Задачи

36

КМШ

КВАНТ 2010/№2

Задачи

Число КУБ является кубом. Докажите, что число ШАР кубом не является. (Как обычно, разные заглавные буквы обозначают разные цифры.) А.Хачатурян

Круги радиуса 1 (и значит, площади $\pi )$ наложены друг на друга так, что их границы образуют кружевную салфетку (см. рисунок). Найдите площадь фигуры, являющейся объединением этих кругов. Н.Авилов

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Низкую температуру, нужную для хранения продуктов, люди издавна умели получать без холодильников. Для этого они зимой закладывали в подвалы лед, а летом размолотый лед смешивали с солью. При перемешивании льда с солью температура смеси может опуститься до $-^{21} \infty^{C}$ (проверьте это на опыте), как в современных морозильных камерах. А зачем дворники зимой посыпают дорожки солью? Они что, хотят температуру на улице понизить? Е.Соколов

У мудрого ламы было два ленивых ученика. Както лама решил их проучить и предложил сыграть в старинную игру. Они сели за круглый стол, на который было высыпано 999 спичек. Ученику, который сел по левую руку от ламы, разрешается за ход брать либо 1, либо 3, либо 5 спичек. Ученик, который сидит по правую руку от ламы, берет за ход либо 2, либо 4, либо 6 спичек. Лама, в силу своей мудрости, всегда берет ровно 1 спичку. Первый ход делает лама, затем ходы делаются по очереди по часовой стрелке. Тот, кто не может сделать ход, пропускает его. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет? Фольклор

Иллюстрации Д.Гришуковой

Саша взял ручку с тонким пером и красиво, как его учили, по клеточкам написал слово (рис.1). Артем взял толстый фломастер и тоже красиво написал другое слово (рис.2). А Маша взяла широкое-широкое плакатное перо и написала третье слово (рис.3). Какое слово написала Маша? Е.Соколов

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

39

К

М

Ш

Рис. 14

Рис. 17

По той же теореме, но уже для окружности 3, равенство можно продолжить:

$AO \cdot OB = CO \cdot OD$, и дальше (окружность 1)

$CO \cdot OD = EO \cdot OF '$.

Рис. 15

Планиметрическое решение

Вернемся к исходной задаче и рассмотрим три пересекающихся окружности (1, 2 и 3 на рисунке 16). Проведем две общие хорды: одну – для окружностей 1 и 3 и вторую – для окружностей 2 и 3. Точки на первой хорде имеют, как мы видели, одинаковую степень относительно окружностей 1 и 3, а точки на второй хорде имеют одинаковую степень относительно окруж-

Рис. 16

ностей 2 и 3. Значит, общая точка этих двух хорд имеет одинаковую степень относительно всех трех окружностей. Поэтому она также лежит на общей хорде окружностей 1 и 2. Что и требовалось доказать. Это решение можно пересказать так, чтобы оно стало совсем «школьным» и не использовало понятие степени (рис.17). Проведем две общие хорды AB (окружности 2 и 3) и CD (окружности 1 и 3). Пусть O – их точка пересечения. Проведем прямую через точку O и одну из двух точек пересечения окружностей 1 и 2 (скажем, верхнюю на рисунке) – точку E. Если утверждение задачи неверно, то эта прямая пересечет окружности 2 и 1 в различных точках. Назовем их F и $F '$. Теперь заметим, что

Сравнивая начало и конец этой цепочки равенств, получаем

$EO \cdot OF = EO \cdot OF '$, т.е. F и $F '$ – одна и та же точка, что и требовалось доказать.

Вопросы и задачи

1. Обратите внимание, как расположена пленка, разделяющая мыльные пузыри. В какую сторону она изогнута? В каком из пузырей давление больше? (На наших фотографиях эта пленка видна плохо, так что стоит посмотреть настоящие пузыри.) 2. Чему равна степень точки, находящейся на расстоянии d от центра окружности радиуса r, относительно этой окружности? 3. Мы определили степень для точек внутри окружности. Дайте геометрическое определение для точек вне окружности, чтобы формула задачи 2 оставалась верной. 4. Рассмотрим две окружности (пересекающиеся или нет). Найдите геометрическое место точек, которые имеют одинаковую степень (в смысле предыдущей задачи) относительно этих двух окружностей. Ответ: это прямая; она называется радикальной осью пары окружностей. 5. Найдите радикальную ось для пары касающихся окружностей. 6. Имеются три попарно касающиеся окружности. Через каждую из точек касания проведена общая касательная к соответствующей паре. Докажите, что три эти прямые проходят через одну точку. 7. Во всех наших рассуждениях мы неявно предполагали, что окружности не только попарно пересекаются, но и все три перекрываются (есть точка, лежащая внутри всех трех). Если такой точки нет, наши рассуждения уже не проходят. Покажите, что, тем не менее, и в этом случае три общие хорды (точнее, их продолжения) пересекаются.

$EO \cdot OF = AO \cdot OB$

по теореме об отрезках двух секущих (в окружности 2).

41

К

М

Ш

Ледяные узоры на стекле

Лед на стеклах. Зимой окна автобуса часто бывают покрыты инеем или разрисованы изнутри морозными узорами. Их вид зависит от температуры и влажности воздуха в салоне. При малой влажности и постепенном охлаждении от 0 до –6 $\infty^{C}$ на поверхности стекла отлагается однородный слой непрозрачного рыхлого льда. В этом случае все стекло имеет температуру ниже точки росы, и влага из воздуха одновременно конденсируется по всей поверхности стекла, покрывая его слой за слоем и образуя аморфное непрозрачное состояние льда. Если же охлаждение стекла происходит при большой влажности воздуха, а в процессе охлаждения проходится точка росы, то конденсирующаяся на стекле вода закристаллизовывается в виде морозных узоров, похожих на еловые лапы или ветки диковинных растений, отбирая при этом тепло от близлежащих участков стекла. Такие узоры называют дендритами. При дальнейшем охлаждении стекол между дендритами, а затем и на самих дендритах происходит отложение тонкого слоя инея. Иногда температура и влажность таковы, что протертое стекло замерзает прямо на глазах, покрываясь ледяными кристаллами. Как-то после оттепели резко похолодало, и узоры из более крупных дендритов покрыли нижнюю часть оконных стекол, вверху же кристаллы были заметно мельче. Почему? Объяснить нетрудно. Кристаллы образуются из сконденсировавшейся на стекле воды, а она, вследствие действия силы тяжести, течет и скапливается внизу. Зимой холодный воздух может проникать в салон автобуса через щели рам и открытые форточки. С ним приходит в соприкосновение теплый и влажный воздух салона, который при этом охлаждается, теряя излишнюю влагу. Почему же в местах проникновения наружного воздуха стекла не запотевают и не замерзают? В данном случае внутри салона происходят два процесса: не только теплый воздух охлаждается, но и холодный воздух, попадая в салон, нагревается и поглощает воду, так как его влагоемкость увеличивается. Это легко подтвердить экспериментально.

Если вы носите очки, то знаете (впрочем, это все знают), что зимой при входе с улицы в теплое помещение они запотевают. Но мало кто обращал внимание на следующее: стоит, не протирая очков, снова выйти на холод, как влага с них полностью испарится. Проделайте такой опыт с куском стекла, который лучше держать не в руке, а за какую-нибудь оправу. Приведу еще ряд наблюдений. Один раз я подышал на протертый в замороженном окне участок, и он быстро покрылся пушистым инеем, причем с более длинными иголками, чем на остальном стекле. В другой раз при наружной температуре –25 $\infty^{C}$ на протертом участке за 5–7 минут нарос более толстый слой инея, чем на непротертом стекле, причем дышать на стекло в этот раз не пришлось. По-видимому, процесс наращивания слоя инея на стекле зависит от сочетания определенных условий: температуры и влажности в салоне и за окном. Появлялись на стекле, вырастая на глазах, и ледяные кристаллы в виде ледяных волокон (трихитов) или ледяных узоров в виде еловых лап (дендритов). Интересно, что во время роста они были окружены небольшим свободным от инея пространством стекла. Как и предполагалось ранее, выделяющаяся энергия кристаллизующейся воды влияет на условия в окружающем дендрит пространстве, препятствуя возникновению других кристаллов вблизи и вокруг растущих. Согласно измерениям ученых, осаждение льда на поверхность сопровождается колебаниями температуры вблизи нее величиной до +5 $\infty^{C}$, что оказывает на существование в этой области ощутимого выделения тепла и передачи его путем конвекции. Сказанное подтверждается следующим наблюдением за стоящим в депо электропоездом. Оконные стекла поезда были двойные, наружная температура воздуха была около –12 $\infty^{C}$. На внешней поверхности внешних стекол имелись крупинки льда – от замерзших редких капель воды. Внутреннее же стекло со стороны салона было покрыто слоем белого инея с округлыми пятнами чистого стекла, центры которых совпадали с расположением замерзших капель снаружи.

43

ФИЗИЧЕСКИЙ

провести простой эксперимент, в котором цифровые фотографии одних и тех же геометрических размеров формируются разными количествами светлых и темных пятен, т.е. их «размер в пикселях» (или в колбочках) постепенно увеличивается (рис.2). Начиная с некоторого количества пятен,

Рис. 2

можно, при небольшой доле фантазии, «узнать» изображенного человека (знакомого нам по портретам). На светлом фоне тумана вся фигура человека и его лицо естественно выглядят темными. Максимальная относительная яркость пятен на лице определяется коэффициентом отражения света и составляет около 0,5. Есть и более темные участки изображения лица на сетчатке глаза – вплоть до контрастности 1,0, которая определяется как отношение разности максимальной и минимальной яркостей пятен к максимальной яркости. Можно выражать эту величину в процентах, тогда максимальная контрастность будет 100%. Диапазон от 0,5 до 0,1 по степени яркости (или от 0 до 80% по контрастности) можно разбить на несколько частей. Причем для надежного распознавания деталей нужно, чтобы на границах пятен яркость скачком изменялась на заметную величину. Если изменение яркости составляет 20%, то достаточно всего четырех уровней для «заполнения» всего диапазона (80/20 = 4 = 2 бита). В результате минимальное количество информации (в битах), необходимое для распознавания лица человека, равно примерно $30 \times 30 \times 2 = 1,8 \times 10^{3}$. Тогда при отсутствии тумана и при нормальном освещении человека с характерным размером головы 20 см можно узнать по лицу с расстояния, равного 0,3 м $\times ( 20$ см 4 см $) \times \times ( 800 30 ) = 40$ м. Здесь 0,3 м – это расстояние наилучшего зрения, множитель (20 см/4 см) обеспечивает «размещение» изображения лица человека на центральной ямке, а множитель (800/30) «доводит» размер изображения в колбочках до величины $30 \times 30$. В условии задачи указанное расстояние – 10 шагов или 7 м – гораздо меньше, чем 40 м, т.е. не это обстоятельство (уменьшение размеров изображения на сетчатке глаза) мешает узнать человека в тумане. При наличии между глазом наблюдателя и рассматриваемым объектом «подсвеченного» тумана контрастность изоб-

ФАКУЛЬТАТИВ

ражения на сетчатке глаза убывает по мере удаления от объекта наблюдения, постепенно уменьшаясь до нуля. Это обусловлено двумя процессами, идущими одновременно. Вопервых, по мере удаления от источника свет постепенно рассеивается, но это не самое главное. А главное то, что (вовторых) по мере увеличения толщины слоя тумана между источником света и глазом растет так называемая подсветка. Доля света, идущего напрямую в глаза наблюдателя от источника света (фотографии), падает, а доля света от других источников, рассеянного каплями тумана и тоже попадающего в глаза, растет. На серии фотографий (рис.3), приведенных для иллюстрации этого явления (подсветки), отчетливо видно, что яркость окружения не меняется, светлые пятна на картинках становятся еще светлее, а темные пятна постепенно светлеют, пока и те и другие не сравниваются по яркости с окружением. Переход от первой пары фотографий (слева) ко второй и так далее (вправо) соответствует увеличению «плотности» тумана в определенное число раз. Постепенно фотографии становятся настолько светлыми, что по лицам уже узнать кого-либо затруднительно, а вот подписи к рисункам все еще продолжают читаться. Это говорит о том, что для распознавания образов, в частности лиц людей, важны резкие темные линии. Такие линии характеризуют форму глаз, бровей, рта, носа. Вот по этим линиям мы и узнаем тех, кто изображен на рисунке или на фотографии. Вернемся к нашей задаче. Когда говорят об узнавании на расстоянии, то обычно предполагают, что для этой операции достаточно «одного взгляда». Поэтому мы облегчим задачу, указав в качестве минимальной контрастности величину 20%. Капельки тумана диаметром 10 мкм значительно больше, чем длины всех видимых глазами световых волн, поэтому можно считать, что рассеивание света не зависит от длины волны, т.е. свет всех цветов рассеивается такими шариками одинаково и практически не поглощается. Поскольку на капельки, находящиеся между двумя людьми, свет падает со всех сторон, каждая капелька является шаровым источником света с определенной яркостью или силой света. Белая стена тумана – это сплошная стена из таких шариков, так как в каком бы направлении мы ни смотрели, луч зрения на некотором расстоянии обязательно «упрется» в какой-нибудь из шариков. Если на пути к объекту наблюдения 80% площади картинки будет покрыта шариками, то в этом случае контрастность видимой картинки не превысит 20 %. Таким образом, можно будет найти связь между размерами капелек-шариков $D_{к}$, их концентрацией в воздухе $n_{к}$ и расстоянием L, на котором человека в тумане узнать невозможно. Рассмотрим слой тумана площадью S с малой толщиной x. В объеме Sx находится $n_{к} Sx$ капелек. Они закрывают собой $\pi D_{к}^{2} n_{к} \times x 4$ -ю долю площади,

(

) т.е. незакрытой остается только

$( 1 - \pi D n \times x 4 )$ -я доля площа-

2 к к ди. Если таких слоев много, то по мере увеличения количества слоев доля незакрытой площади становится все меньше и меньше. При общей толщине слоя

Рис. 3