Эффект Холла: год 1879 — год 1980

13

Нобелевская premя по физике в 1985 году была присуждена ученому из ФРГ профессору Клаусу фон Клитицну за цикл работ по физике полупроводников. Основным результатом этих работ было открытие квантового эфекта Холла — эфекта, в котором оказались «замешаными» классический эфект Холла, известный ужесто лет, квантовые законы поведения электронных систем, формирование в середине XX века, необученные свойства «двумерных» структур, впервые обнаруженные в 1966 году, и МОП-траницICTоры, создание которых относится к патидесятым годам. Открытие К. фон Клитицга заинтересовало физков самых различных специалностей, поскольку оно открыло новые возможности измеренияFundamentals константы и создания нового эталона сопротивления.

В чем суть этого открытия? Чтоы понять это, научем с открытия столейдневности.

Классический эфект Холла

В 1879 году американский физик Эдвин Холл обнаружил, что если проводник с током помещить в магнитное поле, перpendикулярное току, то в проводнике возникнет электростатическое поле, направленное перpendикулярно магнитному полю и току (рисунок 1).

Напряжение этого поля мы можем рассчитать. Ток в проводнике — это направление движения электровов. Величина тока и средняя скорость этого движения связаны соотношение $v = I/(nes)$, где $n$ — концентрация электронов в проводнике, $e$ — заряд электрона, $s$ — площадь сечения проводника. Поместим прямогольный образец, по которой течет ток $I$, в магнитное поле с индукцией $B$ (см. рисунок 1). На движущиеся электроны со стороны магнитного поля действует сила Лоренца $F = evB$, направленная perpendикулярно $\vec{v}$ и $\vec{B}$.

В результате действия этой силы электроны будут смешаться к боковой грани образца, так что на одной из граней возникнет избыток электронов, а на другой — недостаток. Это приводит к возникновению электростатического поля, перpendикулярного току, — его называют полем Холла. Перемещение электронов поперек тока прекратиется, как только сила, действующая на электрон со стороны поля Холла, сравняется с силой Лоренца: $E_X e = evB$, откуда $E_X = vB$, или

$$E_X = \frac{IB}{nes}.$$

Холловское поле создает на гранах проводника разность потенциалов, равную

$$U_X = E_X b = \frac{IBb}{nes} = \frac{IB}{nea},$$

где $b$ — ширина проводника, $a$ — его толщина. Эту разность потенциалов на гранах можно неисредственно изменять в экспериментах, и также изменяется до очень важные сведения о количестве электронов в единице объема проводника, так как относение напряжения Холла $U_X$ к току $I$, пропускаемому через проводник, как следует из приведенных расчётов, зависит от $n$. Это относение объясняется направлением perpendикулярно магнитному полю и току (рисунок 1).

Как видно из формулы (1), $R_X$ пропорционально индукции магнитного

14

поля $B$ и обратно пропорционально концентрации электронов $n$.

Наличие магнитного поля сказывается и на общном сопротивлении проводника (на сопротивлении протекающей току) — оно, как правило, увеличивается.

Качественное это можно посящить следующим образом. Причиной электрического сопротивления является рассеяние электронов на прейстствиях, встречающся на их пути, — на примесях, на дефектах кристаллической решетки и т. д. При стольновении с прейстствиями направления скоростей электронов могут изменяться производным образом. Оdnako в промежутках между стольновениями электроны разогнются электрическим полем — проекции их скоростей вдоль поля расчету. Таким образом, в проводнике установливается отличная от нуля средняя скорость дрейфа электронов вдоль поля — по проводнику течет ток. При наличии магнитного поля тракторами движения электронов между стольновениями искривляются, и в результате скорость их дрейфа несокольную уменьшается. Следовательно, при той же разности потенциалов уменьшается ток, т. е. расчет сопротивление. Следует, однako, отметить, что холодское поле частично ослабляет описанный эффект (а иногда и компенсирует его полностью).

За это лет, прошедших со дня открытия эффициента Холла, в его изучении было сделано много. Было выяслено, как влияет на холодское сопротивление приступные примесей в материале образца, наличие носителей другого знака, изменения температуры и т. д. Оdnako формула (1) все это время, в основном, не вызывала комнату у физков.

И вот в 1980 году К. фон Клицинг обнаружил, что в особых системах, называемых двумерными электронными слоями, зависимость холодного сопротивления от индекции магнитного поля и концентрации электронов совсем не такие, как это предписывает формула (1). И сопротивление току в двумерном электронном слое при наличии магнитного поля ведет себя по-особенноу.

Причины этих «необучностей» кровотся в свойствах самого объекта, на котором они наблюдаются.

Двумерный электронный слой

Что это такое? Как его создается?

Оказывается, двумерный слой электронов возникает в электронных приборах, имеющих самое широкое применение, — в полевых МОП-транзисторах. Этот прибор схематически изображен на рисунке 2. Пластина получа—

проводника — например кремния — покрыта слоем диэлектрика (оксидом кремния), на который сверху напылен так называемый затвор — пленка металла (объчно алюминия; по первым буквам слов металл — оксид — получовидик прибор и назван МОП-транзистором). Если к затвору приложить положительное напряжение относительно полупроводника, то электроны, находящиеся в полупроводнике, принятуются к затвору. Но прояты сквозь оксид они не смогут и образуют близи него тонкий слой (его толщина 20—30 Å, т. е. ~10⁻⁹ м). Этот слой можно назвать двумерным — в том смысле, что в двух измерениях вдоль слоя электроны могут двигаться свободно, в то время как отчеты вллубь полупроводника им не дает электростатические поле затвора.

Затвор и слой образуют плоский конденсатор, емкость которого можно с достающим точностью считать равной $C = \varepsilon_0 \varepsilon S/d$, где $\varepsilon$ — диэлектрическая пропищевая осида, $d$ — его толщина, $S$ — площадь слоя. Заряд слоя можно определить по формуле $Q = CU_3$, где $U_3$ — напряжение между затвором и полупроводником. Таким образом, число электронов в слое

$$N = \frac{Q}{e} = \frac{CU_3}{e} = \varepsilon_0 \varepsilon \frac{S}{de} U_3$$

зависит лишь от напряжения на затворе и, в отличие от числа свободных электронов в полупроводнике, не зависит от температуры. Следовательно, при пожении температуры вплоть до абсолотного нуля слой не исчезнет. Сопротивление же полупро-

15

водника станет бесконечным, так как его собственные носители тока исчезнут — получоводник станет изолятором. Теперь ничего не помещает нам изучать свойства двумерного слоя, измеряя padение напряжения между контакками к слою. Ток через образец при этом пропускают между контакками, называемых, по волне понятным причинам, истоком и стоком (см. рисунок 2). Если нас интересует холодское сопротивление $R_X$, то его можно определить, измерив напряжение $U_X$ между контакками 1 и 2 или 3 и 4 и разделив результат на величины тока $I$. Информацию о сопротивлении протекающей току $R$ можно получить, измеряя напряжение между контакками 1 и 3 или 2 и 4. Для измерения холодного сопротивления такого двумерного слоя надо, разумется, поместить его в магнитное поле, направленное перпендикулярно плоскости слоя. Но в достаточно сильном поле под действием силы Лоренца электроды будут движаться по окружности с одной и той же частотой вращения

$$\omega = Be/m,$$

(3)

где $m$ — масса электрода.

Таким образом, мы получили электронную систему, в котором движение электродов ограничено в любом из направлений — в плоскости слоя их закручивает магнитное поле, а уйти из этой плоскости им не дает электрическое поле затвора.

С точки зрения классической физики двумерный проводник качественно не отличается от трехмерного. Так через такой проводник все так же связан с дрейфом электронов (вдоль слоя). Холодское сопротивление должно определиться по формуле (1), с той, однako, разницей, что под $n$ надо помнить количество электронов, приходящих на единицу площади, и в значенателе, таким образом, уже не будет толщины проводника:

$$R_X = \frac{B}{ne}.$$

(4)

Ничего необычного не должно просходить и с сопротивлением протекающей через слой току — оно должно возрасти с увеличением $B$. Однако…

Квантовые причины двумерного слоя

С точки зрения квантовой механики, однako, у такой системы электронов должны возникнуть прициппальное новые свойства. Вы, верятоно, знаете, что энергия микрочастицы, которая движется в ограниченной области пространства, согласно квантовой теории не может быть произвольной. Например, при движении электронов в atomе энергия электронов может принимать лишь определенные значения $W_0$, $W_1$, $W_2$, … и не может — промежуточные. В этом случае говорят, что возникают разрешенные уровни энергии $W_0$, $W_1$, $W_2$, …. To же происходит и с электронами, врашающимся в магнитном поле. Оказывается, их энергия может быть равна только дискретным значением

$$W_i = \left( i + \frac{1}{2} \right) \frac{\omega}{2\pi},$$

(5)

где $i$ — целое число, а $\omega$ — частота вращения, определяемая формулой (3). Эти разрешенные уровни энергии принято называют называемыми Ландду.

Согласно законам квантовой механики, электроны, находящиеся в одном и том же месте пространства, должны хотеть чем-нибудь отличаться — иметь разные энергии, разные спины и т. д. Попробуем подсчитать, сколько электронов с энергией $W_0$ ($i=0$) — это нижний уровень Ландду — может поместиться на единицу площади. Пусть электрон вращается по окружности радиуса $r$ с частотой $\omega$, определяемой формулой (3). Его кинетическая энергия равна $m\omega^2r^2/2$. Приравняем эту энергию $W_0$:

$$\frac{h\omega}{4\pi} = \frac{m\omega^2r^2}{2},$$

или $$\frac{h}{4\pi} \frac{Be}{m} = \frac{m}{2} \frac{B^2e^2}{m^2} r^2.$$

Отсюда находится на один электрон с энергией $W_0$: $\pi r^2 = h/(2Be)$. На этой же площадке может разместиться еще один электрон с той же энергией $W_0$, но с противоположно направленным спином — так велиит приципп Паули (тот же приципп Паули, который участвует в «расселении» электронов в atomе). Другие электроны с энергией $W_0$ могут поместиться рядом, так, чтобы «орбиты» электронов не перекрывали. Таким образом, на единицу площади можно разместить $n = \frac{2}{\pi r^2} = \frac{4Be}{h}$ электрон с энергией $W_0$.

В наших расчетах мы пользовались чисто механической моделью движения электронов в магнитном поле. Точный квантово-меchanическая рас-