Многогранный Делоне

Квант 2010, №2 с. 2, 3, 6, 7, 8, 9 Тег 7G20

КВАНТ 2010/№2

Многогранный Делоне

Н.ДОЛБИЛИН

Метод пустой сферы и триангуляции Делоне

Борис Николаевич Делоне был замечательным популяризатором науки. При этом он придерживался принципа: каждая популярная статья о математике должна содержать доказательство хотя бы одного утверждения. Мы последуем этому принципу и приведем с доказательствами основные идеи очень полезной геометрической теории – теории разбиений Делоне. Эта теория была изложена им в начале 20-х годов в работе «О пустой сфере». В ряде специальных случаев идея такого разбиения уже встречалась, например, в работах Вороного. Заслуга Бориса Николаевича состояла в том, что он с присущей ему ясностью и прозрачностью описал эту простую геометрическую конструкцию для весьма общего класса множеств. Мы сейчас объясним основные идеи этой науки – для простоты лишь на плоскости, хотя эта теория легко переносится на пространство любой размерности. Рассмотрим на плоскости некоторое множество X точек. Точки множества X, чтобы отличать их от других точек плоскости, не принадлежащих X, будем именовать узлами. Предполагается, что множество X узлов удовлетворяет следующим двум условиям. Существуют два положительных числа r и R, такие что (1) любой круг радиуса r содержит внутри себя не более одного узла из X; (2) любой круг радиуса R содержит внутри себя или на границе не менее одного узла из X. Делоне назвал такое множество X (r, R)-системой. Сейчас это, кстати не очень удачное, название сменилось на множество Делоне (с параметрами r и R). Понятно, что условия (1) и (2) эквивалентны условиям $( 1 ' )$ расстояние между узлами не менее 2r и $( 2 ' )$ расстояние от любой точки плоскости до ближайшего к ней узла из X не превосходит R. Довольно часто оказывается полезным еще одно эквивалентное определение множества Делоне. Будем рассматривать круги с центрами только в узлах из X. Тогда условия (1) и (2) можно переформулировать: $( 1 '' )$ круги радиуса r с центрами в узлах из X попарно не перекрываются, т.е. образуют упаковку (рис. 1); $( 2 '' )$ круги радиуса R с центрами в узлах из X покрывают всю плоскость, т.е. образуют покрытие. Другими словами, любая точка плоскости принадлежит хотя бы одному из этих кругов. Легко видеть, что в силу условия (2) число всех узлов во множестве Делоне бесконечно.

Окончание. Начало см. в «Кванте» №1.

01-.p65

Заметим, что параметры r и R задаются неоднозначно: из условий (1) и (2) очевидно вытекает, что множество X удовлетворяет тем же условиям (1) и (2) при любых значениях $r '$ и $R '$ , если $0 < r ' \le r$ и $R ' \ge R$ . Теперь вслед за Борисом Николаевичем приступим к $по-^{Рис.} 1$ строению некоторого особого разбиения плоскости на многоугольники, однозначно связанного с множеством X. Разбиение плоскости – термин несколько новый, хотя смысл этого термина тот же, что и у известного с детства события: разбивания стекла. Целое стекло разбивается на осколки, из которых можно составить целое, при этом отдельные осколки не налегают друг на $друга.^{1}$ Разбиением плоскости на многоугольники называется множество многоугольников $M_{1}, M_{2}$ и т.д., так расположенных на плоскости, что (а) никакие два многоугольника не налегают друг на друга (условие упаковки), а (б) многоугольники, взятые вместе, покрывают всю плоскость (условие покрытия). Паркет на полу, кафельная плитка на стене, мозаика Пенроуза (рис.2) – все это ограниченные фрагменты разбиения (бесконечной) плоскости. Изложим теперь идею «пустой сферы», принадлежащую Борису $Ни-^{Рис.} 2$ колаевичу Делоне. 0-й шаг. Возьмем на плоскости, где расположено множество X, маленький кружок, скажем радиуса меньше r, который ни внутри, ни на границе не

1 Эта аналогия, как и любая аналогия вообще, далека от совершенства.

МНОГОГРАННЫЙ

содержит узлов из X. Такой кружок существует, потому что расстояние между узлами не меньше 2r. 1-й шаг. Оставляя центр $O_{1}$ круга неподвижным, увеличиваем его радиус, оставляя его пустым от узлов внутри, до тех пор, пока граница раздуваемого круга не наткнется на какой-нибудь узел x из X. Такой момент обязательно наступит, так как по условию (2) радиус пустого круга не превышает R (рис.3).

ДЕЛОНЕ

Заметим, что после третьего шага на граничной окружности круга расположено некоторое число k узлов, $k \ge 3$ . Построим k-угольник с вершинами в данных k узлах (рис.6). Ясно, что этот мноугольник

Рис. 6

Рис. 3

2-й шаг. Теперь, не снимая круг с узла x, отодвигаем от узла x по прямой $xO_{1}$ центр расширяющегося круга до тех пор, пока он не наткнется еще на один узел y (рис.4). Такой момент обязательно наступит вследствие опять же условия (2). Обозначим центр этого круга через $O_{2}$ .

Рис. 4

3-й шаг. Не снимая круг с узлов x и y, будем удалять его центр от узлов x и y по срединному перпендикуляру к отрезку xy, пока расширяющийся круг не наткнется еще на один узел z (рис.5).

Рис. 5

На этом процесс расширения круга завершен. Обозначим окончательно полученный круг через K, а его центр – через O.

01-.p65

вписан в круг, который других узлов из X ни внутри, ни на границе не $содержит.^{2}$ Многоугольник M назовем многоугольником Делоне для заданного множества X узлов, если его вершины – это узлы из X и он вписан в некоторый круг K, который ни внутри, ни на границе никаких других узлов, кроме вершин, не содержит. Полученный в результате описанной выше «четырехходовки» k-угольник является многоугольником Делоне. Таким образом, множество многоугольников Делоне не пусто. Более того, нетрудно видеть, что, применяя «четырехходовку» к маленьким кружкам, взятым в разных частях плоскости, можно получить бесконечно много многоугольников Делоне. Заметим, что любой узел из X является вершиной по крайней мере одного из многоугольников Делоне. Такой многоугольник можно построить посредством четырехходовки, примененной к маленькому кругу, достаточно близко расположенному к данному узлу. Борис Николаевич доказал не очень сложную, но важную теорему: Теорема. Множество всех многоугольников Делоне для данного множества X узлов образует разбиение плоскости. Доказательство. Напомним, что множество узлов X удовлетворяет условиям (1) и (2). Докажем сначала, что никакие два многоугольника Делоне $M_{1}$ и $M_{2}$ не перекрываются, т.е. не имеют общих внутренних точек. Возьмем «пустые» круги $K_{1}$ и $K_{2}$ , описанные вокруг $M_{1}$ и $M_{2}$ соответственно. Никакой из этих кругов не содержится в другом, так как каждый из них внутри пуст от узлов из X и каждый из них содержит некоторое число узлов на границе. Если круги $K_{1}$ и $K_{2}$ не перекрываются, то многоугольники $M_{1}$ и $M_{2}$ , в них содержащиеся, тем более не перекрываются. Пусть круги перекрываются по некоторой «линзе» (рис.7), составленной из дуги $a_{1}$ первой окружности, входящей внутрь второго круга

2 Внимательный читатель мог заметить, что уже на первом шаге расширяющийся круг мог наткнуться не на один, а на два, а то и большее количество узлов. Заметим, что в этом случае мы могли бы перейти с 1-го шага сразу к 3-му, а то и вообще могли бы получить окончательный круг K.

КВАНТ 2010/№2

мо, в котором, по словам самого Делоне, он сообщил о том, что эти разбиения им были изучены еще в 1920-е годы. В 1924 году Делоне попросил академика $В.А.Стеклова^{4}$ , который направлялся на международный конгресс математиков в Торонто, доложить его, Делоне, работу. Позднее, в 1928 году, эта работа была опубликована в трудах конгресса. При этом в письме Борис Николаевич не преминул упомянуть, что конгресс проходил в родном городе Кокстера, в Торонто. Ответ Кокстера был очень корректен. Он нашел в материалах математического конгресса 1924 года упоминание о работе Делоне. Кокстер в письме просил Делоне извинить его, тем более что в 1924 году он, Кокстер, был столь юн, что еще, опять же со слов Бориса Николаевича, «ходил под стол в коротких штанишках». Тогда же Кокстер написал в Кембридж профессору К.А.Роджерсу, который заканчивал свою ставшую своего рода математическим бестселлером книгу «Укладки и покрытия». Роджерс вставил в книгу упоминание о разбиении Делоне. Скорее всего, термин – разбиение Делоне (в вычислительной геометрии – триангуляции Делоне) – впервые появился именно в этой книге. В 1980-е годы он стал распространенным на Западе, откуда в конце прошлого века пришел в Россию. В 1990-е мне довелось встречаться с профессором Кокстером и выступать у него на семинаре в Торонтском университете. Я попросил мэтра рассказать об этой истории. Кокстер в целом подтвердил историю, рассказанную Борисом Николаевичем, за исключением «ходьбы под стол в коротких штанишках». В 1924 году Кокстеру (1907–2003) было уже 17 лет. А фраза о «ходьбе под стол» была характерным для Бориса Николаевича проявлением экспрессии и юмора – качеств, которыми Делоне обладал сполна.

4 Владимир Андреевич Стеклов (1864–1926) – знаменитый российский математик, академик. В 1920-е годы организовал Физико-математический институт Академии наук и был первым его директором. Позднее, в 1934 году, этот институт разделился на два академических института: Математический институт им.В.А.Стеклова и Физический институт им. П.Н.Лебедева.

Ленинградский период (1922–1934) Работа о разбиениях пространства обозначила сдвиг исследований в сторону геометрии. Он был постепенным и естественным. Определенную роль здесь сыграло соприкосновение при исследовании неопределенных уравнений с работами Вороного. Но основная причина геометризации исследований Бориса Николаевича заключалась в нем самом, в его исключительно образном, художественном восприятии мира. Характерно, что Борис Николаевич не жалел сил и времени на то, чтобы довести понимание уже законченного математического результата до уровня, на котором результат оформлялся бы в геометрический образ. «Что это означает попросту?» – любимый вопрос, который он задавал и себе и коллегам всякий раз, когда обсуждалась очередная работа. Признание научных заслуг не заставило себя долго ждать: в 1929 году Б.Н.Делоне выбирают в членыкорреспонденты Академии наук. К этому моменту он уже 7 лет профессорствует в Ленинградском университете. Его предельно ясные и продуманные лекции вызывают большой интерес у студентов. Популярность его была столь велика, что на первых лекциях его специальных (факультативных) курсов собиралось несколько сотен студентов, желавших увидеть легендарного лектора. Надо сказать, что Делоне никогда не упускал возможности рассказать студентам о трудной нерешенной проблеме. Борис Николаевич руководствовался известным принципом, принадлежащим, кажется, Плутарху: «Ученик – не сосуд, который нужно наполнить, а факел, который нужно зажечь». А зажечь может тот, кто сам горит. Высокий научный авторитет, преданное и вместе с тем эстетическое отношение к науке, личное обаяние – все это притягивало к нему молодых людей. Неудивительно, что у него было много учеников, среди которых несколько выдающихся математиков: академики Александр Данилович Александров (1912–1999) и Игорь Ростиславович Шафаревич (1923 г.р.), членкорреспондент Академии наук Дмитрий Константинович Фаддеев (1907–1989).

Б.Н.Делоне читает лекцию

01-.p65

МНОГОГРАННЫЙ

Весной 1934 года в Ленинграде Борис Николаевич организовал первую школьную олимпиаду по математике, с которой начались математические олимпиады в нашей стране. Участники первой ленинградской олимпиады еще долго потом вспоминали, какое ошеломляющее впечатление произвели на них встречи с Б.Н.Делоне (см., например, «Квант» №9 за 1984 г., с.52).

А.Д.Александров

Б.Н.Делоне и И.Р.Шафаревич (конец 1940-х годов)

Московский период (1934–1980)

В 1934 году в Ленинграде был образован Математический институт им.В.А.Стеклова, в котором Борис Николаевич работал с момента основания. До 1960 года он заведовал отделом алгебры, а затем до конца жизни отделом геометрии. Вскоре после создания Математический институт (точнее бульшая его часть) переводится вместе с другими ведущими научными учреждениями Академии наук в Москву. С 1935 года Делоне работает профессором в Московском университете, в течение многих лет руководит кафедрой геометрии, теперь это – кафедра высшей геометрии и топологии на мехмате. В МГУ он создает весьма оригинальный курс аналитической геометрии, выделявшийся исключительным богатством геометрических идей. В этом нетрудно убедиться, открыв двухтомник по аналитической геометрии, написанный им в соавторстве с Д.Е.Райковым. Студенты, имевшие счастье слушать его лекции, вряд ли подозревали, что за их великолепием скрывалась тщательнейшая подготовка. На подготовку двухчасовой лекции у него уходило два полных дня, в дальнейшем – день. Он отшлифовывал каждую идею, каждый рисунок. И, как следствие, во

01-.p65

ДЕЛОНЕ

время лекции на доске легко и быстро появлялись четкие додекаэдры и икосаэдры, элегантные параболоиды и гиперболоиды, симпатичные «аффинные коты», которых он ввел в свой курс аналитической геометрии для иллюстрации того, что происходит с фигурой при аффинном преобразовании. У студентов мехмата МГУ одно время была в моде серия весьма остроумных анекдотов о своих профессорах на тему: «Кто (из профессоров) в чем варит суп?» По студенческой версии, не лишенной иронии, Борис Николаевич варил суп в n-мерной $решетке^{5}$ : суп, правда, вытекал, зато оставалась геометрическая наглядность. Борис Николаевич был начисто лишен какого-либо резонерства, занудства. Приведу эпизод, о котором мне рассказал Н.Я.Виленкин, учившийся у Делоне. Однажды Борис Николаевич появился на лекции с каким-то злым выражением лица и начал строить неприятные гримасы и даже рычать. Студенты, привыкшие видеть Делоне всегда слегка хитро улыбающимся, были ошеломлены: что случилось с Борисом Николаевичем? Это продолжалось секунд десять-пятнадцать, а затем гримаса исчезла, все увидели знакомую улыбку и услышали объяснение случившемуся: «По дороге к вам встретил вашего куратора. Она мне очень жаловалась на вас, пропускаете занятия, многие не сдали коллоквиумы и т.д., и очень просила вас попугать…» Относительно научной работы в московский период назову лишь некоторые основные направления, в которых Борис Николаевич упорно работал и получил важные результаты. Это – прежде всего геометрия положительных квадратичных форм и ее приложения к теории так называемых решетчатых покрытий и упаковок пространства. Были получены принципиально новые результаты в теории правильных и кристаллографических разбиений многомерного пространства, а также в геометрии чисел. Ряд результатов 1960–70 годов был получен совместно с коллегами и учениками. Б.Н.Делоне был выдающимся популяризатором математики и вообще науки. Его популярные лекции, рассчитанные на широкую аудиторию, собирали сотни слушателей. У него были заранее заготовленные «экспромты» – приемы, при помощи которых он делал лекцию живой, увлекательной и незабываемой. Например, в 1940-е годы он несколько раз читал лекцию на тему «Теорема Н.Е.Жуковского о поддерживающей силе крыла самолета». Свою лекцию в знаменитой Большой аудитории Политехнического музея в Москве перед несколькими сотнями собравшихся Борис Николаевич начинал так. Б.Н.: «Вы, наверное, знаете знаменитого математика академика Павла Сергеевича $Александрова^{6}$ ?» Отдельные голоса: «Да, конечно».

5 Решетка здесь означает множество точек с целыми координатами. 6 П.С.Александров (1896–1982) – выдающийся математик, один из создателей отечественной топологической школы, академик, профессор мех-мата МГУ.

КВАНТ 2010/№2

Б.Н.: «А знаете ли вы, что знаменитый математик академик Александров никогда не летает самолетом?» Легкий гул, аудитория недоумевает. Б.Н.: «А знает ли вы, почему академик Александров боится летать самолетами?» Гул нарастает. Б.Н. (с хитрой улыбкой) завершает: «Академик Александров никогда не летает самолетами, потому что не знает теоремы Жуковского. А я вот знаю и летаю много. Сегодня я познакомлю вас с этой теоремой, и вы никогда не будете бояться полетов». К этому моменту аудитория «разогрета» и готова слушать рассказ о такой важной теореме.

Не только наука

01-.p65

Вершина Белуха и пик Делоне

Среди многочисленных нематематических увлечений Бориса Николаевича особое место занимал альпинизм. Это, бесспорно, самое сильное увлечение прошло через всю жизнь. Зародилось оно, как уже говорилось, в детские годы во время летних выездов семьи в Швейцарию. В альпинизме его особенно влекла красота далеко открывающихся панорам, геометрически выразительных силуэтов хребтов и пиков. И, конечно, азарт победить высоту во что бы то ни стало. Занимался альпинизмом он вполне профессионально. В Альпах он еще в 1910 году поднялся на вторую по высоте после Монблана, но технически несложную вершину Монте- Роза. Затем был Кавказ с многочисленными сложными восхождениями, в том числе и первовосхождениями. Но особенно Борис Николаевич любил Алтай. В 1926 году бывал и на горе, теперь носящей его имя. Пик Делоне находится на плече, ведущем на высшую вершину Алтая – Белуху. Путешествуя по Алтаю вместе $И.Е.Таммом^{7}$ , они открыли изумительное по красоте место: озеро Шавло, в чистейшей воде которого отражались две покрытые снегами великолепные вершины. Одну из них Делоне назвал Красавицей, другую Тамм назвал Сказкой. По мнению Делоне, красота этого места превосходит все знаменитые места в Альпах. В наше время маршрут к Красавице и Сказке – один из самых привлекательных на Алтае. В 30-е – 40-е годы прошлого века Борис Николаевич активно занимался организацией массового альпинизма в нашей стране. Летом 1931 года он организовал на Кавказе первый в стране альпинисткий лагерь для

рабочих ленинградского путиловского завода и проводил в нем занятия по технике альпинизма, вместе с инструкторами анализировал восхождения. В 1934 году ему было присвоено звание мастера альпинизма. В это время альпинизм становился массовым видом спорта, и стало необходимым создать систему класси-

7 Игорь Евгеньевич Тамм (1895–1971) – выдающийся физиктеоретик, лауреат Нобелевской премии (1958).

Нижнее Шавлинское озеро и белоснежные вершины Сказка и Красавица

МНОГОГРАННЫЙ

фикации спортивных достижений. Делоне разработал принципы классификации горных восхождений (пять ступеней) и в соответствии с ними расклассифицировал более 200 маршрутов на вершины Кавказа, Средней Азии и Алтая. В 1938 году написал первый путеводитель для альпинистов «Вершины Западного Кавказа» (часть Кавказского хребта, расположенная к западу от Эльбруса). В нем описаны несколько десятков основных вершин этого района и пути восхождений на них. Описание сопровождалось рисунком каждой вершины вместе с кроками восхождения на нее. В книге на вклейке была помещена панорама всего западно-кавказского хребта, которую сделал Борис Николаевич, перемещаясь с вершины на вершину на параллельном хребте. С возрастом на смену альпинистским восхождениям пришли туристские походы. Не прогулки на 5–10 километров, а именно настоящие 30–40-километровые походы, иногда очень трудные, проходившие неизменно по самым красивым местам Подмосковья. Борис Николаевич был физически исключительно закаленным человеком. И все равно было не по себе наблюдать в конце зимы быстро идущего с рюкзаком обнаженного по пояс пожилого человека. Падающий снег таял и, стекая по седой голове, застывал в виде крупных сосулек. Борис Николаевич очень любил природу и восторгался ее красотой всегда молча, словно стараясь впитать в себя все и вся. Его восхищение невольно передавалось спутникам. Общение с природой походило на таинство, и ему было неприятно, хотя он и не подавал виду, когда это таинство нечаянно нарушалось чьими-то разговорами. Зато у костра или в электричке его спутники становились слушателями многочисленных историй, одна другой интересней. Рассказчиком Б.Н.Делоне был замечательным… «Вы, конечно, не знаете, что моя сестра святая (пауза, лукавый взгляд рассказчика, недоумение слушателей). Да-да, совершенно серьезно, святая…» …Дальше начинался интереснейший рассказ о двоюродной сестре и подруге детства Елизавете Пиленко (в замужестве Кузьмина-Караваева), поэтессе (ее стихи высоко ценил Александр Блок). После революции 1917 года она эмигрировала во Францию, стала монахиней (мать Мария – таково было монашеское имя, так же назывался у нас художественный фильм, посвященный ей). Во время оккупации Франции фашистами мать Мария вступила в ряды Сопротивления, была арестована и погибла в немецком концлагере. После войны была официально канонизирована католической церковью.

«Вечер жизни»

В приветственном адресе по случаю 80-летия Германская академия естествоиспытателей «Леопольдина» пожелала члену этой академии Б.Н.Делоне «спокойного вечера жизни». «Вечер жизни» продолжался десять лет. В эти годы он вместе со своими учениками получил важные результаты по теории оптимальных покрытий пространства шарами, по локальной теории так назы-

01-.p65

ДЕЛОНЕ

ваемых правильных структур, являющихся своего рода математическими моделями кристаллов. Борис Николаевич был главой и опорой большой семьи. Он очень любил своих внуков, которые обожали своего деда. Борис Николаевич заботился о них, но особенно он беспокоился за судьбу старшего внука – Вадика. Вадим Делоне (см. http://vadim-delaunay.org), талантливый поэт, красавец, обладал нежным сердцем и отзывчивой душой. В 18 лет стал диссидентом, правозащитником. В 19 лет был осужден за организацию политической демонстрации в Москве. Через год после освобождения, 25-го августа 1968 года, вышел в составе знаменитой «семерки» на Красную площадь в знак протеста против введения советских войск в Чехословакию. За лозунг «За вашу и нашу свободу», который он держал в течение нескольких секунд, Вадим получил 3 года «несвободы». Борис Николаевич делал все, чтобы облегчить судьбу внука. Собирал подписи известных людей в защиту Вадима, с этими письмами посещал «высочайшие» кабинеты на Лубянке. Уже после суда ездил к нему, как только получал разрешение, на свидание в лагерь на севере Тюменской области. Другим объектом особой заботы была жена, которая долго болела и нуждалась в уходе. После отъезда Вадима за границу и смерти жены он, уже 86- летний, «бросился во все тяжкие»: работа, лекции, поездки, два похода в неделю по 20–40 км каждый. В один из наиболее активных дней его постиг удар: инсульт, почти полная потеря речи, памяти, ограниченная подвижность. Принимая во внимание возраст, врачи были предельно скупы в оценке перспектив. Однако Борис Николаевич начинает бороться за полноценную жизнь и одерживает последнюю, но, может быть, самую важную победу в жизни (не без помощи своих близких, учеников и коллег). У него восстанавливаются утерянные функции, и он возвращается к настоящей жизни. Разумеется, длинные походы сменились прогулками «всего» на какие-то 10–15 километров, и не по глухим лесам, а по местам с «индустриальным пейзажем», и не дважды, а только раз в неделю. Конечно, работоспособность не была столь высокой, но это была полноценная яркая жизнь. Однако «вечер жизни» подошел к своей естественной границе. Никогда не забуду, как однажды серым мартовским днем (это было месяца за четыре до конца) Борис Николаевич достал из книжного шкафа книгу и прочитал одно замечательное место у Пуанкаре. Дыхание от волнения прерывалось, голос дрожал: «… жизнь есть лишь беглый эпизод между двумя вечностями смерти и… в этом эпизоде прошедшая и будущая длительность сознательной мысли – не более чем мгновение. Мысль – только вспышка света посреди долгой ночи. Но эта вспышка – все».