28
КВАНТ 2015/№4
больший номер квартиры на предыдущем, четвертом, этаже равен 80, так что Колин этаж дает добавку еще в 3 квартиры. Итого получаем: 4ЭК + 16 + 3 = 83, откуда ЭК = 16. Обозначив для Вити аналогичное количество подъездов через В, такими же рассуждениями получим: 4ЭВ + 8 + 1 = 169, откуда ЭВ = 40. Итак, искомое значение Э является делителем чисел 16 и 40. У них есть четыре общих делителя: 1, 2, 4 и 8. Но поскольку Коля живет на пятом этаже, то Э заведомо не меньше 5. Поэтому остается единственная возможность: Э = 8, т.е. в доме 8 этажей. Над созданием следующей задачи трудился целый авторский коллектив (Т.Голенищева-Кутузова, В.Гуровиц, П.Кожевников, И.Ященко): Для постройки типового дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. При этом количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать еще 2 подъезда и добавить еще 3 этажа. Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в типовом проекте? Что ж, пусть согласно исходному проекту в доме было П подъездов, Э этажей и по К квартир на каждой площадке. Тогда из условия следуют два утверждения: ( П Э К > ПЭК,
( П Э К < ПЭК. Из первого неравенства 3П – 2Э > 6, а из второго 3П – 2Э < 12. Итак, осталось подобрать (если это возможно) такие значения П и Э, что 6 < 3П – 2Э < 12. Это не составляет труда – например, П = 5 и Э = 4, так что если в исходном проекте было 5 подъездов и 4 этажа,
то описанная ситуация могла произойти. При этом число квартир на площадке совершенно не играет роли, так как сокращается при преобразованиях. Надеемся, читатель вошел во вкус, рассматривая решения представленных задач. Самое время предложить парочку аналогичных задач для самостоятельного решения. Правда, у них есть одна особенность: для пущего читательского удовольствия в каждую задачу вставлена маленькая ловушка, которая может натолкнуть на ложный след. Так что будьте бдительны! Первая задача. Жильцы всех квартир, выходящих на одну лестничную площадку, решили прикрепить на двери новые номера и обратились в кооператив с просьбой изготовить необходимые для этого 7 цифр. Оказалось, что кооператоры берут за изготовление каждой цифры столько рублей, каково значение этой цифры (например, двойки производят по 2 рубля за штуку, а нули – вообще бесплатно). Жильцы собрали с каждой квартиры по 3 рубля, и этого им хватило. Сколько и каких цифр было заказано? Вторая задача. У лифта на первом этаже 18-этажного дома собрались 17 школьников, которым надо подняться вверх, причем всем на разные этажи. Лифтер же согласен сделать лишь один рейс на любой этаж, а дальше пусть они идут пешком (лифт достаточно велик и способен вместить всех). Известно, что все школьники с одинаковым неудовольствием спускаются пешком на один этаж и с двойным неудовольствием поднимаются пешком на один этаж. Какой этаж им надо выбрать, чтобы суммарное неудовольствие было наименьшим?
XXI Турнир математических боев имени А.П.Савина
С 26 июня по 2 июля 2015 года на базе отдыха «Берендеевы поляны» (Судиславль, Костромская обл.) прошел ежегодный турнир математических боев. Сроки и место проведения турнира давно стали традиционными. Прошедший турнир собрал 36 команд школьников, окончивших 5–9 классы, из Москвы, Санкт-Петербурга, Ижевска, Ленского края (республика Саха) и Ярославля. В день открытия турнира проводилась разминочная игра «Математический квадрат», а на следующий день прошла устная командная олимпиада. По ее результатам и с учетом возраста школьников участников раздели на шесть лиг для проведения математических боев: высшая и первая лиги 6 классов, лиги 7, 8 и 9 классов, а также лига 7–8 классов. Впервые за много лет в числе победителей турнира оказались только команды из Москвы: в высшей лиге 6 – команды ФМШ 2007 (руководитель – Н.Волкова) и гимназии 1514 (руководитель – Л.Бычкова), в первой лиге 6 – еще одна команда гимназии 1514 (руководитель – Д.Шаинская), в лиге 7 – команда школы 9 (руководитель – К.Скопцов), в лигах 8 и 7–8 – команды гимназии 1543 (руководители – О.Орел и А.Заславский), в лиге 9 – команда ФМШ 2007 (руководитель – Е.Лысенок). В рамках турнира также традиционно проводилась личная устная олимпиада в каждой параллели. Основные организаторы турнира – «Фонд математического образования и просвещения» и Образовательная программа
«Большая перемена» (председатель оргкомитета – C.И.Комаров). Отбором задач и составлением вариантов занимается методическая комиссия. В этом году в ее составе работали Э.Акопян, М.Артемьев, В.Арутюнов, Е.Бакаев, А.Банникова, А.Блинков (председатель), Ю.Блинков, Е.Горская, А.Заславский, О.Заславский, Ю.Котельникова, Н.Наконечный, И.Раскина, А.Хачатурян, П.Чулков, А.Юрков. В состав жюри турнира входили и все желающие руководители команд школьников. Приведем некоторые задачи турнира (в скобках после номера задачи указано, для каких классов она предлагалась).
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
1 (6–7). На каждой клетке доски стоит по гному – лжецу или рыцарю (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду). Соседями считаются гномы в клетках с общей стороной. Какое наибольшее количество гномов на шахматной доске могли бы сказать фразу «Среди моих соседей лжецов больше, чем рыцарей»? А.Шаповалов
2 (7). Летняя школа проходила 11 дней. Каждый день кормили комаров 10% ее участников. Для любых