Летний турнир имени А. П. Савина

29

К

М

Ш

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: math@kvant.info (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

6. На новом сайте «Разговоры.ru» зарегистрировались 2000 человек. Каждый из них пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться? А.Эвнин

7. Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 черных квадратов, причем одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные квадраты – не равны? Н.Авилов

8. Двести гирек массой 1 г, 2 г, …, 200 г разложили на две чаши весов так, что любые две гири с разницей

масс 100 г попали на разные чаши и любые две гири с суммой масс 201 г тоже попали на разные чаши. При этом весы оказались в равновесии. Затем с каждой чаши убрали все гири четной массы. Докажите, что весы снова будут в равновесии. В.Произволов

9. Найдутся ли такие натуральные числа a, b, c, d, что $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = 100 100$? М.Мурашкин

10. На сторонах BC и CD ромба ABCD взяли точки P и Q соответственно так, что BP = CQ. Докажите, что центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника APQ лежит на диагонали BD ромба. В.Произволов

Летний турнир имени А.П.Савина

Каждый год в конце июня увлеченные математикой школьники собираются в красивом месте Костромской области, чтобы соревноваться в решении задач. Турнир носит имя Анатолия Павловича Савина, основателя конкурса «Математика 6–8» журнала «Квант». Благодаря конкурсу в 1993 году и возник этот турнир математических боев. Организаторы турнира – журнал «Квант» и образовательная программа «Большая перемена» (руководитель Г.В. Кондаков). Этим летом команды съехались на 7 дней (с 26 июня по 2 июля 2009 года) под город Судиславль на живописную базу отдыха «Берендеевы Поляны». Многие ребята приехали сюда гораздо раньше – они учились в летней математической школе, которая началась 11 июня, после которой решили остаться на турнир. В нынешнем году друг с другом играли команды 6–8 классов: 8 команд 6 классов, 12 команд 7 классов и 8 команд 8 классов. Школьники приехали из Москвы, Санкт-Петербурга, Иванова, Костромы, Тамбова и Черноголовки. Команда Тамбова была приглашена на турнир как победитель конкурса «Математика 6–8» журнала «Квант». В день заезда (25 июня) сразу была проведена оживленная математическая игра «Магический квадрат». Победителями стали команды «Фрактал» (6 класс, Санкт-Петербург), «Интеллектуал» (7 класс, Москва) и «218-Б» (8 класс, Москва). На следующий день прошла устная командная олимпиада, по результатам которой команды были разделены на лиги по классам, при этом 7 класс был разбит на две лиги. Далее в каждой лиге проходили математические бои. Последний день турнира – финальные бои, которые определили победителей в каждой лиге. В лиге 8 классов первое место заняла команда «Москва-Юг». Ее собрала Т.П. Зорина в июньской летней математической школе 2008 года. За год с небольшим ребята выиграли разные турниры, включая этот турнир в прошлом году. В высшей лиге 7 классов лучшей стала команда кружка МЦНМО под руководством А.В. Спивака. Лучшие шестиклассники – ребята из кружка «Фрактал» Санкт-Петербурга, их преимущество оказалось ощутимым и во время боев, и во время командной олимпиады. Лучшей во второй лиге 7 классов стала команда школы 82 из Черноголовки Московской области. Ниже в таблице приведен список всех команд-призеров турнира. В один из дней турнира участники отдохнули от боев – прошла личная олимпиада. В каждой параллели проводилось свое состязание со своими задачами. В 6 классе за решение всех задач «гран-при» получил Андрей Волгин (команда МЦНМО), а диплом I степени выиграл костромич Иван Петренко. Лучшим семиклассником стал Никита Сопенко (команда Тамбова), лучшим восьмиклассником – Михаил Артемьев (гимназия 1543, Москва). Обладателями дипломов II степени стали: Семен Верченко (8 класс, гимназия 1543), Мария Сандрикова (8 класс, ЦО 218),

30

КВАНТ 2009/№5

Лига

Диплом

Команда

Капитан

Руководитель

Высшая 8 Высшая 8 Высшая 8 Высшая 8 Высшая 8 Высшая 7 Высшая 7 Высшая 7 Высшая 7 Высшая 7 Высшая 6 Высшая 6 Высшая 6 Высшая 6 Высшая 6 Первая 7 Первая 7

I степени II степени II степени III степени III степени I степени II степени II степени III степени III степени I степени II степени II степени III степени III степени I степени II степени

Москва-Юг Гимназия 1514, Москва Лицей 14, Тамбов ЦО 218, Москва Гимназия 1543, Москва МЦНМО, Москва Сборная Костромы Интеллектуал, Москва Гимназия 1543, Москва Гимназия 1514, Москва Фрактал, Санкт-Петербург Воробьевы Горы, Москва ЦО 218, Москва Квантик, Москва Горные Воробьи, Москва Школа 82, Черноголовка Школа 179, Москва

Ф.Лященко А.Понфиленко Н.Сопенко М.Сандрикова М.Артемьев Т.Левинсон Р.Цветников Ю.Гребенникова Ю.Котельникова Т.Степанов Е.Цейтина И.Гущенко-Чеверда А.Зерцалов В.Волков А.Мельник А.Потапов И.Пантелеева

Т.П.Зорина О.Р.Горская А.В.Бурмистрова А.Д.Блинков А.В.Хачатурян А.В.Спивак Д.А.Калинин Н.М.Нетрусова И.В.Раскина Т.В.Житникова А.П.Погода Т.П.Зорина Ю.А.Блинков И.А.Николаева Т.П.Зорина Л.Н.Головко А.Ю.Юрков

Юлия Гребенникова (7 класс, «Интеллектуал»), Максим Хабаров (7 класс, школа 30, Санкт-Петербург), Алексей Быстров (6 класс, Кострома), Степан Каргальцев (6 класс, ЦО 218), Никита Уваров (6 класс, гимназия 1543) и Михаил Ягудин (6 класс, команда МММФ). Дипломами III степени награждены Алексей Виноградов (8 класс, гимназия 1514), Анна Добровольская (8 класс, гимназия 1514), Лев Синяков (8 класс, «Москва-Юг»), Петр Мельниченко (7 класс, ЦО 218), Богдан Славов (7 класс, школа 179), Марина Хачатурян (7 класс, гимназия 1543), Иван Буренев (6 класс, «Фрактал»), Андрей Зерцалов (6 класс, ЦО 218), Дарья Лебедева (6 класс, «Фрактал»), Сергей Полевой (6 класс, «Москва-Юг») и Павел Шевчук (6 класс, «Горные Воробьи»). Помимо этого, многие ребята были поощрены дипломами за успешное участие и похвальными грамотами. В часы, свободные от основных соревнований, участники олимпиады слушали лекции по математике, которые читали А.В.Спивак, С.И.Токарев, А.Б.Скопенков, А.В.Шаповалов, А.А.Заславский, С.Г.Волченков. Но развлечения были не только математические. Никогда не пустовали футбольное поле и волейбольная площадка. По вечерам проходили интеллектуальные игры, которые проводили Н.М.Нетрусова и А.В.Хачатурян. Очень интересные путешествия-экскурсии организовывала Т.П.Зорина, которая давно увлекается историей Судиславля и окрестных земель и теперь стала, наверное, самым лучшим экскурсоводом по этому древнему городу. Более подробную информацию о результатах турнира и фотографии можно посмотреть на сайте http://kostroma-open.info/20090626.html Отбором задач и составлением вариантов занималась методическая комиссия под руководством Александра Васильевича Шаповалова. В нее вошли А.Д.Блинков, Ю.А.Блинков, Н.Т.Гребеник, Е.С.Горская, С.А.Дориченко, А.А.Заславский, Д.А.Калинин, Т.В.Караваева, П.В.Мартынов, К.А.Матвеев, Д.В.Прокопенко, И.В.Раскина, А.Б.Скопенков, К.А.Скопцов, С.И.Токарев, А.В.Шаповалов. Существенный вклад в работу комиссии внесли руководители команд. Книги и другие призы для победителей предоставили журнал «Квант», компания «Яндекс» и Фонд математического образования и просвещения (директор С.И.Комаров). По традиции, идущей еще от первых турниров, в турнире было заявлено много новых авторских задач. Из них мы постарались выбрать такие, где из условий следует чуть-чуть больше, чем можно ожидать, или в решении есть неожиданный поворот и краткость. После номера каждой задачи указано, для каких классов она наиболее подходит.

Избранные задачи турнира

1 (7–8). У трех братьев Антона, Бори и Васи дни рождения совпадают. Оказалось, что когда Aнтону исполнится 12 лет, сумма возрастов двух других братьев разделится на 12 без остатка. То же самое случится, когда 12 лет исполнится Боре. Докажите, что так же будет, когда 12 лет исполнится Васе. А.Шаповалов

2 (7). В равнобедренном треугольнике ABC (AB = = AC) проведена биссектриса BD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно BD, пересекает сторону BC в точке K. Докажите, что BK = 2CD. Фольклор

3 (7–8). Три сталкера дошли до Каменной Аномалии. Оттуда к кладу ведет тропа длиной 100 м. Сталкеры знают, что первый пошедший по тропе окаменеет в произвольном месте и что такая же участь ждет и второго. Оба оживут в тот момент, когда третий будет идти по тропе и суммарное расстояние от него до двух окаменевших спутников будет в точности равно 100 м. Могут ли сталкеры добраться до клада без риска окаменеть навсегда? А.Блинков, И.Раскина

4 (8). Три окружности проходят через точку Р и попарно пересекаются в точках А, В и С. Известно, что центр одной окружности лежит на прямой АР, а центр другой – на прямой ВР. Докажите, что центр третьей окружности лежит на прямой СР. Б.Френкин

5 (8). Можно ли разбить все натуральные числа от 1 до 2009 на две группы так, чтобы сумма чисел в одной группе равнялась произведению чисел в другой группе? А.Шаповалов

6 (8). На клетчатой бумаге нарисован 222-угольник со сторонами по границам клеток. Из какого наименьшего числа клеток может состоять этот многоугольник? А.Шаповалов

33

12. Математический маятник укреплен на тележке, скатывающейся без трения с наклонной плоскости. Найдите положение равновесия маятника. 13. Левый клин медленно вдвигают под правый, отношение катетов в котором представлено на рисунке. Каким должен быть угол $\alpha$, чтобы правый клин перевернулся? 14. При каком условии винт может служить для крепления деталей? 15. С вершины сортировочной горки поочередно скатывают два вагона: один пустой, другой груженый. Какой вагон проедет дальше по прямолинейному участку после скатывания с горки? 16. Если автомобиль въезжает на гору при неизменной мощности двигателя, то его скорость движения уменьшается. Почему? 17. Цилиндр, диаметр которого равен его высоте, один раз соскальзывает с наклонной плоскости вдоль своей образующей, а другой раз скатывается с той же точки плоскости. Сравните поступательные скорости цилиндра у основания наклонной плоскости, считая коэффициент трения скольжения между цилиндром и плоскостью очень малым. 18. В кузове грузовика находятся три одинаковых гладких бревна, расположенных, как показано на рисунке. На какой угол $\alpha$ может накрениться кузов, чтобы верхнее бревно не скатилось на борт?

Микроопыт

Склейте цилиндр из плотной бумаги (можно взять картонную втулку от рулона туалетной бумаги) и закрепите на его внутренней стороне кусок пластилина. Такой цилиндр может катиться вверх по наклонной плоскости. Как этого добиться?

Любопытно, что…

…наиболее гениальным изобретением Архимеда был водоподъемный винт. По оценке Галилея, это устройство «не только великолепно, но просто чудесно, поскольку мы видим, что вода поднимается в винте, беспрерывно опускаясь». Архимедов винт использовался, например, в Египте как для подъема воды на возвышенности (на высоту до 4 метров), которых обычно разлив Нила не достигал, так и для осушения низменных местностей. …со времен последователей Архимеда – Герона и Паппа – механику стали считать наукой о простых машинах: вороте, рычаге, блоке, клине и винте. Два последних основаны на свойствах наклонной плоскости, закон действия которой, правда, самому Архимеду известен не был. …изучая равновесие замкнутой цепочки, наброшенной на две наклонные плоскости, голландский ученый Симон Стевин в своей работе «Начала статики» доказал, что сила, скатывающая груз, во столько же раз меньше его веса, во сколько раз высота плоскости меньше ее длины. …в трактате, составленном в период чтения им публичных лекций в 1597–1598 годах, Галилей, не зная еще закона разложения сил, рассматривал сначала рычаг, затем сводил к рычагу клин, к клину – наклонную плоскость, а к наклонной плоскости – винт. …законы свободного падения тел Галилей устанавливал с помощью наклонной плоскости – желоба, оклеенного изнутри полированным пергаментом, применяя ее для «уменьшения» ускорения свободного падения в заданное число раз… …разбирая движение по плоскости, которая «ни вниз не опускается, ни вверх не поднимается», Галилей выявил свойство тел сохранять свою скорость, хотя еще не нашел полной и точной формулировки закона инерции, что предстояло сделать Ньютону. …исследуя перекатывание шара «с горки на горку», Галилей предположил, что, говоря современным языком, приобретаемая при спуске скорость не зависит от формы пути, по которому движется тело. Галилей, естественно, не знал, что такое положение вытекает из закона сохранения энергии, однако он этот закон предчувствовал и применял в простейших случаях падения тела или движения по наклонной плоскости и в опытах с маятником. …Галилей геометрическим методом построил теорию движения по наклонной плоскости и движения по хордам круга, показав, что по дуге круга, которая меньше или равна четверти окружности, тело соскальзывает быстрее, чем по стягивающей хорде. Этим он предвосхитил постановку задачи о поиске линии быстрейшего спуска – брахистохроны, задачи, решенной в 1697 году Иоганном Бернулли. Уравнение этой кривой, оказавшейся циклоидой, используется, кстати, при проектировании санных трасс и «американских» горок. …при завинчивании болта с шагом резьбы в 1 миллиметр с помощью гаечного ключа длиной 30 сантиметров мы выигрываем в силе в две тысячи раз, что либо позволяет надежно скреплять детали, либо легким усилием передвигать большие тяжести. …чтобы автомобили не вылетали на поворотах, дороги в этих местах делают наклонными. Правильный угол наклона соответствует радиусу поворота и определенной скорости движения, на которую необходимо устанавливать ограничение. А вот велосипедные треки имеют на поворотах переменный наклон – в расчете на различные скорости, достигаемые спортсменами.

Что читать в «Кванте» о наклонной плоскости

(публикации последних лет)

1. «Комбинированные задачи по механике» – 2003, Приложение №6, с. 92; 2. «О динамике криволинейного движения» – 2005, №2, с. 30; 3. «Центр масс механической системы» – 2006, №2, с. 25; 4. «Какая горка самая быстрая»?» – 2006, Приложение №6, с. 68; 5. «И тележка в гору едет…» – 2008, №5, с. 35; 6. «Подводные камни» силы Архимеда» – 2009, №2, с. 46.

Материал подготовил А.Леонович

40

КВАНТ 2009/№5

Куда смотрит Луна?

Наблюдения свидетельствуют: лунный шар всегда обращен к Земле преимущественно одной стороной. Но почему, каким образом возникла столь яркая особенность в движении Луны? Знаменитый механик и математик Лагранж первым приблизился к ответу на этот трудный вопрос. Еще в 1764 году он установил, что «форма Луны должна быть эллипсоидом с наибольшей осью, направленной к Земле < мы же уточняем, что, строго говоря, эта ось направлена не на Землю, а совершает небольшие колебания относительно точки второго фокуса >. И если даже первоначально период вращения Луны не совпадал с периодом обращения вокруг Земли, все равно через некоторое время два этих периода должны были сравняться из-за влияния притяжения Земли и связанной с ним приливной диссипацией энергии вращения нашего спутника». В своих «Началах» Ньютон пишет: «…Вследствие этого… происходит, что с Земли наблюдается одна и та же сторона Луны; в другом положении тело Луны не могло бы находиться в покое, а постоянно возвращалось бы к этому положению, совершая колебания. Но эти колебания, вследствие малости действующих сил, происходили бы весьма медленно, так что та сторона, которая должна бы быть постоянно обращена к Земле, могла бы быть обращена и к другому фокусу лунной орбиты… без того, чтобы немедленно быть оттянутой и повернутой к Земле». Определенно, Ньютон говорит здесь о весьма тонком эффекте: из-за оптической либрации немного вытянутая фигура Луны должна совершать еще и очень малые крутильные колебания, но уже не кажущиеся, а действительно происходящие относительно ее центра масс. Это – первое предсказание физической либрации Луны. Но при этом само явление оптической либрации Ньютон описывает слишком расплывчато и даже двусмысленно. Действительно, из его фразы, выделенной выше курсивом, нельзя понять, как сторона Луны, которая должна бы быть постоянно обращена к Земле, могла бы быть обращена и к другому фокусу лунной орбиты. Ведь расстояние между обоими фокусами орбиты Луны достигает значения 42207 км, что составляет 3,3 поперечника Земли – не так уж мало. Поэтому указанные слова Ньютона больше озадачивают, чем проясняют суть дела. В другом месте «Начал» читаем: «Так как для Луны, при равномерном ее обращении вокруг оси, сутки равны нашему месяцу, то к нижнему фокусу ее орбиты будет всегда обращена почти постоянно одна и та же сторона …» «К нижнему» значит ко второму фокусу орбиты. У эллипса, как известно, есть два фокуса: в одном находится центр Земли (точнее, системы Земля-Луна), а на другой, по высказанному здесь мнению Ньютона (выделено курсивом), будет всегда обращена почти постоянно одна и та же сторона Луны. Однако никакой определенности к первому утверждению эта фраза Ньютона не добавляет. Как может выделенный радиус Луны почти постоянно быть направленным в одну и ту же точку внешнего пространства? Ведь процесс оптической либрации происходит непрерывно. И как сейчас мы убедимся, на самом деле все наоборот: выделенный радиус Луны почти постоянно не направлен (!) в точку второго фокуса, а совершает колебания относительно направления на него. Конечно, на основании сказанного вряд ли можно гово-

рить об ошибке Ньютона, тем не менее, недопонимание сути дела в вопросе о действительном направлении выделенного радиуса Луны в ходе оптической либрации по долготе проявляется у Ньютона совершенно определенно. Не чувствуется чеканной ясности, характерной для этого великого ученого, авторитет которого и сейчас необычайно высок. Неудивительно, что некоторая неясность в описании данного явления встречается и в научно-популярной литературе. Замечательный популяризатор науки Я.И.Перельман в книге «Занимательная астрономия» сначала пишет: «… когда Луна оказывается в E, радиус Луны, обращенный к Земле в точке A, опишет дугу в $90^\circ$ и будет направлен … к точке … неподалеку от другого фокуса лунной орбиты». А ниже читаем: «…Луна неизменно обращена одной и той же стороной не к Земле, а к другому фокусу своей орбиты….». Здесь первая фраза (верная!) вступает в противоречие со второй. Известный российский астроном В.И.Бронштэн в содержательной книге «Как движется Луна» приводит без какихлибо комментариев указанный выше взгляд Ньютона на характер движения Луны. И даже крупный ученый, специалист по вращению Луны Моутсулас в известной коллективной монографии «Физика и астрономия Луны» (в переводе с английского языка), говоря о предсказании Ньютоном физической либрации, приводит его слова также, к сожалению, без каких-либо критических комментариев.

Тайная роль второго фокуса

Любой эллипс, не вырожденный в окружность, имеет два фокуса. В астрономии первый закон Кеплера утверждает: в одном из фокусов находится притягивающий центр – для планет это Солнце, для Луны Земля и т.д. Точка же второго фокуса для планет не играет никакой физической роли и представляет собой просто геометрическую точку. Другая ситуация складывается при описании синхронного движения Луны. Здесь второй фокус кинематически выделяется именно тем, что вокруг направления на него главная ось Луны совершает небольшие колебания. Такова же роль второго фокуса и для других спутников с синхронным вращением в Солнечной системе. Однако особого физического смысла для четырех галилеевских спутников Юпитера этот второй фокус не имеет, так как находится глубоко внутри самого Юпитера. А вот система Земля-Луна уникальна тем, что только здесь точка второго фокуса лежит далеко за пределами Земли (более трех ее диаметров), и не считаться с этим фактом в современной небесной механике уже нельзя.

Рис.3. Большой эллипс – орбита Луны М (для наглядности сжатие преувеличено), П и А – точки перигея и апогея, $f_{1}$ и $f_{2}$ – фокусы эллипса, центр масс Земля-Луна находится в первом фокусе. Малый эллипс изображает фигуру Луны

51

ОЛИМПИАДЫ

Дипломанты олимпиады

Диплом победителя по 9 классам получили Пахарев Алексей – Ульяновск, гимназия 79, Малясова Виктория – Ростов-на-Дону, Экономический лицей 14, Егоров Дмитрий – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Крачун Дмитрий – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Мукосеева Екатерина – Санкт-Петербург, ФМЛ 30;

по 10 классам – Бондаренко Михаил – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Ерохин Станислав – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Кушнир Андрей – Иркутск, лицей 2, Климовицкий Иосиф – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Попов Максим – Нижнекамск, лицей-интернат 24;

по 11 классам – Ненашев Глеб – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Омельяненко Виктор – Белгород, лицей 38, Гусев Даниил – Дзержинск, школа 2 с углубленным изучением предметов физико-математического цикла, Иванова Алина – Казань, лицей им. Н.И.Лобачевского при КГУ, Брагин Владимир – Снежинск, гимназия 127.

Диплом призера по 9 классам получили Бурова Ольга – Москва, лицей «Вторая школа», Сергиенко Ярослав – Краснодар, НОУ ВПО «Институт современных технологий и экономики», Заводов Алексей – Долгопрудный, ФМЛ 5, Янушковский Владимир – Москва, лицей «Вторая школа», Косинов Никита – Ульяновск, многопрофильный лицей 20, Титов Дмитрий – Усть-Лабинск, школа 2, Кунявский Павел – Саратов, ФТЛ 1, Цыбышев Алексей – Самара, гимназия 1;

по 10 классам – Бернштейн Антон – Новосибирск, гимназия 1, Горбачева Ирина – Краснодар, лицей 64, Мокин Василий – Саратов, ФТЛ 1, Исаак Евгений – Курган, школа 38, Балицкий Алексей – Железногорск, школа 11 с углубленным изучением отдельных предметов, Горбань Степан – Москва, СУНЦ МГУ, Козачинский Александр – Москва, лицей «Вторая школа», Бердников Александр – Новосибирск, гимназия 1, Бояров Игорь – Тольятти, лицей 51, Решетников Иван – Долгопрудный, ФМЛ 5, Меньщиков Андрей – Курган, школа 38, Пологова Анна – Ижевск, ИЕГЛ «Школа-30», Степанов Борис – Екатеринбург, гимназия 9, Вотяков Александр – Ижевск, ЭМЛ 29, Мифтахов Азат – Нижнекамск, лицей-интернат 24, Стручкова Анна – Якутск, лицей-интернат «Республиканский лицей», Ивлев Федор – Москва, СУНЦ МГУ, Куприянов Александр – Ярославль, школа 33 им. К.Маркса с углубленным изучением математики, Медведь Никита – Москва, лицей «Вторая школа», Сербина Дарья – Курган, гимназия 47, Баглай Михаил – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Глухов Евгений –Кострома, лицей 17,

Голова Анна – Москва, СУНЦ МГУ, Николаев Семен – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Печина Анна – Долгопрудный, ФМЛ 5, Самолюк Сергей – Томск, школа 41, Ламтюгин Алексей – Ульяновск, школа 21, Лысенко Николай – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа»;

по 11 классам – Соколов Вячеслав – Санкт-Петербург, гимназия 261, Савенков Кирилл – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Матдинов Марсель – Москва, СУНЦ МГУ, Погорелов Дмитрий – Нижний Новгород, лицей 165 имени 65-летия ГАЗ, Тыщук Константин – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Царьков Олег – Москва, лицей «Вторая школа», Нечаев Станислав – Иркутск, гимназия 25, Шабалин Филипп – Киров, КФМЛ, Бершадский Ефим – Москва, СУНЦ МГУ, Аксенов Виталий – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Янушевич Леонид – Москва, центр образования «Технологии обучения», Антропов Александр – Пермь, школа 146 с углубленным изучением математики, физики, информатики, Гусев Антон – Омск, лицей 64, Кувшинов Алексей – Ижевск, ЭМЛ 29, Сиволобов Виталий – Томск, лицей при Томском политехническом университете, Ярославцев Иван – Москва, СУНЦ МГУ, Глюз Борис – Майкоп, гимназия 22, Калашник Анна – Москва, СУНЦ МГУ, Круль Ярослав – Уфа, школа 42 с углубленным изучением отдельных предметов, Нижибицкий Евгений – Краснодар, школа 73, Устинов Никита – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Кондакова Елизавета – Москва, лицей «Воробьевы горы», Черкашин Данила – Санкт-Петербург, лицей 533, Адуенко Александр – Брянск, гимназия 1, Краснов Дмитрий – Курганская обл., п. Заозерный, гимназия 19, Лобастов Степан – Киров, ФМЛ, Лукьянец Евгений – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Орлов Олег – Пермь, школа 146 с углубленным изучением математики, физики, информатики, Попов Леонид – Пермь, школа 146 с углубленным изучением математики, физики, информатики, Сунгоркин Максим – Чебоксары, лицей 3, Гильман Михаил – Санкт-Петербург, лицей 533, Духов Кирилл – Жуковский, гимназия 1, Маянцев Кирилл – Волгореченск, школа 3, Никифоров Дьулустан – Якутск, лицей-интернат «Республиканский лицей», Плосконосов Андрей – Калуга, школа 6 им. А.С.Пушкина, Рогуленко Сергей – Саратов, ФТЛ 1, Сочнев Сергей – Майкоп, гимназия 22, Шершнев Алексей – Гатчина, лицей 3, Кокурин Михаил – Йошкар-Ола, школа 20, Кольцов Иван – Ярославль, школа 33 им. К.Маркса с углубленным изучением математики.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, О.Подлипский, Д.Терёшин

56

КВАНТ 2009/№5

Григорьевых Данил – Ижевск, Экономико-математический лицей 29, Алюшин Алексей – Москва, СУНГ МГУ, Толмачев Лев – Москва, школа 192, Кудряшова Нина – Бийск, Бийский лицей Алтайского края, Соболев Антон – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Землянов Владислав – Урай, гимназия.

Диплом призера по 9 классам получили

Шуранов Дмитрий – Уфа, гимназия 3 им. А.М.Горького, Чурилов Антон – Ефремов, Ефремовский физико-математический лицей, Заночкин Андрей – Саров, лицей 15, Акиньщиков Алексей – Великий Новгород, школа 23, Никитенков Павел – Смоленск, гимназия им. Н.М.Пржевальского, Бубис Антон – Татарстан, ФМЛ 131, Шель Егор – Тюмень, школа 29, Головешкин Александр – Москва, лицей 1303, Прокофьев Вадим – Рязань, школа 3, Дехтяренко Ярослав – Брянск, школа 41, Лучников Илья – Киров, школа 21, Гамов Артемий – Саров, лицей 15, Богданов Святослав – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Шумаков Антон – Омск, гимназия 117, Цыбров Федор – Республика Коми, гимназия, Ионов Андрей – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа»;

по 10 классам – Николаев Егор – Республика Марий Эл, Политехнический лицей-интернат, Алексеев Алексей – Бийск, Бийский лицей Алтайского края, Стройнов Евгений – Москва, СУНЦ МГУ, Байнев Виталий – Саранск, лицей 43, Качалов Вячеслав – Москва, школа-интернат «Интеллектуал», Коновалов Александр – Долгопрудный, лицей 5 «Физмат», Лавров Петр – Пермь, школа 146, Анаскин Виктор – Бийск, Бийский лицей Алтайского края, Казеев Никита – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Давыдов Иван – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Старичков Никита – Калуга, школа 46, Артамонов Дмитрий – Саров, лицей 15, Садков Виктор – Саратов, ФТЛ 1, Светогоров Александр – Калуга, гимназия,

Разумов Дмитрий – Нижний Новгород, лицей 40, Костин Петр – Белгород, лицей 38, Офенгейм Дмитрий – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Курочкин Никита – Чебоксары, лицей 3, Попов Федор – Пермь, школа 146, Ким Александр – Республика Саха (Якутия), Республиканский лицей, Рыков Андрей – Снежинск, гимназия 127, Шустикова Анна – Заречный, лицей 230, Маргаритов Артемий – Ярославль, школа 33 им. К.Маркса, Бебех Илья – Республика Коми, Республиканский физико-математический лицей-интернат, Перевощиков Денис – Киров, школа 21, Томас Павел – Новосибирск, лицей 130 им. М.А.Лаврентьева, Белянчиков Михаил – Междуреченск, гимназия 20, Смирнов Николай – Новосибирск, гимназия 3, Комендатян Андрей – Самара, ФМШ;

по 11 классам –

Кравчук Петр – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Усманова Динара – Миасс, лицей 6, Светкин Михаил – Москва, СУНЦ МГУ, Костарев Илья – Санкт-Петербург, лицей 533, Цымбалов Иван – Тверь, лицей 35 ОАО «РЖД», Фадеев Алексей – Новочебоксарск, лицей 18, Старков Григорий – Ноябрьск, школа 7, Обидина Яна – Оренбург, гимназия 3, Казеев Александр – Петропавловск-Камчатский, школа 33, Берсенев Никита – Москва, Центр образования 1925, Трегубов Дмитрий – Киров, ФМЛ, Сафошкин Алексей – Рязань, гимназия 2 им. И.П.Павлова, Бычин Андрей – Бийск, Бийский лицей Алтайского края, Михайлова Анастасия – Оренбург, гимназия 3, Власюк Александр – Новосибирск, СУНЦ НГУ, Левдик Павел – Челябинск, лицей 39, Либерзон Даниил – Киров, ФМЛ, Дорошенко Андрей – Омск, лицей 92, Дубов Александр – Вологда, Вологодский многопрофильный лицей, Киян Сергей – Тамбов, лицей 14, Кузнецов Иван – Москва, СУНЦ МГУ, Лисицкий Дмитрий – Белорецк, Компьютерная школа, Матросов Михаил – Нововоронеж, школа 2.

Публикацию подготовили С.Козел, В.Слободянин

ПРОГУЛКИ С ФИЗИКОЙ

В горах тела весят больше или меньше?

(Начало см. на 4-й странице обложки)

… В горах плотность воздуха, а вместе с ней и сила Архимеда, может значительно уменьшаться. Довольно простые расчеты (выполните их сами) показывают, что вес тел плотностью, например, 1/3 плотности воды не падает, а растет с подъемом на высоту. Так, вес пенопласта, плотность которого около $50 кг/м^{3}$, увеличивается, когда вы поднимаетесь в горы. Конечно, для кирпича, гири и человека вывод, сделанный в большинстве учебников, остается верным. К.Богданов