Задачи вступительных экзаменов в различные вузы в 1984 году

48

Задание
вступительных экзаменов
в различные виды в 1984 году

Предлагаемnodborку задан вступительных экзаменов по математике и физике в некоторые университеты — Белоруссий (1), Воронежский (2), Донецкий (3), Киевский (4), Омский (5), Ташкентский (6), Уральский (7) и институты — Горьковский политехнический (8), Ленинградский технический (9), Рижский политехнический (10), Томский политехнический (11), Тбилисский педагогический (12), ПМ Московский медицинский (13), Минский радиотехнический (14).

Математика
Писменный экзамен
Алгебра

1. (5) Дано натуральное число. Если к его цифровой записи справа приписать цифру 2, то получится число, которое делится без остатка на 9. При этом частное от деления больше, чем данные число, на 21. Найдите это число.

2. (5) Два комбайна убирают хлебное поле. После того как первый пророботал на поле 2 часа, а второй — 5 часов, оказалось, что убрана половина поля. Затем 1,5 часа они работали вместе и убрали еще четверть поля. Оставшуюся работу выполнял только первый комбайн. Определите, сколько ему попадобилось для этого времени.

3. (2) Две автоматизны, выжавшие из городов А и В навести друг другу, каждая со своей скоростью, встретились через 6 часов. Первой машине, чтобы пройти 2/5 пути от А до В, требуется на 2 часа больше, чем второй, для того, чтобы пройти 2/15 пути от В до А. За какое время проходит расстояние между А и В каждой машина?

4. (2) Число десятиков двухначного числа на 4 большие числа его единиц; произведение же этого числа на сумму его цифр равно 496. Найдите это число.

5. (10) Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 66, а произведение второго и третього членов равно 528. Найдите сумму первых сорока членов.

6. (3) Два тела, находящиеся на расстоянии 310 м одно от другого, одновременно начиная двигается на逮рету друг друга. Первое тело движется равномерно со скоростью 1 м/c, а второй — равноскоренно с начальной скоростью 1 м/c иускорением 3 м/c². Через сколько они встретиются?

7. (11) Вычисление
   $$\frac{1}{5} : \left(\frac{17}{40} + 0,6 - 0,005\right) \cdot 1,7$$

8. Упростите выражение:
   a) (3)
   $$\frac{1}{c^2} - a^2 \frac{1}{c} \left(\left(\frac{c}{a}\right)^{-1} - \left(\frac{a}{c}\right)^{-1}\right) : \frac{(a+c)\sqrt{c}}{\sqrt{1/a}}.$$

6. (10)
   $$\frac{(ab^{-1}+a^{-1}b+1)(a^{-1}-b^{-1})^2}{a^2b^{-2}+a^{-2}b^2-(ab^{-1}+a^{-1}b)}$$

b) (12)
$$\left(\frac{x^2}{y^2} - \frac{1}{y^2} + \frac{x^2}{y^2}\right) \times \frac{x^2}{y^2} - x^2$$
$$\times \frac{x^2}{y^2} \cdot y^2 - \frac{2y}{x-y}.$$

9. (6) Вычисление
   $$\log \frac{1}{a^3} + \log_a \sqrt{a\sqrt{a}}.$$
10. (2) Докажите, что сумма
    $$\sqrt{\sin^4 x + 4\sin^2 \left(\frac{\pi}{2}-x\right)} + \sqrt{\cos^4 x + 4\cos^2 \left(x-\frac{\pi}{2}\right)}$$

является постоянным числом, не зависит от $x$.

11. Найдите:
    a) (5) $\cos^4 a + \sin^4 a$, если $\sin 2a = \frac{1}{7}$;
    b) (3) $\cos(60^\circ - a)$, если $\lg a = \frac{3}{4}$ и $180^\circ < a < 270^\circ$.

12. (10) Упростите выражение $\frac{1+\cos a}{\sin a} \times \left(1 + \frac{(1-\cos a)^2}{\sin^2 a}\right)$ и найдите его значение, если $\cos a = -0,8; \frac{\pi}{2} < a < \pi$.

13. (6) Чему равно выражение $\sin a + \cos \frac{a}{2}$, если $\cos a = -\frac{2}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2}$.

14. (12) Найдите целый корень уравнения $|3x-7|=x+5$.

15. Решите уравнение:
    a) (6) $x^2-0,8|x|-0,33=0$;
    b) (11) $16 \cdot 2^{3x}=\frac{1}{32} \cdot 4^{x-3}$;
    b) (4) $3^{2x}-3^x=702$;
    r) (9) $2 \cdot 5^{1-x}-2 \cdot 5^{x+1}+25^x+25^{-x}=26$;
    d) (2) $|x-3|^{x^2-x}=|x-3|^2$;
    e) (10) $x^{1-\frac{1}{3}} \log x^2 - \frac{1}{\sqrt{100}}=0$;
    ж) (9) $2^{|x+2|}-|2^{x+1}-1|=2^{x+1}+1$;
    з) (9) $3\log_2(x+1)^2+12=2\log_2(5-x)^3+2\log_2(5+x)^3$;
    и) (9) $\log_{36}x^2+\log_6(x+5)=1$;

50

точки задано уравнения
$$S=5t^2+58t-623.$$

2. (3) Тело движется прямолинейно по закону $S(t)=5+6t^2-\frac{1}{3}t^3$, где $S(t)$ — путь (в метрах) и $t$ — время (в секундах). Найдите наиболее значение его скорости.

3. (6) Нашите уравнения касательных к графику функции $y=2x^2+2$, проходящих через точку (0; -6).

4. (6) Докажите, что функция $y=1+12x+3x^2-2x^3$ возвращает на интервале $-1; 1$.

5. Найдите точки максимума и минимума и промежутки монотности функции:
   a) (13) $y=x^4+4x^3-8x^2+3$;
   b) (4) $y=\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}$.

6. Найдите наиболее значения функции:
   a) (13) $y=x^2(2x-3)-12(3x-2)$ на отрезке $[-3; 6]$;
   b) (3) $y=15-3\cos x+\cos 3x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

7. (3) Найдите критические точки функции $f(x)=\cos x+\frac{1}{2}\sin(2x+\pi)$, придлежащие отрезку $[0; \pi]$.

8. (7) При каких значениях $a>0$ точка $x=3$ является точкой минимума функции $f(x)=2x^3-6a^2x+3$?

9. (2) Найдите значения параметра $c$, при которых функции
   $$f(x)=(c-12)x^3+3(c-12)x^2+6x+7$$
   monotonно возрастает при всех $x$.

10. (4) Известно, что $2x^2+2y^2=1$. Найдите наиболее значения и наиболее значения функции $z=3x-y$.

Геометрия

1. (2) Пусть $ABCD$ — параллелограмм, причем $[AD] \parallel [BC]$, $K$ — середина $[BC]$, $P$ — середина $[DC]$. Выразите через векторы $\vec{AK}=\vec{a}$ и $\vec{AP}=\vec{b}$ сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$.

2. (10) Около окружности радиуса $r$ описан равновесенный треугольник с углом при вершине в $120^\circ$. Найдите длины сторон треугольника.

3. (2) Докажите, что в прямолинейный треугольник окружность точкой касания делит гипotenуза на отрезки, произведение которых равно площади данного треугольника.

4. (7) В ромб вписана окружность радиуса $R$. При точки касания окружности со стороны ромба соединием между собой. Найдите площадь полученного треугольника, если большая диагональ ромба в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.

5. (5) Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, проходящая через центр окружности. При этом расстояние от точки касания до центра второго окружности равно диаметру второго окружности. Найдите относение площадей полученного треугольника равна ее боковой стороны. Найдите длину средней линии трапеции, если ее высота 4 см, а боковая сторона 5 см.

6. (10) Диагональ прямолинейный трапеции равна ее боковой стороне. Найдите длину средней линии трапеции, если ее высота 4 см, а боковая сторона 5 см.

7. (6) Величина угла при основании равновесного треугольника равна $\varphi$. В каком отрезке делит высота этого треугольника, опущенная к основанию, другую высоту?

8. (2) В треугольнике $ABC$ известны стороны $|AC|=b$, $|BC|=a$, $|AB|=c$. Найдите, в каком отношении точка $D$, лежащая на стороне $[BC]$, делит отрезок $[BC]$, если известно, что произведение расстояний от точки $D$ до двух других сторон треугольника является наиболее важным.

9. (16) Площадь основания правильной треугольной прямолинейной прямой равна половине площади ее боковой поверхности. Найдите величины плоского угла при вершине прямолинейной прямой.

10. (3) В правильной треугольной прямолинейной прямой равна половине площади ее боковой поверхности, если относение бокового ребра к стороне основания равно 2:3. Ответ запишите в градусах.

11. (12) Основание прямолинейного параллелепипеда относится квадрат с плоской диагональю $m$. Меншающая диагональ параллелепипеда накладна к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объем параллелепипеда.

12. (7) В основании прямолинейной треугольник $ABC$ со стороны, равной $a$. Боковое ребро $DB$ перпендикулярно плоскости основания. Длина бокового ребра $CD$ равна 2a. Точка $M$ является серединой ребра $AD$. Найдите угол между прямыми $CM$ и $MB$.

13. (11) Объем конуса $V$, а радиус основания $R$. Чему равна площадь освенного секунда конуса? Вычислите ее, если $V=4\pi R$.

14. (6) Ромб с острым углом $a$ врачается вокруг одной из своих сторон. Длина большей диагонали ромба равна $d$. Найдите плоскость полученного тела врашения.

15. (5) Боковая поверхность конуса с образующей $l$ развернута в сектор, центральный угол которого равен $6\pi/5$. Найдите объем конуса.

16. (13) В цилиндр помещен конус так, что основание конуса совпадает с нижним основанием цилиндра, а вершина конуса совпадает с центром верхнего основания цилиндра. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом $a$. Найдите объем цилиндра, если площадь полной поверхности конуса $S$.

17. (10) В конус вписан шар. Угол между высотой конуса и его образующей равен $a$. Найдите относение объема конуса к объему шара.

18. (3) Вокруг конуса, угол наклонена образующей коротого к плоскости основания равен $a$, описан шар. Найдите относение объема данного конуса и шара.

19. (4) В конус вписан шар. Отношение объема шара к объему конуса равно $q$. Най-

51

дите угол между образующей и плоскостью основания конуса. Укажите допустимые значения $q$.

23. (3) Около шара радиуса $R$ описана правильная четырехугольная парамида, боковые грани которого наклонены к плоскости основания под углом $a$. Найдите площадь полной поверхности парамиды.

24. (4) В правильной треугольной призме проведено сечение, которое проходит через одну из сторон нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения, если сторона основания равна $a$, а плоскость сечения образует с плоскостью основания угол, равный $a$.

25. (4) Три одинаковых шара радиуса $r$ касаются одной плоскости и каждой из них касается двух других шаров. Найдите радиус шара, который касается плоскости и трех данных шаров.

26. (13) Докажите, что если противоположные ребра tetraэдра попарно равны, то вписанный в tetraэдр и описанный вокруг него шары концентрины.

27. (13) Докажите, что если все диагонали параллелепеда равны по длине, то он прямогольный.

Устный экзамен

Алгебра

1. (9) Три числа, сумма которых равна 26, образуют геометрическую прогрессию и является первым, вторым и пятым членом арифметической прогрессии. Найдите эти числа.

2. (6) Найдите два числа таких, что первое из них составляет 40 % квадрата второго числа, а второе — 135 % квадрата первого числа.

3. (6) Вычислите
   $$\log_{0,25} \cos 675^\circ.$$

4. (3) Найдите 10 % от числа
   $$\frac{(27^{\log_3 2} + 5^{\frac{1}{2} \log_5 49}) (-81^{\log_9 4} + 8^{\frac{1}{2} \log_2 9})}{3 + 5^{\frac{1}{2} \log_5 16 + \log_5 3}}.$$

5. (12) Вычислите $\cos(\alpha + \frac{5}{4}\pi)$, если $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$, $\pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi$.

6. (12) Между какими целыми числами заключается $\log_3 \frac{1}{7}$?

7. (2) Не используя таблиц логарифмов, докажите, что
   $$\frac{1}{\log_2 \pi} + \frac{1}{\log_5 \pi} > 2.$$

8. (3) Вычислите значение выражения $(\cos^2 \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cos(\pi + \alpha) - \sin^2 \alpha)^2$ при $\alpha = \frac{5\pi}{24}$, предварительно упростив его.

9. Решите уравнение:
   a) (9) $\sqrt{5x-1} = \sqrt{3x-2} - \sqrt{2x-3}$;
   b) (9) $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}$;
   b) (10) $\sqrt{4+x}\sqrt{x^2+40} = x+2$;
   r) (9) $4^{1-x} - 4^{1+x} + 16^x = 16^{-x} = 7$;
   d) (9) $\lg x^2 + \lg(x+10)^2 = 2\lg 11$;
   e) (10) $\log_2(9^{x-1}+7) = 2 + \log_2(3^{x-1}+1)$;
   j) (7) $4\sin^4 x + \cos 4x = 1 + 12\cos^4 x$;

3. (9) $\sin 2x = 1 + \sqrt{2} \cos x + \cos 2x$.

10. (10) Найдите корни уравнения $3 \sin(\frac{\pi}{4}-x) = 2 \cos(\frac{\pi}{4}+x)$, принадлежшие промежутку $-\pi$; 0[.
11. (7) При каких $x$ вектор $\vec{a} = (-1; 4 \sin x)$ перпендикулярен вектор $\vec{b} = (\sin 3x; \cos 2x)$.
12. Решите систему уравнений:
    a) (9) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+y}{3} + \frac{x+y}{6} = 6, \\ x^2+5y^2=6xy; \end{array} \right.$
    b) (2) $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{(x+y)^2} = 3, \\ \sqrt{(x-y)^2} = 1. \end{array} \right.$
13. Решите неравенство:
    a) (3) $\frac{1}{x+2} < \frac{3}{3x-1}$;
    b) (7) $|x^2-5x| < 6$;
    b) (9) $\sqrt{x+1/4} > 2x-1/2$;
    r) (6) $(x+2)\sqrt{x^2-3x-4} \ge 0$;
    d) (9) $\log_1/3 x > \log_2 3-5/2$.
14. (10) Найдите все значения $x$, принадлежшие промежутку $[0; \pi]$, для которых выполняется неравенство
    $$\left(\frac{5}{4}\right)^{2\cos^2 x} < \frac{5}{4}.$$
15. Найдите область определения функции:
    a) (12) $y = \sqrt{|x|-4}$;
    b) (10) $y = \frac{\sqrt{7+6x-x^2}}{\lg(2x-8)}$;
    b) (2) $f(x) = \sqrt{2^x-3^x}$;
    r) (9) $y = \log_{(x+5)}(\sqrt{x^2-5x-24}-x+2)$.
16. (11) Определите коэффициенты квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ так, чтобы его корни были равны $p$ и $q$.
17. (10) График функции $y=a^x+2$ проходит через точку $M(1; 8)$. Найдите $a$ и множество значений $x$ таких, что $0,5 < y \leq 16$. Постройте график, указав на нем искомое множество $x$ и данное множество $y$.
18. Постройте график:
    a) (6) $y=x^2-|x|(x+4)+2$;
    b) (7) $y=|\log_2(x-1)|$;
    b) (7) $y \leq e^{\ln \sin x}$.
    Аналіз
19. (6) Корни квадратного трехчлена равны -1 и 3. Найдите корень произвольной трехчлена.
20. (3) Найдите наиболее и наиболее значения функции $y=15-3\cos x+cos 3x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
21. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
    a) (9) $y=(x+1)\sqrt{(x-1)^2}$;
    b) (12) $y=2^{x^2-4x}$.
22. (2) Докажите, что любая касательная к кривой
    $$y=x^5+8x+1$$
    obразует с осью $Ox$ острый угол.
    Геометрия
23. (3) Известны координаты трех вершин параллелограмма $A(-3, -2), B(3, 1), C(5, 0)$. Найди координаты его четвертой вершины.

52

2. (6) Заданы векторы $\vec{OB} = \vec{b}$ и $\vec{OC} = \vec{c}$, где $O$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Найдите векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

3. (10) Длины катетов прямого углового треугольника равны 12 см и 35 см. Найдите длину медианы, проведенной к гипотенузе.

4. (2) В прямогольный треугольник с катаетом $a$ вписана окружность радиуса $r$. Найдите гипотенузу этого треугольника.

5. (7) Дана прямогольная трапеция с основаниями, равными 3 и 2, и меньшей боковой стороны, равной 1. Определите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее основания.

6. (6) Отношение площади круга к площади описанного около него ромба равно $\frac{\pi}{8}$. Найдите острый угол ромба.

7. (3) Перimetр равноведренного треугольника равен 12. При какой длине основания его площадь будет наиболее?

8. (11) Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом $a$. Определите площадь основания конуса, если его полная поверхность равна $Q$. Вычислите значение площадь основания при $Q=36$, $a=60^\circ$.

Физика

Задачи устного и письменного экзаменов Механика

1. (11) Скорость электропоезда увеличилась с $v_1=21,6$ km/ч до $v_2=108$ km/ч на пути $l=54$ м. Определите ускорение движения поезда. Результат представьте в единицах СИ.

2. (10) Какой путь проходит свободно падающее тело за третью секунду движения ($g=10$ м/c$^2$)?

3. (10) С какой начальной скоростью необходимо вертикально вниз бросить тело массой $m=2$ кг, чтобы через $t=1$ с его кинетическая энергия была равна $E_k=2,5$ кДж ($g=10$ м/c$^2$)?

4. (10) С крыши здания высотой $h=16$ м через одинаковые промежутки времени падают капли воды, причем первая ударяется о землю в тот момент, когда пята отделяется от крыши. Определите: а) время падения капли; б) расстояние между треугольником и четвертой каплими в воздухе удара первой капли о землю.

5. (1) С поверхности земли вертикально вверх брошен шарик. Некоторые точку $A$ шарик проходит дважды: спустя время $t_1$ и время $t_2$ после начала движения. Определите высоту точки $A$ надерхостью земли. Соответствие воздуха не учитываются.

6. (5) С вертолета, находящемся на высоте $h=500$ м, уплан камень. Через какое время камень достигнет поверхности земли, если: а) вертолет не подвижен; б) вертолет поднимается со скоростью $v_0=4,9$ м/c? Соответствие воздуха не учитываются.

7. (11) камень, брошенный горизонтально на высоте $h=1,25$ м над землей, уплан на нее расстоянии $l=5$ м от места бросания (по горизонтали). Определите начальное скорость камня. Результат представьте в единицах СИ. Соответствие воздуха не учитываются. Принять $g=10$ м/c$^2$.

8. (1) Каким должно быть объем $V_\pi$ положти железного буя для того, чтобы он мог плавать на поверхности воды? Объем буя $V$, плотность железа $Q_\pi$, плотность воды $Q_\beta$.

9. (9) На чашках погруженных в воду равно площных весов находимся и железный шар одинаковой массы $m$. Определите массу сплошного шара из меди, который надо добавить для восстановления равновесия. Плотность алюминия $Q_a=2,7$ г/cm$^3$, железа $Q_\beta=7,88$ г/cm$^3$, меди $Q_\gamma=8,93$ г/cm$^3$.

10. (9) В бак с жидкостью опускается длина трубка диаметром $d$, к которой спизу плотно прилегает цилиндрический диск толщиной $h$ и диаметром $D$. Плотность материалов диска $Q_\alpha$ больше плотности жидкости $Q_\beta$. Трубку медленно поднимают вверх. Определите, на каком уровне диск отрывается от трубки.

11. (1) Для взятия пробы грунта на дно океана на стальном трое опускается прибор. Найдите предельную глубину погружения, если предель прочитности на разрыв стали $\sigma_{\pi p}=4,8 \cdot 10^8$ H/m$^2$. Массой прибора по сравнению с массой троя можно пребежать. Плотность стали $Q_c=7,8 \cdot 10^3$ кг/m$^3$, плотность морской воды $1,03 \cdot 10^3$ кг/m$^3$.

12. (14) В сосудах находится две несмешивающиеся жидкости различных плотностей. На границе раздела жидкости плавает одноподный куб, погруженный целиком в жидкость. Плотность материалов куба $Q$ больше плотности $Q_1$ верхней жидкости, но меньше плотности $Q_2$ нижней жидкости ($Q_1<Q_2$). Какая часть объема куба будет находиться в верхней жидкости?

13. (14) От поезда, индущего по горизонтальном участку пути с постоянной скоростью $v_0$, отплегается 1/3 состава. Через некоторое время скорость отцепившихся вагонов уменьшилась в два раза. Считая, что сила тряги при разрыве состава не изменилась, определите скорость головной части поезда в этот момент. Сила тряги пропорциональна силе тяжесте и не зависит от скорости.

14. (14) Найдите ускорения, с которых будут движения грузы с массами $m_1$ и $m_2$ в системе, состоящей из одного неподвижного и трех подвижных блоков (рис. 1). При какой соотношения между массами груzos системы будет находиться в равновесии? Треннем и массой блоков прекращень.

15. (11) С какой минимальной силой, направленной горизонтальной, надо прижать плоский брусок к вертикальной стене, чтобы он не сокользнул вниз? Масса бруска $m=6$ кг, коэффициент тряги между бруском и стенкой $μ=0,1$. Результат представьте в единицах СИ. Принять $g=10$ м/c$^2$.

16. (1) Поезд, подходя к станции со скоростью $v=72$ km/ч, начал тормозить. Каково наименьшее время торможения до полной остановки посящения, безопасное для спящих пассажиров (пассажеры не падают с полок)? Каков минимальный тормозной путь? Ускорение порезца при торможении считайте постоянным, коэффициент тряги пассажиров о полки $μ=0,2$.

17. (13) Вогон идет по закругленному радиусом $R=800$ м со скоростью $v=72$ km/ч. Расстояние между рельсом $l=1,68$ м. Определите, на сколько должен быть выше ввшенный рельс по сравнению с внутренним, чтобы вон не перевернуть?

18. (1) Внутри трубмы между точками $A$ и $B$ (рис. 2) скольствие шайба масси $m$. Определите максимальный силу давления шайбы на стенку трубки, если длина AB равна диаметру трубки. Треннее не учитывается.

19. (9) Автомобиль массой $m=1000$ кг выехал на выпуклый мост длиной $l=156$ м

53

co скорость $v_0=36$ km/ч. По месту он движется сускорением $a=1$ м/c². Определите силу давления со стороны автоматия в середине места, где радиус кривизны $R=200$ м.

20. (1) Катушка за намотанную на нее нить подвешена около вертикальной стены (рис. 3). Малый радиус катушки $r$, больший $R$, коэффициент треня между катушки и стеной $μ$. При каком направлении угле $α$ между нитью и стеной катушки не будет скольить по стене?

21. (1) Если к пружине почередно подвешивать грузы массой $m_1$ и $m_2$, то ее длина оказывается равной соответствию $l_1$ и $l_2$. Какая работа совершается при растяжении пружины от длины $l_1$ до длины $l_2$?

22. (14) Деревянный шар массой $M$ лежит на тонкой подставке. Снизу в шар попадает пуля массой $m$, летящая вертикально вверх, и пробивает его. При этом шар подскакивает на высоту $h$. На какую высоту поднимется пуля над поставкой с шаром, если ее скорость перед ударом о шар был $v$?

23. (10) Два груза массами $m_1=10$ кг и $m_2=15$ кг свободно подвешены на нитях длиной $l=2$ м так, что соприкасаются между собой. Менный груз отклонили на угол $α=60°$. Определите: а) на сколько изменилась потенциальная энергия отклоненного груза; б) на какую высоту поднимется грузы, если отклоненный груз отпустил и после удара грузы движется вместе.

24. (1) Два пластиновых шара, массы которых относится между собой, как 1:2, подвешены на одинаковых легких нитях длиной $l$. При этом шары касаются друг друга. Шары развели в противоположные стороны так, что отклонились от вертикали на угол $α$, и одновременно отпустили. Определите скорость спиншихся шаров сразу после удара. Сопротивление воздуха не учитывать.

25. (8) Электрическая лебедка, развивающая мощность $N=15$ кВт, тайнет равномерверх по наклонной плоскости тела. Определите угол наклона плоскости, если только обладает импульсом $P=5 \cdot 10^3$ кг·м/c, а коэффициент треня $μ=0,1$.

Молекулярная физика. Телловые явления

1. (14) Средняя кинетическая энергияxaотическая движения молекул при данной температуре у всех веществ одинакова. Определите относение средних скоростейxaотическая движения молекул водорода и кислорода при одной и той же температуре.

2. (8) Сосуд емкостью $V=10$ л наполнила газом при давлении $p=2 \cdot 10^5$ Pa. Какое количество воды войдет в сосуд, если под водой на глубине $h=40$ м в самом нижней части его будет сделано отверстие? Атомсферное давление $p_a=10^5$ Pa. Плотность воды $q=10^3$ кг/м³.

3. (1) В закрытом баллоне при температуре $T=300$ К и давления $p=1,1 \cdot 10^5$ Pa находится газ. При его нагревании на $\Delta T=400$ К давление газ в баллоне повышалось на $\Delta p=160$ кПа. Произошла ли диссоциация газа при нагревании? Изменением объема баллона при нагревании можно пребегнуть.

4. (14) Газ последовательно переводится из состояния 1 с температурой $T_1$ в состоянии 2 с температурой $T_2$, а затем в состоянии 3 с температурой $T_3$ и возвращается в состояние 1. Определите температуру $T_3$, если процессы изменения состояния происходит так, как это показано на рисунке 4, а температуры $T_1$ и $T_2$ известны.

5. (9) В сосуд объемом $V=10$ л, наполненный сухим воздухом при нормальных условиях (давления $p_0=1,01 \cdot 10^5$ Pa, температуре $t_0=0^\circ\text{C}$), вводят воду массой $m=3$ г и нагревают до температуры $t=100^\circ\text{C}$. Определите давление влажного воздуха в сосуд при этой температуре.

6. (1) В сосуд объемом $V=100$ л наполнила сухой воздуха при нормальном атмосферном давлении ($p_0=1,01 \cdot 10^5$ Pa). Затем в сосуд налили $m=100$ г воды и терметические закрыли его. Вся ли вода превращится в пар, если сосуд нагреть до температуры $t=100^\circ\text{C}$ и поддерживать эту температуру постоянной? Молярная масса воды $M=18 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль·К). Изменением объема сосуд при нагревании можно пребегнуть.

7. (14) В котле паровой машины температура $t_1=150^\circ\text{C}$. Температура холодильника $t_2=10^\circ\text{C}$. Какую теоретически максимальный рабочий момент выполнить машина, если в топке, коэффициент полезного действия которого $\eta=80\%$, созжено $m=200$ кг угля с удаленной теплой скоростью $q=3,1 \cdot 10^7$ Дж/кг?

8. (5) С какой скорость должна лететь свинцовая пуля, чтобы расплавиться при ударе о стенку? Температура летящей пуля $T=300$ К. Предполагается, что все количество теплоты, выделившее при ударе, пошло на плавлене пуля. Температура плавления свинца $c=100$ Дж/(кг·К), удельная тепловкость свинца $\lambda=3 \cdot 10^4$ Дж/кг.

54

9. (1) За время τ=2,0 ч автоматина прошла путь s=160 км. Двигаель при этом развил среднюю мощность N=70 кВт при коэффициенте полезного действия η=25 %. Сколько горючего сэкономил водитель за эту поездку, если норма расхода m₀=36 кг на s₀=100 км пути? Теллота сторания топлива q=4,2 · 10⁷ Дж/кг.

Основы электродинамики

1. (5) Два точных заряда находится на расстоянии l друг от друга. Если расстояние между ними уменьшится на Δl=50 см, то сила взаимодействия увеличится в 2 раза. Найдите l.

2. (9) Между пластинами плоского воздушного горизонтального расположенного конденсатора находится заряженная капелька масла массой m=10⁻⁸ г и зарядом q=10⁻¹⁵ Кл. При разности потенциалов между пластинами U=500 В и при начальной скорости v₀=0 капля проходит некоторое расстояние в два раза медленнее, чем при отсутствии электрического поля. Найдите расстояние между пластинами. Сопротивлением воздуха претензьить.

3. (8) Плюсный воздушный конденсатор зарядил до разности потенциалов U=200 В, затем отключили от источника напряжения, увеличили расстояние между обкладками в 3 раза и порузили целиком в трансформаторное масло. Определите разность потенциалов на пластинах конденсатора после погружения в масло, если диэлектрическая пропищевая масла ε=2,2.

4. (14) На дне шпрокого сосуда с жидким диэлектриком с относительной диэлектрической пропищевая масла S. Другая пластина, имеющая вид бруска высотой H и площадью S, плавает над ней в диэлектрике. На какую глубину погрузится нижняя плоскость бруска, если на пластины подать одинаковые по модулю, но противоположные по знаку заряды Q? Плотность жидкости Q₀, плотность бруска Q (Q₀>Q). Поле между пластинами считать однородным.

5. (8) Определите ЭДС источника, если при подключении к нему резистора с сопротивлением R напряжение на закимах источника U₁=10 В, а при подключении резистора с сопротивлением 5R напряжение U₂=20 В.

6. (13) Аккумулятор замкнут на неоторный проводник. В цепь включают параллельную друг другу два амператора; они показывают соответствие I₁=2 А и I₂=3 А. Затем эти амператоры включают в цепь последовательно, и они показывают I₃=4 А. Какой ток течение в цепи в отсутствие амператоров?

7. (14) Дан проводочный квадрат (рис. 5). Сопротивление стороны квадрата R=1 Ом. Контакты M и N перемещаются одновременно по сторонам AB и CD. В каких пределах изменяется сопротивление квадрата?

8. (11) Источник ток замыкается один раз проводником с сопротивлением R₁=4 Ом, а другой — R₂=9 Ом. В общих случаях количество теплоты, выделяющейся в проводнике за одно

55

17. (10) Проводник длиной $l=0,5$ м и сопротивлением $R=0,025$ Ом движется поступательно в плоскости, перпендикулярной магнитному полю с индикцией $B=5 \cdot 10^{-3}$ Тл. По проводнику течет ток $I=4$ А. Скорость движения проводника $v=0,8$ м/c. Во сколько раз мощность, затраченая на нагревание проводника, больше мощности, затраченой на его перемещение в магнитном поле?

18. (9) Оdnозарядыные коны с массовыми числами $A_1=20$ и $A_2=22$ разогняются в электрическом поле разностю потенциалов $U=4 \times 10^3$ В, затем попадают в однородное магнитное поле с индикцией $B=0,25$ Тл. перпендикулярно к магнитным линям и, описав положукружность, выпletaют двумя пучками. Определите расстояние между этими пучками.

19. (1) Оdnородное магнитное поле с индикцией $B$ создано в полосе толщиной $d$ (рис. 9). Пучок электровна направляется перпендикулярно полoce и линям вектора магнитной индикции. При каких скорости $v$ электроны не пролетят на другую сторону полосы (отразается от магнитной стены)?

20. (14) В однородном магнитном поле с индикцией $B$ расположена замкнутая катушка с диаметром $d$ и числом витков $n$. Плоскость катушки перпендикулярна к линям индикции поля. Какой заряд пройдёт по цепи катушки, если ее поверхность на $180^\circ$? Проволока, из которой намотана катушка, имеет площадь сечения $S$ и удельное сопротивление $q$.

Колебания и волны

1. (11) Материальная точка совершает гармоничное колбания согласно уравнению $x=2 \sin \left( \frac{\pi}{3} t + \frac{\pi}{4} \right)$, в котором все величины заданы в единицах СИ. Определите период колбаний. Результат представьте в единицах СИ.

2. (10) Определите длину математического магнитника, если известно, что при уменьшении длины нити на $\Delta l=5$ см частота колбаний магнитника уvelичивается в $k=1,5$ раза.

3. (5) Два магнитника одновременно начинают колбаться. За один и тот же промежуток времени первый делает $N_1=20$, а второй $N_2=10$ колбаний. Определите отношение длины этих магнитков.

4. (1) Тело, прикрепленное кружине, вывели из равновесия и отпустили, в результате чего оно совершает гармоничное колбания вдоль горизонтального стержня. Определите отношение кинетической энергии системы к ее потенциальной энергии по истечении времени $t$ после начала колбания, если их период равен $T$. Массой пружины можно преобразовать.

5. (10) На длиной нити подвешен металлический шарик массой $m=10$ г и положительным зарядом $q=1,6 \cdot 10^{-7}$ Кл. Определите: а) натяжение нити, если нить с шариком находится в однородном, направленном верхtkально вверх электрическом поле направлено $E=10^5$ В/м; 6) относение перiodов свободных колбаний, когда электрическое поле выключено и когда оно включено.

6. (10) На какую длину волны настроен приемник, если его приемный контур обладает индуктивностью $L=0,003$ Гн и емкостью $C=3 \cdot 10^{-10}$ Ф ($c=3 \cdot 10^8$ м/c)?

7. (11) Определите период свободных электромагнитных колбаний в контуре с индуктивностью $L=10$ мГн и емкостью $C=10$ мФ. Результат представьте в микросекундах и округлите до целого числа.

8. (5) Колбательный контур состоит из катушки с индуктивностью $L=0,2$ мГн и переменного конденсатора, емкость которого может изменяться от $C_1=50$ до $C_2=450$ пФ. Какой диапазон частот и длин волн можно охватить настоящий этого контур?

9. (10) Контур содержит катушки и конденсатор. Во сколько раз увеличится период собственных колбаний в контуре, если параллельно конденсатору подключит еще 3 таких же конденсатора?

Оптика

1. (11) На границу раздела двух сред с показателями преломления $n_1$ и $n_2$ ($n_1 < n_2$) падает параллельный пучок света в направлении луча 1 (рис. 10). В каком направлении (2, 3 или 4) расположается преломленный пучок света? Ответ обосновите.

2. (14) Сечение стекалянной призмы имеет форму равностороннего треугольника. Луч падает на одну из граней переменных луча падающего и луча, вышедшего из призмы. Показатель преломления стекала $n=1,5$.

3. (13) На какую максимальную глубину можно погрузить в воду точечный источник света, чтобы квадратный плот со стороны $a=4$ м не проускал света в пространство над поверхностью воды? Козффициент преломления воды $n=1,33$, центр плота находится над источником света.

4. (8) Луч света падает на грань стекалянной призмы переменной к ее поверхности и выходит из противоположной грани, отклонившись от первого начального направления на угол $a$ (рис. 11). Определите преломляющий угол призмы $\beta$, если показатель преломления стекала $n$.

5. (1) Пластика состоит из нескольких плосковых слоев различных веществ. Луч света падает из воздуха на первый слой под углом $a$. Определите угол преломления в последнем слое, если показатель преломления вещества этого слоя $n$.

6. (1) Луч света падает нормально на боковой поверхности стекалянного клина. Каким должен быть угол клина для того, чтобы луч, отразившись от второго, посербренного, повреждости клина и снова упав на его первую поверхность, испытал на ней полное отражение? Показатель преломления стекала $n$ считайте известным.

56

Рис. 12.

7. (10) Фокусное расстояние объектива проекционного аппарата $F=0,25$ м. Какое увеличение диапазита дает проекционный аппарат, если экран удален от объектива на расстояние $f=4$ м?

8. (9) Точка движется со скоростью $v_1=1$ м/с перpendикулярно главной оптической оси собирающей линии с фокусным расстоянием $F=20$ см, пересекая ось на расстоянии $d=60$ см от линии. С какой скоростью движется изображение точки?

9. (1) Предмет в виде стержня расположен вдоль главной оптической оси тонкой собирающей линии так, что его концы удалены от линии на расстояния $d_1=3/2$ F и $d_2=5/4$ F, где F — неизвестное фокусное расстояние линии. Во сколько раз длина изображения больше длины самого предмета?

10. (1) На главной оптической оси на расстоянии $d=60$ см от собирающей линии, фокусное расстояние которого $F=40$ см, расположен точный источник света. Линзу по диаметру разрезали на две половины и симметрично разведли их на расстояние $r=1$ см в направлении, перpendикулярном главной оптичкой оси.

Список читатель, приславших правильные решения

(Начало см. на с. 46)

94, 97; М. Кудряшев (Москва) 02; М. Кузин (Коломна) 99; Д. Куцулория (Тбилиси) 96; П. Линник (ст. Анапская Краснодарского кра.) 93, 95; Ю. Литвиненко (Воронеж) 96; К. Лопин (Фрунзе) 93; Д. Лунц (Саратов) 93—97, 99, 00; П. Лушинков (Москва) 93, 95—97, 01, 02, 04; О. Мазяр (Львов) 96, 02, 06; И. Маресин (Москва) 06; Г. Марченко (Саратов) 95; А. Мастыкин (Минск) 94; Ю. Махлин (Москва) 00, 02, 06; С. Машкевич (Киев) 93, 95, 96, 00—02, 06; А. Медведев (Горький) 06; В. Меньков (Мончерорск) 93—96, 99, 01, 02—04, 06, 07; А. Микальъевич (Паневежис) 94, 96, 99, 00; С. Минев (Свердловск) 93—95; Т. Мисирпашев (Москва) 99, 00, 02, 07; А. Михеев (Москва) 93, 96, 97; В. Моравецкий (Киев) 99, 06; О. Мороз (Алма-Ата) 02; А. Муравьева (Брест) 99; С. Магчилов (Одеска) 93—03, 06, 07; А. Недачин (Киев) 99; С. Никоненко (Киев) 93, 95, 97, 99, 02, 06; С. Оданесян (Баку) 04; Н. Овчаренко (Киев) 04, 06; Е. Одногорова (Винница) 01; А. Онуфриев (Москва) 93, 00, 02, 06; О. Осауленко (Киев) 93, 95, 99, 00, 04; С. Павлик (Ужгород) 93; Р. Паламарук (Нежин) 96, 06; А. Паныце (Магадан) 06; В. Парканский (КИшинев) 93, 94; Д. Пастухов (Витебск) 93, 96, 97, 99, 01, 02; А. Перепелчий (Владимир-Вольнский) 96, 06; С. Пучихин (Москва) 95; О. Посуднеский (Береза) 06; В. Прыбитков (Находка) 06; А. Приходовский (Береза) 06; С. Рахамов (Казань) 95—02; Р. Ривкин (Минск) 02, 07; А. Ростов (Винница) 96, 02, 04; С. Рося (Минск) 99, 00, 07; М. Рудик (Винница) 93, 02; Ю. Рыбалочка (Киев) 96, 99, 01, 02, 04, 06; М. Савченко (Белгород) 95, 96, 99, 00, 02; Т. Сазайдак (Канев) 94, 95, 04; В. Сакбаев (Алма-Ата) 96, 06, 07; В. Самойлов (Киев) 96, 97, 99, 02; В. Сандомирский (Вратск) 99, 06; А. Сиваченко (Москва) 06; М. Скоробозаток (Киев) 93, 95—97, 99, 00, 02—04, 06, 07; С. Собесский (Новосибирск) 95, 99; А. Сомов (Киев) 93; Г. Спивак (Киев) 93, 94, 96, 02; С. Стеланянц (Ереван) 93, 97, 02, 04; И. Струловциков (Киев) 93, 96; В. Сулейманов (Баку) 93—97; Р. Суник (Киев) 93; В. Тартаковский (Киев) 93, 95—97, 99, 00, 02, 06; И. Терез (Симфероволь) 93, 94, 96, 97, 99, 00, 02; П. Трусевчий (Сердобск) 96; С. Тужанский (Винница) 99, 02, А. Тюрин (Иколаев) 02; Д. Уллов (Геленджик) 96; Е. и Т. УкLISTые (Астрахань) 96; Р. Ульмасов (Душанбе) 93; М. Уманский (Москва) 95; А. Умов (Миасс) 93, 96, 00; Н. Федин (Омск) 93, 94, 96, 97, 99—02, 04, 06, 07; Л. Федичкин (Москва) 93—95, 00, 02, 04, 06, 07; С. Феранчук (Минск) 94, 96, 97, 99, 00, 02; С. Ферлеер (Ташкент) 99, 00, 02; А. Фокин (Москва) 93; В. Фурман (Ташкент) 93—02, 06, 07; А. Цирс (Апатиты) 93, 95—02; С. Черныше (Ташкент) 06; Г. Швец (Киев) 93, 96, 00, 04, 06; Д. Шкловский (Ленинград) 06; П. Шмудт (Анджан) 00, 01; О. Яковлеев (Иркутск) 93—02; А. Ястребов (Кировоград) 06.

59

22. $H = \frac{(v - M \sqrt{2gh})^2}{2g}$.
23. a) $\Delta E_p = m_1 g l (1 - \cos \alpha) = 100$ Дж; 6) $H = l m_1^2 (1 - \cos \alpha) / (m_1 + m_2)^2 = 0,16$ м.
24. $v = \sqrt{2g l (1 - \cos \alpha) / 3}$.
25. $\alpha_1 = 12^\circ; \alpha_2 = 24^\circ$.

Молекулярная физика. Тепловые явления

1. $v_B / v_K = \sqrt{M_K / M_B} = 4$.
2. $m = \rho V \left(1 - \frac{p}{p_a + \rho gh}\right) = 6$ кг.
3. Да, диссоциация производства.
4. $T_3 = T_2^2 / T_1$.
5. $p = p_0 \frac{T}{T_0} + \frac{m R T}{M V} \approx 1,89 \cdot 10^5$ Па.
6. Нет, не все воды превращаются в пар.
7. $A = \eta m q (1 - T_2 / T_1) \approx 1,6 \cdot 10^9$ Дж.
8. $v = \sqrt{2 (c (T_\pi - T) + \lambda)} \approx 346$ м/c.
9. $\Delta m = m_0 \frac{s}{s_0} - \frac{N \tau}{q \eta / 100\%} = 9,6$ кг.

Основы электродинамики

1. $l = \Delta l (2 + \sqrt{2}) \approx 170$ см=1,7 м.
2. $d = 4q U / (3mg) \approx 7 \cdot 10^{-3}$ м=7 мм.
3. $U' = 3U / \varepsilon \approx 273$ В.
4. $h = H \frac{\rho}{\rho_0} + \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 \varepsilon S^2 \rho_0 g}$.
5. $\mathcal{E} = \frac{4 U_1 U_2}{5 U_1 - U_2} \approx 27$ В.
6. $I = \frac{I_3 (I_1^2 + I_2 I_2 + I_2^2)}{I_3 (I_1 + I_2) - I_1 I_2} \approx 5,4$ А.
7. $0,75 R \leqslant R_{\text{KB}} \leqslant R$.
8. $r = \sqrt{R_1 R_2} = 6$ Ом.
9. $\eta = 1 - r I / \mathcal{E}$; см. рис. 8.
10. $P' = P_1 (P - P_1) / P$.
11. a) $Q = I^2 R \tau = 24 000$ Дж=24 кДж;
12. $k = 1 + Q / (cm T) = 1,4$.
13. $\mathcal{E} = \frac{q^2 I_0}{C (q I_0 - PC)} \approx 51,1$ В.
14. Введение с более высоким значением электромического эквивалентства соответствует график 1 (см. рис. 8 в статье).
15. $A = 2 U v F / (RT) \approx 1,5 \cdot 10^5$ Дж (здеся F=96 500 Кл/mоль — постоянная Фарадей, R=8,31 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная).
16. $\frac{e}{m} = \frac{2 U}{B^2 R^2} = 1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг.
17. $\frac{N_1}{N_2} = \frac{I R}{l B v} = 50$.
18. $x = \frac{2 \sqrt{2}}{B} \sqrt{\frac{m_0 U}{e}} (\sqrt{A_2} - \sqrt{A_1}) \approx 16 \cdot 10^{-3}$ м=16 мм (здеся $m_0 = 1,67 \times 10^{-27}$ кг — atomная единица массы, $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл — заряд одновалентного иона).
19. $v \leqslant e B d / m$.
20. $q = B d S / (2 \rho)$.

Колебания и волны

1. $T = 6$ с.
2. $l = \Delta l \frac{k^2}{k^2 - 1} = 9 \cdot 10^{-2}$ м=9 см.
3. $l_2 / l_1 = (N_1 / N_2)^2 = 4$.
4. $\frac{E_k}{E_p} = t g^2 \left(\frac{2 \pi}{T} t\right)$.
5. a) $T = m g - q E = 8,1 \cdot 10^{-2}$ Н;
6. $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{1 - \frac{q E}{m g}} = 0,9$.
7. $\lambda = 2 \pi c \sqrt{LC} \approx 1,8 \cdot 10^3$ м.
8. $T = 2 \pi \sqrt{LC} \approx 63$ мкс.
9. $v_1 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \approx 5 \cdot 10^7$ Гц; $v_2 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \approx 1,7 \cdot 10^7$ Гц; $\lambda_1 = \frac{c}{v_1} \approx 6$ м; $\lambda_2 = \frac{c}{v_2} \approx 18$ м.
10. $T_2 / T_1 = \sqrt{C_2 / C_1} = 2$.

Оптика

1. Согласно закону преломления света, преломленный луч распространяется в направлении 4 (см. рис. 10 в статье).
2. $\varphi = 60^\circ$.
3. $h = \alpha \sqrt{n^2 - 1} / 2 \approx 1,7$ м.
4. $\beta = \arctg \left(\frac{\sin \alpha}{n - \cos \alpha}\right)$.
5. $\beta = \arcsin \left(\frac{\sin \alpha}{n}\right)$.
6. $\frac{\pi}{4} \geqslant \varphi \geqslant \frac{1}{2} \arcsin \left(\frac{1}{n}\right)$.
7. $\Gamma = f / F - 1 = 15$.
8. $v_2 = v_1 F / (d - F) = 0,5$ м/c.
9. $l' / l = 8$.
10. $l = \frac{dr}{d - F} = 3$ см.
11. $x = \frac{d_0 (F + l) - l^2}{d_0 - l + F} \approx 6,8$ см; $\Gamma = \frac{d_0}{x - l} \approx 14$.
12. $h = \frac{E_k}{v - v_{\min}} = \frac{9,9 \cdot 10^{-20} \text{Дж}}{1,5 \cdot 10^{14} \text{Гц}} = 6,6 \cdot 10^{-34} \text{Дж} \cdot \text{с}; A = h v_{\min} \approx 4 \cdot 10^{-19} \text{Дж}$.
13. $d = (W_1 - W_2 - A) / (e E) = 9,2 \cdot 10^{-3}$ м=9,2 мм.
14. $P = \frac{\eta W_0 m N_A}{M t} \approx 52$ MBт (здеся $M = 235 \cdot 10^{-3}$ кг/mоль — молярная масса урана, $t = 1$ сутт=24·60·60 с).
    С помощью обратной функции
    (см. «Квант» № 5)
15. a) $x \cdot \arcsin x + \sqrt{1 - x^2}$; 6) $x \cdot \ln x - x$.
16. a) $\frac{1}{2} [x^2 + x \sqrt{x^2 - 1} - \ln (\sqrt{x^2 - 1} + x)]$;

6. $\frac{1}{2} [x \sqrt{x^2 - 1} - \ln (\sqrt{x^2 - 1} + x)]$.

7. a) $\pi - 1$; 6) $\frac{\pi}{4}$; b) $3 \ln 2 - \frac{3}{2}$; r) $\sqrt{2} + \frac{1}{2} \ln (3 - 2 \sqrt{2})$.
8. yказание. $\frac{y^2}{1 - y^2} = \frac{1}{2(1 + y)} + \frac{1}{2(1 - y)} - 1$.

60

Избранные школьные задачи
(см. «Квант» № 5)

1. 1−1/2+1/3−1/4+…+1/99−1/100=1+1/2+1/3+…+1/100−2(1/2+1/4+1/6+…
   …+1/100)=1+1/2+1/3+…+1/100−(1+1/2+1/3+…+1/50)=1/51+1/52+…
   …+1/100.

2. a) 69999. Решение. Пусть число $a$, имеющее сумму цифр $k$, оказывается в точности $n$ девятками ($n=0, 1, 2, ...$). Тогда сумма цифр числа $a+1$ равна $k+1-9n$.
   Поэтому $9n-1$ должно делиться на 7. Найменшее такое $n$ равно 4. Далее, подбором находим ответ. 6) Среди 13 последовательных натуральных чисел $a$ как минимум 7 принадлежат одному и тому же десятику, суммы их цифр — семь последовательных натуральных чисел, поэтому одна из них делится на 7. Число 13 в условиях задачи нельзя менить меншим: среди 12 чисел 994, 995, …, 1005 нет ни одного с суммой цифр, делшейся на 7.

3. S/30. Решение. Проведем $MN \parallel AC$ (рис. 9).
   Тогда $MN=\frac{1}{2}LC$. С другой стороны, треугольники $AKL$ и $MKN$ подобны, откуда $AL/MN=AK/MK=1/2$. Следовательно, $AL=MN/2=CL/4$, то есть $AL=AC/5$. Далее, $S_{AMC}=\frac{1}{2}S$, $S_{AKC}=S_{AMC}/3=S/6$, наконец, $S_{AKL}=S_{AKC}/5=S/30$.

4. $x=y=z=1$ или $x=y=z=-1$. Решение. Вычитая из первого уравнения второе, получим
   $$x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0,$$
   откуда $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$, но это означает, что $x=y=z$.

5. Пусть требуется треугольник $ABC$ построен, $A'$ и $A''$ — точки, симметричные точки $A$ относительно сторона угла (рис. 10). Поскольку $A'B=AB$, $A''C=AC$, перметр треугольника $ABC$ равен длине ломаной $A'BCA''$. Позному перметр будет наименьшим в том случае, когда $B$ и $C$ — точки пересечения $A'A''$ со стороны угла (рис. 11).

6. Разложим $x^3+y^3+z^3-3xyz$ на множители, одним из которых оказывается $x+y+z$. Имеем: $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)=(x+y+z)((x+y)^2-(x+y)z+z^2)+(x+y)^2-3xy)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$.

7. $2\sqrt{m_1^2+m_2^2}/3$. Решение. Площадь четырехугольника $ABMN$ (рис. 12) равна $\frac{1}{2}m_1m_2\sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между диагонали $AM$ и $BN$ этого четырехугольника. С другой стороны, $S_{ABMN}=S_{ABC}-S_{NMC}=\frac{3}{4}S_{ABC}$, поэтому $S_{ABC}=4S_{ABMN}/3=2m_1m_2\sin \alpha/3$.

Из условия следует, что $\sin \alpha=1$. Следовательно, медианы $AM$ и $BN$ перpendикулярины. Осталось применить теорему Пифагора к треугольнику.

8. $2^{2800}>3^{3500}$. Решение. Поскольку достаточно доказать, что $2^{799}>3^{500}$, то есть неравенство $2^{800}/3^{500}>2$. Имеем: $2^{800}/3^{500}=(256/243)^{100}=(1+13/243)^{100}$. Воспользуемся теорем неравенством $(1+\alpha)^2\geq1+2\alpha$, верным для любого $\alpha$. Получим $(1+13/243)^{100} \geq(1+26/243)^{50} \geq(1+52/243)^{25} >(1+52/243)^{24} \geq(1+104/243)^{12} \geq(1+208/243)^{6} \geq(1+416/243)^{3} >2^3>2$.

60

61

нить числа $a_{1n\beta}$ и $\beta_{1n\alpha}$. Расстояние функции $y=\ln x/x$ и построим ее график (рис. 14). Эта функция возвращает на $]0; e]$ и убывает на $[e, +\infty[$. Поскольку $e>1,0002>1,0001$, получаем, что $\ln 1,0002/1,0002>\ln 1,0001/1,0001$, и поэтому $1,0002^{1,0001}>1,0001^{1,0002}$. Так как $\pi>e$, получаем, что $\ln \pi/\pi<\ln e/e$, и поэтому $e^{\pi}>\pi^{e}$.

13. $v/16$. Решение. Из равенства плоскей треугольников $ABD$ и $BCD$ следует, что $|AO|=|OC|$, где $O$ — точка пересечения диагонали четырехугольника $ABCD$ (рис. 15). Отрезки $OP$ и $QN$ — средние линии треугольников $ASC$ и $ASD$, поэтому они параллельны прямой $AS$. Следовательно, прямые $OP$ и $QN$ параллельны и, значит, $(OP)$ параллельна плоскости $MQN$. Отсюда вытекает, что треугольники $MNQP$ и $MNQO$ равновелики (у них общее основание $MNQ$, а длины высот равны, так как точки $P$ и $O$ одинаково удалены от плоскости $MNQ$). Вычислим теперь объем треугольника $MNQO$. В основании этого треугольника $MON$, образованный средними линяями треугольника $ABD$. Площадь его равна $S_{ABD}/4=S_{ABCD}/8$. Расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABCD$ равно половине высоты прямых $SABCD$. Плотому $V_{MNOQ}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{8}V_{SABCD}=V/16$.

14. Нет. Доказательство. Пусть $3=aq^k$, $5=aq^l$, $7=aq^m$, где $k<l<m$. Тогда $q^{k-l}=3/5$; $q^{k-m}=3/7$, откуда $(3/5)^{k-m}=(3/7)^{k-l}$, то есть $7^{l-k}=3^{m-l}\cdot5^{m-k}$. Полученное равенство невозможно при натуральных $k, l, m$, так как его левая часть делится на 7, а правая — нет.

15. Пусть $ABCD$ — данный четырехугольник (рис. 16). Из условия следует, что

$$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{0},$$

$$\vec{a}^2+\vec{b}^2+\vec{c}^2+\vec{d}^2=\vec{e}^2+\vec{f}^2.$$

Так как $\vec{e}=\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{f}=\vec{b}+\vec{c}$, получаем из (2), что $\vec{a}^2+\vec{b}^2+\vec{c}^2+\vec{d}^2=(\vec{a}+\vec{b})^2+(\vec{b}+\vec{c})^2$, откуда $\vec{d}^2=2\vec{b}(\vec{a}+\vec{c})+\vec{b}^2$. Заменяя $\vec{a}+\vec{c}$ на $-(\vec{b}+\vec{d})$ (из равенства (1)), получим $\vec{d}^2=-2\vec{b}\vec{d}-\vec{b}^2$, то есть $\vec{d}^2+2\vec{b}\vec{d}+\vec{b}^2=(\vec{b}+\vec{d})^2=0$. Следовательно, $\vec{b}=-\vec{d}$, но это и означает, что $ABCD$ — параллелограмм.

Бег по кругу и длиной рассказ (см. «Квант» №2)

Задания

1. Ответ: 20 лет. Решение. Прежде всего, ясно, что популячик родился в XX веке (сумма цифр любого номера года не больше чем $1+9+9+9=28$). Пусть $x$ и $y$ — последние две цифры года его рождения. Из условия следует, что 1984—19xy=1984-(1900+10x+y)=1+9+x+y. Поэтому $11x+2y=74$. Поскольку $x$ и $y$ — цифры, причем $x$ — четно, получаем $x=6, y=4$. Итак, популячик родился в 1964 году и ему исполлилось 20 лет.

2. Ответ. Найдуться. Указание. Пусть $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5<x_6<x_7$ — возрасты данных 7 людей, причем $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=x=100$. Предположим, что сумма возрастов любых трех из них не больше 49. Тогда $x_5+x_6+x_7\leq x_5+x_5+1+x_5+2\leq 49$. Позному $3x_5<46$, то есть $x_5\leq 15$. Отсюда следует, что $x_4\leq 14$, но тогда $x_1\leq 11$, $x_2\leq 12$, $x_3\leq 13$. Позному $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6\leq 11+12+13+14+49=99<100$.

3. Ответ. Эду 2 года, Мыши 12 лет, Дodo — 72 года. Указание. Пусть отношение возрастов Мыши и Эда равно $k$, а $x$ — возраст Эда. Из условия следует, что $k^2+x+kx=84$. Считая $k$ целым числом и предполагается, что возрасты тоже выражаются целыми числами, получим, что 84 делится на $x$. Перебирая делители числа 84, находим, что $x=2$, откуда $k=6$.

4. Ответ: $1\cdot2\cdot3\cdot\dots(n-1)=(n-1)!$, где $n$ — число участников бета. Пусть всего участников бета $n$-пега и $n$-заменает какое-нибудь место (все равно какое). На круге остается $n-1$ место. Первого из участников он может поставить на любое из оставшихся $n-1$ мест, второго на оставшиеся $n-2$ мест и т. д. Всего способов, таким образом, $(n-1)(n-2)\dots1$.

5. Скорее 60 000 мыщек съедят кошку!

6. Ответ: $\frac{a}{v}$. Указание. Из сообщений симметриями ясно, что в каждой момент времени участники бета будут находиться в вершинах квадрата меньше размеров, чем исходный (см. рис. 17), как-то повернуть по отношению к исходному. Позному движению каждого берега можно представить себе так: он безит по диагонали большого квадрата к его центру, а квадрат врачается вокруг центра. Скорость каждого из бегов в любой момент времени направлена по стороне меньшего квадрата. Позому вдоль диагонали бегун движется со скоростью $v/\sqrt{2}$. Отсюда следует, что в точке $O$ все бегуны оказываются время $t=$

$$\frac{a/\sqrt{2}}{v/\sqrt{2}}=\frac{a}{v}.$$

63

$S'A'B'C'$ и $T_A$ по треугольнику ASM, $A'S'M'$ и $AA_1N$. Поскольку $NH:HM = NH:H'M' = S'H:S'H' = x$ (отрезки $HM$ и $H'M'$ симметрины относительно $O$, $\triangle S'HN \sim \triangle S'H'M'$), а $AH:HM = 2$ (Н — центр правильно треугольника $ABC$),

$$y = \frac{AN}{AM} = \frac{AH-NH}{AM} = \frac{2-x}{3}.$$

Пересечение примыды $SABC$ с $S'A'B'C'$ можно получить, отрезая от нее треугольры $T_S$, $T_A$, $T_B$ и $T_C$. Пользоваться этим мы и будем вычислять его объем; надо только учеть, что треугольры могут пересечаться друг с другом.

Рассмотрим, например, треугольры $T_S$ и $T_A$. Они пересекаются тогда и только тогда, когда пересекаются их соответствующие ребра $SS_1$ и $AA_1$ (рисунки 20 и 21), то есть когда выполено неравенство $SA \leq SS_1 + AA_1 = xSA + ySA$

или $x + y \geq 1$; подставляя сюда $y = (2-x)/3$, получим $x \geq 1/2$. При этом условии пересечение треугольров $T_S$ и $T_A$ само является треугольром, готовичным данной примыде $SABC$ с коэффициентом $S_1A_1/SA = x + y - 1 = (2x - 1)/3$. То же самое, оченьindo справедливо и для пересечений треугольра $T_S$ с $T_B$ и $T_C$. Аналогично, при $2y \geq 1$, то есть при $x \leq 1/2$ пересечаются друг с другой треугольры $T_A$, $T_B$ и $T_C$. Их попарные пересечения — это треугольры, готовичные $SABC$ с коэффициентом $2y - 1 = (1 - 2x)/3$. Все три треугольра при $x > 0$ общих точек не имеют, а при $x = 0$ такая точка одна — точка $H$.

Теперь можно выписать выражение для объема $v(x)$

Пересечения примыды $SABC$ и $S'A'B'C'$. Объем примыды $SABC$ применен за 1, тогда объемы примыд $T_A$, $T_B$ и $T_C$ равны $(2-x)^3/27$, примыды $T_S - x^3$, пересечений $T_S$ с остальных примыдами $(2x - 1)^3/27$, попарных пересечений $T_A$, $T_B$ и $T_C$ $(1 - 2x)^3/27$. Отсюда получаем, что

$$v(x) = v_1(x) = 1 - x^3 - \frac{1}{9}(2-x)^3 + \frac{1}{9}(1 - 2x)^3$$

при $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$,

$$v(x) = v_2(x) = 1 - x^3 - \frac{1}{9}(2-x)^3 + \frac{1}{9}(2x - 1)^3$$

при $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$

(из объема всех примыды мы вычитаем объемы треугольров $T_S$, $T_A$, $T_B$, $T_C$ и добавляем к этой разности объемы их попарных пересечений, так как каждый из

«Квант» для младших школьников

(cm. «Квант» № 4)

1. Нет. Пусть при делении трехзначного числа на 11 получается число 10а+b. Если $a+b$ меньше 10, то цифрами нашего числа будут $a$, $a+b$ и $b$, что противочеит убыванию цифр, так как $a+b$ не меньше $a$, а если $a+b$ больше 10, то цифрами будут $a+1$, $a+b-10$ и $b$, что противочеит убыванию цифр, так как $a+b-10$ меньше $b$.

2. Налитер, числа 2, 6 и 5.

3. См. рис. 22.

4. Из первого рисунка следует что сверху лежа либо красная, либо коричневая tetradь. А тогда из второго — что сверху лежа коричневая tetradь. Зная, что сверху лежа коричневая tetradь, из первого рисунка получаем, что второй могла быть красная или синяя tetradь, а из второго — что его могла только красная или желтая. Отсюда следует, что второй рисунка следует, что третьей лежа желтая tetradь, четвертой — серая и пятой — синия tetradь.

Puc. 20.

Пересечения примыды $SABC$ и $S'A'B'C'$. Объем примыды $SABC$ применен за 1, тогда объемы примыд $T_A$, $T_B$ и $T_C$ равны $(2-x)^3/27$, примыды $T_S - x^3$, пересечений $T_S$ с остальных примыдами $(2x - 1)^3/27$, попарных пересечений $T_A$, $T_B$ и $T_C$ $(1 - 2x)^3/27$.

Эти объемов вычитались дважды). Тепер obtается найти произвольные:

$$v'_1(x) = -3x^2 + \frac{1}{3}(2-x)^2 - \frac{2}{3}(1-2x)^2,$$

$$v'_2(x) = -3x^2 + \frac{1}{3}(2-x)^2 + \frac{2}{3}(1-2x)^2,$$

убедиться, что $v'_1(x) \geq 0$ при $0 \leq x \leq 1/2$ и $v'_2(x) \leq 0$ при $1/2 \leq x \leq 1$ (причем $v'_1(1/2) = v'_2(1/2) = 0$) и вывести отсюда, что функция $v(x)$ возвращает на отрезке [0; 1/2] и убывает на отрезке [1/2; 1], следовательно, достигает наиболее значения $v(1/2) = 1/2$. Поскольку $OH=OH' = \frac{1-x}{2}SH$, получаем ответ: объем расматриваемого пересечения примыд достигает наиболее значения, когда точка $O$ делит высоту примыды в отношении $SO:OH=3$ (случай 3 на обложке).

B. Н.

64

5. Провода гудят из-за того, что они колеблются под действием даже небольшего ветра как большие струпы.

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 5)

1. Из того, что 10a+b делится на a, следует, что b делится на a. А из делимости этого числа на b следует, что либо a делится на b, либо 2a делится на b, либо 5a делится на b. В первом случае a=b, что дает числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, во втором — это числа 12, 24, 36 и 48, а в третьем — число 15.

2. Юра — москвич, Толя — горьковчинин, Алеша — сверловчанин, Коля — пермяк, Витя — ленинградец.

3. Пусть первые две цифры образуют двухначное число x, а вторые — двухначное число y, тогда по условию 100x+y=x²+2x√y+y. Отсюда x=100-2√y. Четырехначное число 100x+y тем меньше, чем меньше x, а из выражения x через y следует, что x минимально, когда y=81 — максимальное двухначному числу, являющееся полным квадратом. Отсюда искомое число — 8281.

4. Если бы весь фlakон равномерно нагрелся, то все его части равномерно расширились бы. Но стекло — плоской проводик телла. Поэтому пробка нагреется меньше, чем горячшко, следовательно, она и расшириется меньше, в результате чего возникнет зазор между ней и горячшком фlakона.

5. а) 264:12=22 или 264:22=12; 6) 390:13=30; в) 288=2·12²; г) 10·1-9=1; д) 100·1-99=1; e) 99+99=198; ж) 11·91=1001; з) 11·1=9+2.

Шахматная страница
(см. «Квант» № 3)

Обе заданчи-minиторы (на доске 7 фигур) принадлежат класску советской шахматной композиции Л. Куббелю.

Задание 5. 1. Фа2! Кр:a8 2. c8Ф×, 1… Кс8 2. d8К×!, 1… Крс6 2. Фd5×, 1… Кс6(b5) 2. c8Ф×.

Задание 6. 1. Фе3! Кра4(b4) 2. Фb3×, 1… Крс4(a5—a4) 2. Ф:c5×, 1… c4 2. Фe8×!

Главный редактор — академик Ю. А. Осипян
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров
Заместители главного редактора: Л. Г. Асламазов, А. А. Леонович, В. А. Лешковцев, Ю. П. Солловев

Редакционная коллекция: М. И. Башмаков, В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, Н. В. Васильев, С. М. Воронин, В. В. Гнеденко, В. Л. Гутенхахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, А. И. Климанов, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, Е. М. Никшин, С. П. Новиков, М. К. Потапов, В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов, А. П. Савин, Я. А. Смородинский, А. В. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет: А. М. Балдин, С. Т. Белев, В. В. Буховцев, Е. П. Великов, И. Я. Верченko, В. В. Возвяженский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Erмолаева, А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, Л. В. Канторович, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патриkeeва, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовили:
А. Н. Виленкин, В. Н. Дубровский, А. А. Егоров,
В. М. Ивлев, Т. С. Петрова, А. В. Сосинский,
В. А. Тихомирова

Номер оформили:
Ю. М. Аратовский, Е. В. Винодарова, М. В. Дубах, Т. Н. Кольченко, А. Я. Коршунов, Д. А. Крымов, В. Ф. Лактонов, П. П. Лахтунов, Н. Л. Лилье, Ю. П. Мартиненко, Ю. Н. Сафонов, И. Е. Смирнова, Е. К. Тенчурина, П. Э. Чудновский
Фото представили
Л. В. Мелихов, Л. Д. Шварц

Заведующая редакция Л. В. Чернова

Редактор отдела художественного оформления
Э. А. Смирнов

Художественные редакторы Т. М. Макарова, Е. В. Морозова

Корректор Н. В. Румянцева

103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, •Квант•.
тел. 250-33-54

Сдано в набор 17.04.85. Подписано к печати 20.05.85.
Печать офсетная. Усл. кр.-отт. 23,8.
Вумага 70×108 1/16
Усл. печ. л. 5,6. Уч.-изд. л. 7,52. Т-12303.
Тираж 179254 экз. Цена 40 коп. Заказ 1001

Ордена Трудового Красного Знамени
Чеховский полигraphический комбинат
ВО •Соозоплографром•
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полигraphии и книжной торговли
г. Чехов Московской области