Арифметические треугольники

Квант 2008, №6 с. 8, 12 Тег WSUW

КВАНТ 2008/№6

В.ТИМОРИН ли квадраты длин всех его сторон – целые числа. Возможно, что такие треугольники называются как-то по-другому, но я не встречал никакого названия и поэтому придумал название сам. Тем не менее, арифметические треугольники чрезвычайно важны для теории чисел (и в этой статье мы увидим некоторые их применения). Дело просто в том, что обычно пользуются другим языком, более алгебраическим. Вообще, теория чисел изучает числа, а не фигуры. Поэтому многие рассказы про теорию чисел оперируют формулами и почти не содержат рисунков. Но, с другой стороны, очень полезно представлять себе математические объекты наглядно. Поэтому мы будем говорить про треугольники. На геометрическом языке, наша задача состоит в описании классов арифметических треугольников. Дадим несколько определений. Заметим, что в любом параллелограмме каждая его диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Все эти треугольники мы будем называть половинками данного параллелограмма. Два треугольника называются соседями, если они равны половинкам одного и того же параллелограмма, причем первый

получается при проведении одной из диагоналей этого параллелограмма, а второй – при проведении другой диагонали (рис.1). Рис.1. Переход к соседнему треуголь- Другими слованику. Треугольник ABC соседний для ми, сосед данного треугольника DBC треугольника получается так. Сначала мы выбираем одну из сторон треугольника. Затем достраиваем треугольник до параллелограмма так, что выбранная сторона будет его диагональю. После этого проводим в этом параллелограмме другую диагональ. Она делит параллелограмм на два равных треугольника – это один и тот же сосед для исходного треугольника (мы не делаем различия между равными треугольниками). Докажем, что любой сосед арифметического треугольника тоже будет арифметическим. Достаточно показать, что если квадраты сторон и одной из диагоналей данного параллелограмма целые, то квадрат другой диагонали – тоже целый. Это вытекает из известной геометрической теоремы о том, что сумма

Иллюстрация М.Сумниной

ТРЕУГОЛЬНИК НАЗОВЕМ АРИФМЕТИЧЕСКИМ, ЕС-

КВАНТ 2008/№6

ник (a, b, c) имеет дискриминант 4. Следовательно, он эквивалентен треугольнику (1, 2, 1). В частности, квадрат любой стороны треугольника (a, b, c) имеет вид $x^{2} + y^{2}$ , где x и y – взаимно простые целые числа. Например, a имеет такой вид, что и требовалось доказать. W Следующее упражнение довольно сложное и предполагает хорошее знание свойств взаимно простых чисел.

Упражнение 3. Пусть $a = x^{2} + y^{2}$ , где x и y взаимно просты. Тогда все натуральные делители числа a тоже представляются в таком виде. Выясните, верны ли аналогичные утверждения для $x_{+}^{2} 2 y^{2}, x_{+}^{2} 3 y^{2}, x_{+}^{2} 5 y^{2}$ .

Теория, которую мы затронули в этой статье, классическая и обязана своим существованием Лагранжу и Гауссу. Лагранж и Гаусс, правда, пользовались другим языком. Они изучали свойства целых чисел, представимых данной квадратичной формой, т.е. представимых в виде $Ax^{2} +$ Bxy $+ Cy^{2}$ для заранее заданных целых значений A, B, C и для некоторых (произвольных) целых значений x и y. Квадратичной формой называется само выражение $Ax^{2} +$ Bxy $+ Cy^{2}$ , в котором x и y рассматриваются как переменные. Началось все с Ферма, который описал значения квадратичных форм $x^{2} + y^{2}, x^{2} + 2 y^{2}$ и $x^{2} + 3 y^{2}$ .

Упражнение 4. Можно ли число 7 представить в виде

$x_{+}^{2} y^{2}$ для некоторых целых x и y? А число 1007? Если a и b можно представить в таком виде, то всегда ли это верно для ab? А для a + b?

Выяснилось, что есть большие классы квадратичных форм, которые представляют одни и те же числа. Лагранж и Гаусс разработали теорию, позволяющую эффективно перечислять эти классы и работать с ними.

Упражнение 5. Докажите, что число a представляется в виде $x_{+}^{2} y^{2}$ для некоторых целых x и y тогда и только тогда, когда оно представляется в виде $5 u^{2} + 6 uv + 2 v^{2}$ для некоторых целых u и v.

Связь между арифметическими треугольниками и квадратичными формами такая. Треугольнику (a, b, c) сопоставляется квадратичная форма

$ax^{2} + ( a + c - b ) xy + cy^{2}$ .

Попробуйте понять, почему именно такая квадратичная форма и в чем ее смысл. Для этого полезно замостить плоскость треугольниками, равными данному. Эквивалентность арифметических треугольников имеет естественное описание на языке квадратичных форм. Намек на это описание содержится в следующем непростом упражнении.

Упражнение 6. Докажите, что существует арифметический треугольник со стороной d, эквивалентный треугольнику (a, b, c), тогда и только тогда, когда $d_{=} ax_{+}^{2} ( a_{+} c_{-} - b ) xy_{+} cy^{2}$ для некоторых взаимно простых целых чисел x и y.

Интереснейший материал о квадратичных формах, схеме Конвея и еще о многом другом можно найти в замечательной книге Джона Конвея «Квадратичные формы, данные нам в ощущениях» (М.: МЦНМО, 2008).

В заключение мы укажем, в каком направлении может развиваться дальнейшая теория. Это направление действительно активно развивается, но люди, в основном, пользуются другим языком, более алгебраическим. Оказывается важным рассмотрение не просто арифметических треугольников, а арифметических треугольников с ориентацией. Это означает, что треугольники, получающиеся друг из друга отражением, считаются разными. Треугольники, полученные друг из друга вращением или параллельным переносом, попрежнему отождествляются. Мотивируется это тем, что отражение нельзя осуществить, не выходя из плоскости. В наших обозначениях, треугольник (a, b, c) – это то же самое, что треугольники (b, c, a) и (c, a, b), но, вообще говоря, не то же самое, что треугольник (b, a, c). Понятия эквивалентности и классов легко переносятся на ориентированные арифметические треугольники. Из результатов Гаусса следует, что ориентированные арифметические треугольники одинакового дискриминанта можно, в некотором смысле, перемножать. Результат умножения зависит только от классов эквивалентности сомножителей, а не от самих сомножителей. Этот результат определен лишь с точностью до эквивалентности. Таким образом, умножение является на самом деле операцией над классами ориентированных арифметических треугольников, а не над самими треугольниками. Умножение обладает привычными свойствами: переместительным (коммутативность) и сочетательным (ассоциативность). Кроме того, можно делить треугольники друг на друга, т.е. существует операция, обратная к умножению. Заметим, что число классов ориентированных арифметических треугольников данного дискриминанта по-прежнему конечно. Таким образом, имеется естественная, и обладающая хорошими свойствами, операция умножения на конечном множестве. Эта операция очень важна для теории чисел. Но ее подробное обсуждение уже не вписывается в формат этой статьи. Вот только одно замечательное свойство умножения треугольников: умножим класс треугольника со стороной a на класс треугольника со стороной b. Тогда полученный класс содержит треугольник со стороной ab! Отсюда вытекает такое утверждение (попробуйте его доказать): если числа a, b и c являются сторонами трех эквивалентных арифметических треугольников, то число abc тоже является стороной некоторого арифметического треугольника, эквивалентного данным. Вместо списка литературы для дальнейшего чтения (который был бы слишком велик), я просто перечислю важнейшие ключевые слова. Как уже упоминалось, понятие арифметического треугольника не используется. Вместо этого, говорят про классы квадратичных форм. Операция умножения этих классов называется композицией. Также говорят, что классы образуют группу, называемую группой классов. Есть много книг и статей, в которых объясняется смысл этих терминов и развивается дальнейшая теория.