Задачи М1026—М1030; Ф1038—Ф1042
22
Задачи
M1026—M1030, Ф1038—Ф1042
М1026. а) Пять равных двух AB, BC, CD, DE, EA расположены так, что каждая delitтя соседними на три равные части (рис. 1). Найдите величины каждой дуги (в градусах).
6) Тот же вопрос для «розетки» из m равных дуг, каждая из которых delitтя соседними на три равные части.
А. В. Швецов
M1027. Докажите, что число 1985!! + 1986!! delitтя на 1987. (Через n!! обозначается произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n и имеющих ту же четность, т. е. n!! = n (n − 2)(n − 4)….)
В. В. Произвольов
M1028. а) На плоскости заданы две пересекающие прямые, и на них отмещено по одной точке (D и E). Построите треугольник ABC, у которого биссектрисы CD и AE лежат на данных прямых, а их основания — данные точки D и E (рис. 2).
6)* Докажите, что если при этом ∠CDE = 30°, то один из углов треугольника ABC равен 60° или 120°.
M. Волкевич, ученик 10 кл. (Москва)
M1029. Среди n членов арифметической прогрессии удалось выбрать k членов, образующих возрастуюго геометрическую прогрессию. Докажите, что n ≥ 2k−1.
В. Ф. Лев
M1030. Для выпуклого многогранника M обозначим через S(M) сумму площадей его граней, через P(M) — сумму произведений длины всех его ребер на соответствующие им внешние углы многогранника (внешний угол при данном ребре — это угол между перпендикулярами к граям, примыкающим к ребру, и направленными во внешнюю область многогранника; он равен 180° минус величина соответствующего другранного угла). Докажите, что многогранник M₁ лежит внутри многогранника M₂, то
a) S(M₁) ≤ S(M₂);
b) P(M₁) ≤ P(M₂).
А. В. Гончаров
Ф1038. При одинаковые нерастяжимые нити прикреплены на одинаковых расстояниях друг от друга к колцу радиусом r₀ и аналогичным образом — к колцу радиусом 2r₀. Нити пропущены через треугольник радиусом r₀ (рис. 3). Кольцо 1 закреплено в горизонтальной плоскости, и все системы нахождения. Найти расстояние между центрами колццей 2 и 3. Все колца сделаны из одной и той же проволоки. Треннем пренебречь.
В. П. Бородин
Ф1039. К бруску, лежащему на наклонной плоскости, прикреплена нить, перекинула через проволочную петлю; на другом конце нить высит грузик (рис. 4). При этом брусок неподвижен. Когда грузикачну, брусок начал двигаться. Объясните явление.
Г. В. Меледин
Ф1040. При одинаковые проводящие плоские площадь S каждая расположенье параллельного друг друга