Задачи М2146—М2153; Ф2153—Ф2159

Квант 2009, №5 с. 19 Тег RZG2

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 января 2010 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №5–2009» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2146» или «Ф2153». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам math@kvant.info и phys@kvant.info соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2149 и М2150 предлагались на Математической олимпиаде имени Леонарда Эйлера.

Задачи М2146–М2153, Ф2153–Ф2159

M2146. На координатной плоскости нарисовали 2008 графиков квадратных трехчленов. Может ли оказаться, что для каждого из них существует прямая, имеющая общие точки с любым графиком, кроме него? Н.Агаханов, И.Богданов

M2147. В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости записано действительное число так, что все бесконечные в обе стороны горизонтальные и вертикальные последовательности чисел периодические. Докажите, что найдется бесконечно много горизонтальных последовательностей с различными наименьшими периодами тогда и только тогда, когда найдется бесконечно много вертикальных последовательностей с различными наименьшими периодами. Е.Знак

M2148. По кругу выписаны числа 1, 2, 3, …, 100 в некотором порядке. Петя вычислил 100 сумм всех троек соседних чисел и написал на доске наименьшую из этих сумм. Какое наибольшее число могло быть написано на доске? П.Кожевников

M2149. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Точка D внутри треугольника такова, что $\angle$ ADC $= 2 \angle$ ABC. Докажите, что удвоенное расстояние от точки B до внешней биссектрисы угла ADC равно AD + DC. С.Берлов

M2150. В стране Леонардии все дороги – с односторонним движением. Каждая дорога соединяет два города и не проходит через другие города. Департамент статистики вычислил для каждого города суммарное число

жителей в городах, откуда в него ведут дороги, и суммарное число жителей в городах, куда ведут дороги из него. Докажите, что хотя бы для одного города первое число оказалось не меньше второго. Н.Гравин

M2151. Числовой треугольник 1

1 2

1 3

1 2

1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1

… составлен по следующему правилу. В первой строке одно число, равное 1. В k-й строке (k = 2, 3, …) записывается 2k – 1 чисел, каждое из которых равно сумме трех чисел: числа, стоящего над ним, и двух его соседей в предыдущей строке (если некоторых из таких трех чисел нет, то они считаются равными 0). Докажите, что в среднем столбце не встретится чисел, дающих остаток 2 при делении на 3. К.Каибханов

$M2152^{*}$ . Пара ( p, q ) различных простых чисел называется особой, если существует a, представимое в виде $a = x^{p} + y^{p} = z^{q} + t^{q}$ для некоторых натуральных x, y, z, t, но не представимое в виде $u^{pq} + v^{pq}$ , где u и v – натуральные числа. Докажите, что любое простое число p входит в бесконечное число особых пар. В.Сендеров

$M2153^{*}$ . Сумма телесных углов при вершинах выпуклого многогранника равна $\pi$ . Докажите, что существует замкнутый маршрут по его ребрам, проходящий