Деревянная лошадка и сила трения

24

КВАНТ 2015/№4

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: savin.contest@gmail.com (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

1. Однажды на уроке математики Толик Втулкин написал слева направо в строку по возрастанию все натуральные числа от 1 до 11. Он заметил, что начиная с числа 2 и до конца строки в ней всего 10 чисел – ровно в 5 раз больше, чем само число 2. А начиная с числа 3 и до конца строки в ней всего 9 чисел – ровно в 3 раза больше, чем само число 3. Наконец, начиная с числа 4 и до конца строки в ней всего 8 чисел – ровно в 2 раза больше, чем само число 4. Толик назвал числа 5, 3, 2 умножителями и написал их во второй строке под числами 2, 3, 4:

1

2 3 4 5 6 5 3 2

7 8 9

10 11

Развивая теорию умножителей, Толик написал в строку по возрастанию все натуральные числа от 1 до n, а под некоторыми из них – их умножители. Во второй строке у него оказались числа 11, 9, 7, 5, 4, 3, 2. Найдите наименьшее возможное значение n. С.Дворянинов

2. Имеется квадратная клетчатая доска размером $2n \times 2n$ клеток (n – натуральное), у которой первоначально все клетки – белые. Закрасим некоторые из них в черный цвет. Назовем раскраску изящной, если в каждой горизонтали и каждой вертикали закрашено ровно по n клеток (например, обычная раскраска шахматной доски – изящная).

Возьмем две произвольные изящные раскраски. Петя уверен, что если разрешить менять местами любые две горизонтали или любые две вертикали, то за несколько таких операций можно из первой раскраски получить вторую. Коля считает, что это не так. Для каких n прав Петя, а для каких – Коля? И.Акулич

3. На плоскости расположены два равных треугольника, не имеющих общих точек (ни внутри, ни на границах). Прямая $П_{1}$ делит площадь каждого из них пополам, а прямая $П_{2}$ делит пополам их периметры. Могут ли прямые $П_{1}$ и $П_{2}$ быть взаимно перпендикулярны? И.Акулич

4. Дети изготовили 45 двусторонних карточек, на каждой на разных сторонах написаны две различные цифры, причем каждая пара цифр встречается ровно на одной карточке. Учитель выкладывает эти карточки на стол. Сможет ли он сделать это так, чтобы дети сумели определить хотя бы про одну карточку, какая цифра написана на ее обратной стороне? И.Богданов

5. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна h. Каково наименьшее возможное значение длины средней линии такой трапеции? С.Дворянинов

Деревянная лошадка и сила трения

С.ДВОРЯНИНОВ

ВДЕТСТВЕ У БУРАТИНО БЫЛО НЕМАЛО ИГРУШЕК, и почти все они были самодельные – их делал Папа Карло. Но он был настоящим мастером, и все игрушки были прекрасные. Буратино знал, что к предстоящему дню рождения он получит от Папы Карло очередную новую игрушку. И вот как-то Папа Карло сказал: «Не буду таить, я хочу подарить тебе лошадку!» С этими словами он принялся за работу, а Буратино устроился рядом и стал наблюдать, как из-под резца появились сначала голова лошади, потом грациозный корпус и, наконец, четыре ноги, по которым сразу был видно, какая это резвая лошадка. – Так, промолвил Папа Карло, – сейчас мы поставим лошадку на постамент. – Он взял подходящую прямоугольную дощечку и укрепил на ней свое творение. – Ура! – воскликнул Буратино. – У меня есть новая