками. Следовательно, MN=CP, а отрезок CP имеет наименьшую длину, когда он перепendlуларен к AB.

6. Мы начнем решать задачу standardным способом: введем параметр $x \equiv AP/AB$ $0 \leqslant x \leqslant 1$, и выразим вектор $\vec{MN}$ через $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$, чтобы записать затем его длину как функцию от x и найти наименьшее значение этой функции. Однако, как мы видим, получающие векторы соответствия сами подсказывают более простое и по существу «чисто геометрическое» завершение решения.

Из готовности треугольников BPN и BAC, APM и ABC (рис. 2) следует, что CN/CB=AP/AB=x, то есть $\vec{CN}=x\vec{CB}$, CM/CA=BP/BA=1-x, то есть $\vec{CM}=(1-x)\vec{CA}$ и (см. рис. 2)

$$\vec{MN}=\vec{CN}-\vec{CM}=x\vec{CB}-(1-x)\vec{CA}=\vec{AC}+x(\vec{CA}+\vec{CB})=\vec{AC}+x\vec{CD}=\vec{AQ}$$

где $\vec{CD}=\vec{CA}+\vec{CB}$, а точка Q определяется условием $\vec{CQ}=x\vec{CD}$. Когда точка P пробегает отрезок AB, параметр x меняется от 0 до 1, а точка Q пробегает отрезок CD. Следовательно,лина MN=AQ будет минимальная, когда Q — близкаяая к A точка отрезка CD. Чтобы найти ответашее этой точке положение точки P, заметим, что $\vec{QN}=\vec{AM}$ (так как $\vec{MN}=\vec{AQ}$), а значит, Q лежит на прямой, проходящей через N параллельно прямой AM, то есть на прямой PN.

Итак, ответ к нашей задаче можно формулировать так: достроим данный треугольник до параллелограмма ACBD; найдем на его диагонали CD точку Q, близкийную к A, и проведем через прямую, параллельную стороне AC; точка пересечения этой прямой со стороной AB и есть исключающая точка P. В частности, если она угла ACD и ADC острые, то Q — это проекция точки A на CD; если ACD — не острый угол, то Q=C, а P=A, если же ADC — не острый угол, то Q=D, а P=B.

В. Н. Дубровский, Э. Г. Готман

**M909. a) Докажите, что существует arithmetic progression из 4 различных членов, содержащая только степени натуральных чисел $n^k(k \geqslant 2)$.

Существует ли такая прогрессия из 6) любого конечного числа, b) бесконечного числа членов? Существует ли бесконечная (не постоянная) arithmetic progression, не содержащая

40

наименьшее общее кратное показатель $k_1, \dots, k_m$.
Полученная последовательность из $m+1$ чисел
$a_1 b^k, \dots, a_m b^k, b^{k+1}$,

очевидно, является арифметической прогрессей с разностью $d \cdot b^k$, причем все члены — степеня натуральных чисел (так как $a_i b^k = (n_i b^{k/i})^{k_i}$). Таким образом, например, любую пару степеней можно «нарастить» до прогрессии любой заданной длины.
Пример в пункте a) получен из прогрессии 1, 25, 49.

в) Ответ: не существует. Приведем доказательство, основанное на рассмотрении ряда из чисел, обратных к членам прогрессии.

Заметим, что для любой бесконечной арифметической прогрессии, $a_1, \dots, a_m, \dots$ из натуральных чисел сумма

$$S_m = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_m}$$

с ростом $m$ неограниченно возрастает.

Действительно, поскольку $a_{i+1} \leqslant (a_1+d)i=a_2i$ при $i=1, 2, \dots$, где $d$ — разность прогрессии,

$$S_m \geqslant \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} \left( 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{m-1} \right) = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} \cdot s_{m-1}.$$

Одно из обычных доказательств неограниченного возрастаания суммы $s_m$ состоит в следующем: пусть $2^k \leqslant m < 2^{k+1}$, тогда

$$s_m > 1 + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \right) + \dots$$

$$\dots + \left( \frac{1}{2^{k-1}} + \dots + \frac{1}{2^{k-1}} \right) > 1 + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) +$$

$$+ \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2^{k-1}} + \dots + \frac{1}{2^{k-1}} \right) = k > \log_2 m - 1.$$

Тепер показет, что для любого набора (без повторений) степеней натуральных чисел сумма обратных к ним величины не превыходит 2.

Числа, обратные к степеням (не ниже второй) данного натурального числа $n$, образуют бесконечную геометрическую прогрессию со значением $1/n$ и первым членом $1/n^2$. Их сумма (при $n > 1$) равна

$$A_n = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} + \dots = \frac{1}{n^2} \frac{1}{1-1/n} = \frac{1}{n(n-1)}.$$

Пусть наиболее число, степени которого входит в данный набор степеней, равно $m$. Тогда сумма чисел, обратных к этим степеням, не превыходит

$$1 + A_2 + A_3 + \dots + A_m = 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(m-1)m} =$$

$$= 1 + \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{m-1} - \frac{1}{m} \right) = 2 - \frac{1}{m} < 2,$$

что и требовалось доказать.

Из двух доказанных утверждений, очевидно, вытекает, что составить бесконечную арифметическую прогрессию из степени натуральных чисел невозможно.

Другое решение задачи опирается на то, что доля, которое составляют члены произвольной арифметической прогрессии с разностью $d$ среди первых $n$ натуральных чисел, с ростом $n$ приближается к $1/d$, а доля, составляя среди тех же чисел всевозможными степенями натуральных чисел, стремится к 0.

41

Читатель без труда восстанавливает детали этого решения, ознакомившись с решением задачи M783 (Квант, 1982, № 8, с. 35).

г), д) Ответ к обеим задачам г) и д): существует. Из разнообразных примеров мы выбрали такой, который годится сразу для обеих задач — прогрессio 10, 30, 50, … Ее $n$-й член $a_n=-10+20n==(2n-1) \cdot 10$ при любом $n$ оканчиваетсяровно одним нулем и, следовательно, не может быть степенью натурального числа (так как делится на 10, но не делится на $10^2$) и не состоит из одинаковых цифр.

Р. Н. Азизян, Н. Б. Васильев

M910. На сторонах правильного шестиугольника взяты точки $A_1, A_2, ..., A_6$ (рис. 1). Известно, что три попарно не смешные стороны шестиугольника $A_1...A_6$ ($A_1A_2, A_3A_4, A_5A_6$) определяют треугольник KLM, вершины которого лежат на продолжениях диагоналей правильного шестиугольника. Докажите, что это верно и для трех других сторон шестиугольника $A_1...A_6$.

Рассмотрим данные правильный шестиугольник как ortогonalную проекцию куба вдоль его диагонали $PQ$. Возьмем на продолжения ребер куба, выходящих из вершины $P$, по точке так, чтобы эти точки проектировались в точки $K, L, M$ (на рисунке 2 они обозначены теми же буквами $K, L, M$). Тогда, очевидно, сечение куба плоскостью KLM будет шестиугольником, который при проекции переходит в шестиугольник $A_1...A_6$. Пусть $K_1, L_1, M_1$ — точки пересечения этой плоскости с продолжениями ребер, выходящих из вершины $Q$, тогда и в пространстве (рис. 2) и на проекции (рис. 1) отрезки $A_2A_3, A_4A_5$ и $A_6A_1$ будут лежать на сторонах треугольника $K_1L_1M_1$, откуда и следует утверждение задачи.

Из проведенного рассуждения видно, что противоположные стороны шестиугольника $A_1...A_6$ параллельны (плоскость сечения пересекает противоположные грани куба по параллельным прямым), Это можно вывести и непосредственно из условия: например, треугольники $BA_1A_2$ и $PML$ на рисунке 1 готовятся с центром готовети $K$ ($KA_1:KM=KB:KP=KA_2:KL$) и, следовательно, $A_1A_2 \parallel A_4A_5$. Отсюда в свою очередь вытекает, что треугольники $CA_4A_5$ и $PM_1L_1$ (где $M_1$ и $L_1$ — точки пересечения прямых $A_4A_3$ и $A_5A_6$ с $A_1A_2$) тоже готовятся, как треугольники с соответственно параллельными сторонами, а значит, прямые $A_3A_4, A_5A_6$ и $BC$ пересекаются в одной точке — центре готовети. Расматривая аналогичным образом две другие пары противоположных сторон шестиугольника $A_1...A_6$, мы получим другое решение задачи, не использующое «выход в пространство».

С. Ю. Оревков, В. Н. Дубровский

Ф917. Предмет находится между линей и плоским зерком, перепедикулярным главной оптической оси линзы. Зеркало, линза и предмет заклонили в конexus из светопропищаемой матовой пластmasсы. Такая система создает два изображения предмета и изображение линзы. Оба изображения предмета имеют

Линза создает изображение предмета, а также изображение его отражения в зерке. Поскольку предмет и его изображение в зерке имеют одинаковые размеры, но находится на различных расстояниях от линзы, их изображения, создавемые линзой, не могут иметь одинаковые размеры, если они являются действительными или оба минимыми. В самом деле, для действительного изображения мы можем написать фор-

42

мулу линзы:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f},$$

где $F$ — фокусное расстояние линзы, $d$ — расстояние между линзой и предметом, $f$ — расстояние между линзой и изображением. Поскольку увеличение определяется формулой $\Gamma = f/d$, то, исключая с помощью формулы линзы $f$, получаем

$$\Gamma = \frac{F}{d - F}.$$

(1)

Для минимого изображения формула линзы принимает вид

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{f},$$

а увеличение задается выражением

$$\Gamma = \frac{F}{F - d}.$$

(2)

Если мы обозначим через $d_1$ расстояние от предмета до линзы, через $\Gamma_1$ — увеличение, с которым линза изображает этот предмет, через $d_2$ — расстояние от линзы до изображения предмета в зеркале и через $\Gamma_2$ — увеличение, с которым линза изображает это отражение, то с помощью формул (1) и (2) нетрудно увидеть, что если изображения, создаваемые линзой, оба действияные или оба миниые, то условие $\Gamma_1 = \Gamma_2$ выполнить невозможно.

Остается предположить, что одно изображение является действительным, а другое — минимом. Очевидно, что миним будет изображение предмета, поскольку он находится близке к линзе, а изображение его отражения — действительным. Тогда, в соответствии с формулими (1) и (2), мы можем написать:

$$\Gamma_1 = \Gamma_2 \Rightarrow F - d_1 = d_2 - F.$$

(3)

No расстояние от линзы до изображения предмета в зеркале равно $d_2 = 2a - d_1$, где $a$ — расстояние от линзы до зеркала. Тогда из (3) получаем $a = F$, то есть зеркало расположено в фокальной плоскости линзы. Линза создает изображение собственного отражения в зеркале. Но это отражение имеет те же размеры, что и линза, и расположено на расстоянии $d = 2F$ от нее. Следовательно, согласно формуле (1), линза создает действительное изображение своего отражения в зеркале с увеличением $\Gamma = 1$.

П. Кузнецов

Скорость грузика $A$ непосредственно перед тем моментом, когда он начинает сокальывать со стола, находим с помощью закона сохранения энергии:

$$2m \frac{v_0^2}{2} = mgh = \frac{2}{3} mgl,$$

43

откуда

$$v_0 = \sqrt{\frac{2}{3} gl}.$$

(1)

Теперь убедимся в том, что эта скорость мала для того, чтобы в дальнейшем нить была натянута. Дейстивительно, в этом случае грузик $A$ стал бы двигатся по окружности радиуса $l$; центростремильное ускорение в верхней точке, равное $v_0^2/l$, должно быть бы обеспечивать сумму силы тяжестии $mg$ и силы натяжения нити $T$:

$$m \frac{v_0^2}{l} = mg + T.$$

(2)

Подставив в (2) значение $v_0$ из (1), получим: $T = -mg/3$, что не имеет смысла (такое движение было бы возможно, если бы вместе нити были жесткий стержень). Следовательно, сосокольну со стола, грузик $A$ в дальнейшем будет двигатся по параболе.

Использовая систему координат, изображенную на рисунке, запишем координаты грузика в момент времени $t$:

$$x = v_0 t, y = l - \frac{gt^2}{2}.$$

(3)

Нить вновь будет натянута, когда будет выполнять соответствие

$$x^2 + y^2 = l^2.$$

(4)

Подставив в (4) выражения для координат из (3), получим уравнение для определения того момента времени, когда нить вновь будет натянута:

$$v_0^2 t^2 + \left(l - \frac{gt^2}{2}\right)^2 = l^2,$$

или, с учетом (1),

$$gt^2 \left(\frac{gt^2}{4} - \frac{1}{3} l\right) = 0,$$

откуда $t^2 = 4l/3g$ (корень $t = 0$ соответствует моменту сосокольывания грузика $A$ со стола). Подставляя это значение $t^2$ в выражение для координаты $y$ (см. (3)), находим искому высоту:

$$y = \frac{1}{3} l.$$

Г. Л. Коткин

Ф919. На рисунке показано долевое сечение прибора, использующего в качестве этапа длины. Центральный стержень $C$ и внешняя оболочка $A$ прибора сделаны из материалов с коэффициентом теплового расширения $a_1$; их длины при $t_1 = 20^\circ C$ одинаковы и равны $l_1$. Внутренняя груба $B$ сделана из материалов с коэффициентом теплового расширения $a_2$. Какой должа быть

Пусть при температуре $t_0 = 0^\circ C$ центральный стержень $C$ и внешняя оболочка $A$ имеют длину $l_{10}$, а внутренняя груба $B$ — длину $l_{20}$. Тогда

$$l_1 = l_{10} \left(1 + a_1 t_1\right) \Rightarrow l_{10} = l_1 / \left(1 + a_1 t_1\right),$$

$$l_2 = l_{20} \left(1 + a_2 t_1\right) \Rightarrow l_{20} = l_2 / \left(1 + a_2 t_1\right),$$

где $l_2$ — искомая длина грубы $B$ при температуре $t_1 = 20^\circ C$. При изменении температуры от $t_0$ до $t_1$ длины соответствующих деталей изменились

44

Длина внутренней трубы при $t_1=20^\circ C$, чтобы при изменении температуры полная длина эталона (CD) не менялась?

$$\Delta l_1 = l_1 - l_{10} = l_{10} \alpha_1 t_1,$$
$$\Delta l_2 = l_2 - l_{20} = l_{20} \alpha_2 t_1.$$

Конструкция эталона такова, что при любом изменении температуры изменение длины трубы $B$ должно компенсировать суммарное удлинение деталей $A$ и $C$. Следовательно, должно выполнять условие $\Delta l_2 = 2\Delta l_1$, то есть

$$l_{20} \alpha_2 t_1 = 2 l_{10} \alpha_1 t_1.$$

Подставляя в это равенство записанные выше выражения для $l_{10}$ и $l_{20}$, находим $l_2$:

$$l_2 = 2 l_1 \frac{\alpha_1 (1 + \alpha_2 t_1)}{\alpha_2 (1 + \alpha_1 t_1)} \approx 2 l_1 \frac{\alpha_1}{\alpha_2}.$$

А. П. Ершов

Ф920. Через трубку переменного сечения продукют воздух. Входное отверстие трубки имеет площадь $S_1$, выходное — $S_2$. На входе скорость воздуха $v_1$, температура — $T_1$, давление — $p_1$; на выходе температура воздуха $T_2$, давление — $p_2$. Какова скорость воздуха на выходе?

Обытем воздуха, входящого в трубку за время $t$, равен $V = S_1 v_1 t$. Объем выходящого за то же время воздуха равен $V_2 = S_2 v_2 t$, где $v_2$ — искомая скорость воздуха на выходе. Так как скорости $v_1$ и $v_2$ не меняются со временем, массы выходщего и выходящого воздуха одинаковы. Поэтому, согласно обедининному газовому закону,

$$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} \Rightarrow V_2 = V_1 \frac{p_1 T_2}{p_2 T_1},$$

то есть

$$S_2 v_2 t = S_1 v_1 t \frac{p_1 T_2}{p_2 T_1}.$$

Отсюда находится $v_2$:

$$v_2 = v_1 \frac{S_1 p_1 T_2}{S_2 p_2 T_1}.$$

Г. Л. Коткин

Ф921. Плоский конденсатор подключаен к источнику напряжения $U$. Плоский конденсатор имеет площадь $S$ какая, расстояние между пластинами равно $d_1$. К одной пластине прижата металлическая пластинка площади $S$ и толщины $d_2$ (рис. 1), имеющая массу $m$. Плоский отнускатор. С какой скоростью она ударится о других пластинку конденсатора? Влиянием силы тяжестеи пребрежь.

На рисунке 1 показано распределение зарядов в системе в начальной момент времени $t_0$. Под действием силы притяжения со стороны заряда — $q_0$ пластинки 2. Пластина, когда ее отпустят, начинает движаться сускорением по направлению к пластине 2. На рисунке 2 показано положение системы в момент времени $t$, когда пластина ударяется о пластину 2.

Обозначим скорость пластинки в момент удара $v$. Чтобы найти $v$, воспользуемся законом сохранения энергии.

В момент $t_0$ энергия $W_0$ системы конденсатор + пластинка равна энергии конденсатора, заряженного до разности потенциальов $U$; расстояние между пластинами этого конденсатора равно $d_1 - d_2$, и его емкость — $C_0 = \varepsilon_0 S / (d_1 - d_2)$. Так что

$$W_0 = C_0 \frac{U^2}{2}.$$

45

В момент времени $t$ энергия системы равна

$$W = C_0 \frac{U^2}{2} + m \frac{v^2}{2} = W_0 + m \frac{v^2}{2}.$$

Откуда взялась дополнительная энергия $mv^2/2$?

За время движения пластинки от пластины 1 до удара о пластину 2 между обкладками конденсатора прошел заряд $q_0$. Такой же заряд прошел через источник. Значит, источник совершил работу $A = q_0 U$. Эта работа и пошла на сообщение пластинке энергии $mv^2/2$.

Итак,

$$m \frac{v^2}{2} = q_0 U = C_0 U^2 = \frac{\varepsilon_0 S}{d_1 - d_2} U^2.$$

Отсюда находится $v$:

$$v = U \sqrt{\frac{2 \varepsilon_0 S}{m(d_1 - d_2)}}.$$

А. П. Ершов

Ф922. Фотографируя муравая с близкою расстояния, экспериментатор использовал удлинительное колюц, которое увеличило расстояние от ленки до объекта на $\Delta l = 7,5$ мм. Резкое изобравнение муравая получилось в том случае, когда на шкале объекта было установлено расстояние $b = 1,05$ м (на шкале указывается значения расстояния от предмета до объекта без изобравнения удлинительных колей). Фокусное расстояние объекта $F = 50$ мм. На каком расстоянии от объекта находится муравой?

Из условия задачи следует, что без использования удлинительного колюца на ленке будет получаться резкое изобравнение предмета, находящего от объекта на расстоянии $b = 1,05$ м. Это позволяет определить по формуле линзы расстояние между объектным (без колюца) и ленкой:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{b} + \frac{1}{f} \Rightarrow f = \frac{Fb}{b - F} = 5,25 \text{ см.}$$

При фотографировании с колютом расстояние между объектным и ленкой было $f' = f + \Delta l = 6$ см. Воспользовавшись вновь формулой линзы, найдем, на каком расстоянии $b'$ от объекта (с колютом) находится муравой:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{b'} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{b'} + \frac{1}{f + \Delta l},$$

откуда

$$b' = \frac{F(f + \Delta l)}{f + \Delta l - F} = 30 \text{ см.}$$

А. П. Ершов

Поправка

В «Кванте» № 4 на с. 54 в левой колонке в знаменатель второй дроби в условия задачи 1 варианта 1 должно быть

$$kx^2 + 2xy + ky^2.$$

На с. 55 в верхней строке левой колонки вместо 9х должно быть $9^x$; условия задачи 1 варианта 6 должно заканчивать фразой: «Найти скорости поездов».