Задачи М2421—М2428; Ф2428—Ф2434

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №3–2016» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2421» или «Ф2428». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2421, М2422а, М2426, М2427, М2428а,б предлагались на XXXVII Турнире городов, задача М2423 предлагалась на V Европейской математической олимпиаде для девушек, задача Ф2432 – на Московской физической олимпиаде 2016 года.

Задачи М2421–М2428, Ф2428–Ф2434

M2421. Фирма записала свои расходы в рублях по 100 статьям бюджета, получив список из 100 чисел (у каждого числа не более двух знаков после запятой). Каждый счетовод взял копию списка и находит приближенную сумму расходов, действуя следующим образом. Вначале он выбирает из списка любые два числа, складывает их, отбрасывает у суммы знаки после запятой (если они есть) и записывает результат вместо выбранных двух чисел. С полученным списком из 99 чисел он делает то же самое и так далее, пока в списке не останется одно целое число. Оказалось, что в итоге все счетоводы получили разные результаты. Какое наибольшее число счетоводов могло работать в фирме? М.Евдокимов

M2422. Прямоугольник p ¥ q, где p, q – натуральные взаимно простые числа, p < q, разбит на единичные квадратики. Из левого нижнего угла прямоугольника в его правый верхний угол проведена диагональ. Она отсекает треугольники от некоторых квадратиков. Найдите: а) суммарный периметр; б) суммарную площадь всех этих треугольников. А.Толпыго

M2423. Окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ одинакового радиуса пересекаются в точках $X_{1}$ и $X_{2}$ (рис. 1). Окружность $\omega$ касается окружности $\omega_{1}$ внешним образом в точке $T_{1}$ и окружности $\omega_{2}$ внутренним образом в точке $T_{2}$. Докажите, что прямые $X_{1} T_{1}$ и $X_{2} T_{2}$ пересекаются на окружности $\omega$. Ч.Лейтем (Люксембург)

M2424. На плоскости дано несколько прямых, имеющих общую точку O. Докажите, что каждую из этих

Рис. 1

прямых можно раскрасить красным или синим так, чтобы на плоскости нашлась точка, отличная от O, сумма расстояний от которой до всех красных прямых была равна сумме расстояний от нее до всех синих прямых. И.Вайнштейн

M2425. Прямоугольный параллелепипед 2 ¥ 2 ¥ 100 нужно разбить на кирпичи 1 ¥ 1 ¥ 2. Докажите, что количество способов сделать это является точным квадратом. (При подсчете параллелипипед не вращаем и не переворачиваем.) В.Расторгуев

M2426. В стране 64 города, некоторые пары из них соединены дорогой, но нам неизвестно, какие именно. Мы можем выбрать любую пару городов и получить ответ на вопрос, есть ли дорога между ними. Мы хотим узнать, можно ли в этой стране добраться от любого города до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что не существует алгоритма, позволяющего сделать это менее чем за 2016 вопросов. К.Кноп

16

КВАНТ 2016/№3

M2427. На доске написано N чисел, все они различны, и одно из них равно 0. Можно взять любой многочлен, каждый коэффициент которого равен одному из написанных чисел (среди коэффициентов могут быть равные), и дописать на доску все корни этого многочлена. За несколько таких операций на доске оказались все целые числа от –2016 до 2016 (и, возможно, еще какието числа). Найдите наименьшее возможное значение N. Г.Жуков

M2428. На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. (Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки.) Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов: а) при N = 3; б) при N = 4? в*) Может ли при некотором N суммарная длина поездов быть больше 1000? А.Бердников

Ф2428. Группа из трех туристов должна перебраться из пункта А в пункт В по дороге длиной s = 45 км. Стартуют все одновременно. На всю группу туристов есть только два велосипеда, причем если на велосипеде едут двое, то их скорость равна 3v, а если на велосипеде едет один человек, то его скорость равна 4v. Если же турист идет пешком, то его скорость равна v = = 5 км/ч. За какое минимальное время все туристы могут оказаться в пункте назначения? В.Сергеев

Ф2429. Ковбой привязал мячик для бейсбола, $m_{м} = = 150$ г и D = 7,3 см, к суровой (нерастяжимой и легкой) нитке длиной L = 1 м, которая другим концом была закреплена на круглой горизонтальной перекладине диаметром d = 6 см. Затем он отошел на 10 шагов в направлении, перпендикулярном перекладине, и выстрелил из кольта по мячу. Мяч стал быстро двигаться, накручивая нитку на перекладину, а потом оторвался. При осмотре оказалось, что пуля застряла в мяче, а нитка обернулась вокруг перекладины n = 2 раза. Оцените, какой была скорость пули перед столкновением с мячом, если масса пули $m_{п} = 10$ г, а нитка выдерживает груз массой не больше $m_{гр} = 10$ кг. Д.Бограчев

Ф2430. Вася решил взвесить с помощью железных гирь найденный им недалеко от озера Чебаркуль небольшой кусок челябинского метеорита. Для этого он использовал симметричные равноплечные весы, сделанные из железа. В воздухе взвешивание дало результат M = 2,1 кг. Когда весы были полностью погружены в воду озера, результат был другим – для уравновешивания весов потребовалось положить на них гири, суммарная масса которых оказалась равной m = 1,8 кг. При этом и взвешиваемое вещество, и гири также были полностью погружены в воду. Чему

равна плотность материала метеорита? Плотность железа $\rho_{ж} = 7,9$ г $см^{3}$, плотность воды $\rho_{в} = 1,0$ г $см^{3}$. В.Статиков

Ф2431. Три конденсатора с электрическими емкостями С, 2С и 3С соединены в замкнутую цепочку последовательно друг за другом. С помощью специального прибора, подключенного к трем местам соединений конденсаторов, этим самым местам были сообщены (переданы) электрические заряды +Q, +Q и –2Q. Прибор отключили. Какая максимальная (минимальная) энергия может быть запасена в системе заряженных конденсаторов? С.Варламов

Ф2432. Бесконечная сетка с ромбовидными ячейками, показанная на рисунке 2, состоит из одинаковых рези-

Рис. 2

сторов сопротивлением r. Найдите сопротивление между точками А и В. А.Бычков

Ф2433. В электрической схеме, изображенной на рисунке 3, все элементы идеальные, ток в катушке индуктивностью L равен нулю. Ключ замыкают, а размыкают его через промежуток времени $t_{0}$, когда скорость изменения энергии, запасаемой в катушке индуктивности, $достигает^{Рис.} 3$ максимума. Известно, что $t_{0} = 2 ln 2$ ◊ ( L R ). Найдите: 1) мощность P, которую развивал источник тока в момент размыкания ключа; 2) количество теплоты $Q_{1}$, которое выделилось в схеме после размыкания ключа; 3) количество теплоты $Q_{2}$, которое выделилось в схеме при замкнутом ключе. А.Шеронов

Ф2434. Над плоской горизонтальной поверхностью на высоте H = 10 м находится точечный изотропный источник света интенсивностью $W_{0} = 1000$ К. (тысяча кандел). В ближайшей к источнику света точке поверхности установлен маленький плоский датчик освещенности, его плоскость перпендикулярна лучам света. Площадь чувствительного элемента датчика $S = 0,1 см^{2}$. Какую освещенность $E_{1}$ (в люксах) регистрирует датчик? Затем прямо под источником света на