41
Математика 8, 9,10
Публичкуемая ниже заметка «Выручает описанная окружность» предназначаена воспользованием, «Лишице условия в конкурсных задачах» — девятиклассик и десятиклассик.
Выручает описанная окружность
Хорошо известно, что величина центрального угла равна величины дуги, заключенной между его сторонами, а величина вписанного угла — половине величины дуги, заключенной между его сторонами. При решении планиметрических задач передко полезно проверить окружность, описную около треугольника или четырехугольника. При этом отмеченные выше свойства можно формулировать так.
Рис. 1. Рис. 2.
I. Если четырехугольник ABCD вписанный (рис. 1), то ∠ABD=∠ACD, ∠ABC+∠ADC=180° (а также ∠DBC=∠DAC, ∠ADB=∠ACB, ∠BAC=∠BDC, ∠BCD+∠BAD=180°).
II. Если точки B и C лежат по одному сторону от прямой AD и при этом ∠ABD=∠ACD или ∠ABC+∠ADC=180°, то четырехугольник ABCD — вписанный (см. рис. 1).
III. Если треугольники ABC и AOC лежат по одному сторону от прямой AC и точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, то ∠AOC=2∠ABC (рис. 2).
IV. Если треугольники ABC и AOC лежат по одному сторону от прямой AC, OA=OC и ∠AOC=2∠ABC, то O — центр окружности, описанной около треугольника ABC (см. рис. 2).
Покажем на примерах, как этими свойствами можно воспользоваться при решении задач.
Пример 1. В треугольнике ABC: ∠A=70°, ∠B=50°. Точка M лежит внутри треугольника, причем ∠MAC=∠MCA=40°. Найдите ∠BMC.
Решение. Так как ∠AMC=100°=2∠B, MA=MC, по свойству IV точка M — центр окружности, описанной около треугольника ABC