Геометрический вывод косинуса суммы

57

Физика

Дипломы I степени

по 8 классам получили
Мазуренко А. (Минск, с.ш. № 50),
Медведев М. (Горький, с.ш. № 40),
Пушкин А. (Москва, с.ш. № 57),
Садайдак Р. (Черкасская обл., Матусовская с.ш. № 1);

по 9 классам —
Велиц А. (Гомель, с.ш. № 24),
Вобылев С. (Березники, с.ш. № 9),
Вудько Д. (Белгород, с.ш. № 3),
Карклин П. (Москва, с.ш. № 47);

по 10 классам —
Волков О. (Горький, с.ш. № 23),
Гуцин А. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ).

Дипломы II степени

по 8 классам получили
Княшко К. (Коммунарск, с.ш. № 6),
Леготин В. (Курган, с.ш. № 48),
Малкин А. (Ленинград, с.ш. № 30),
Михайловский Н. (Краснойрск, с.ш. № 20),
Сибирков А. (Томск, с.ш. № 3),
Степанов С. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ),
Тодошенко И. (Пермь, с.ш. № 16);

по 9 классам —
Анисимов А. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ),
Вибиков А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Винкляс Г. (Вильнюс, с.ш. № 45),
Глушенков Д. (Ленинград, с.ш. № 239),
Гольдиан А. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ),
Карасев Д. (п. Тучково Московской обл., с.ш. № 1),
Третьяков Г. (Новгород, с.ш. № 21),
Штета В. (Чугуев, с.ш. № 1),
Янович А. (Челябинск, с.ш. № 32);

по 10 классам —
Белопольский А. (Киев, с.ш. № 145),
Боровский Ю. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ),
Вулатов О. (Ставрополь, с.ш. № 1),
Гезжна Г. (Вильнюс, с.ш. № 7),

Карповец Э. (Рига, с.ш. № 9),
Лебедев Д. (Гатчина, с.ш. № 3),
Матыцин А. (Москва, с.ш. № 91),
Мядцилов С. (Одесса, с.ш. № 16),
Николашвили Г. (Тбилиси, ФМШ им. Комарова),
Свердлов М. (Минск, с.ш. № 50),
Тотров М. (Ленинград, с.ш. № 30),
Эрд Ю. (Таллин, с.ш. № 1).

Дипломы III степени

по 8 классам получили
Белоусов С. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Билбин А. (Борович, с.ш. № 1),
Головин Д. (Тамбов, с.ш. № 29),
Езерский А. (Минск, с.ш. № 50),
Журков В. (Магадан, с.ш. № 1),
Клярамез М. (Пiarну, с.ш. № 1),
Сазонов С. (Климовск, с.ш. № 5);

по 9 классам —
Васильев Ю. (Ангарск, с.ш. № 10),
Ефремов Д. (Баку, с.ш. № 6),
Ивашкевич Е. (Прокопьевск, с.ш. № 72),
Комаров О. (Алма-Ата, РФМШ),
Курзенков А. (Ковров, с.ш. № 1),
Наяков Ю. (Саратов, с.ш. № 13),
Пидарев А. (Улан-Уде, с.ш. № 9),
Розенберг А. (Уфа, с.ш. № 91),
Сизоненко Ю. (Львов, с.ш. № 4),
Степурин В. (Винница, с.ш. № 17),
Терпуров В. (Томск, с.ш. № 150),
Шербаков А. (Обнинск, с.ш. № 10);

по 10 классам —
Бакарян Т. (Ереван, ФМШ № 1 при Ер. ГУ),
Ведов К. (Челябинск, с.ш. № 138),
Жариков А. (Киев, с.ш. № 157),
Зиндерман В. (Самарканд, с.ш. № 51),
Иртегов Д. (Иркутск, с.ш. № 19),
Калачкий В. (Солигорск, с.ш. № 2),
Кларк П. (Тула, с.ш. № 36),
Курачев А. (Новосибирск, с.ш. № 9),
Никитин И. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Сенаторов П. (Москва, с.ш. № 52),
Чернышев А. (Кимры, с.ш. № 1).

Геометрический выбор формулы косинуса суммы

Чтобы найти выражение для косинуса суммы углов а и β, где α+β<180°, поступим следующим образом. Рассмотрим треугольник ABC, где А=α, B=β, C=γ=180°-(α+β). По теореме косинусов
$$c^2+a^2+b^2-2ab\cos\gamma.$$ (1)

По теореме синусов
$$c=2R\sin\gamma, a=2R\sin\alpha, b=2R\sin\beta,$$
где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Подставляя эти выражения в (1) и деля на 4R², получим
$$\sin^2\gamma=\sin^2\alpha+\sin^2\beta-2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$$
Заменив $\sin^2\gamma$ на 1−$\cos^2\gamma$, получим квадратное уравнение относительно cos γ. Решая его, находим
$$\cos\gamma=\sin\alpha\sin\beta$$
Выпоминая, что $\gamma=180^\circ-(α+β)$, то есть cos γ = −cos (α+β), мы получаем
$$\cos (α+β)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$
Второй корень (знак +) — построенный (подумайте, почему), и мы получили формулу косинуса суммы.

Г. Г. Самедов