XXXVII Турнир городов

ОЛИМПИАДЫ

XXXVII Турнир городов

ЗАДАЧИ ВЕСЕННЕГО ТУРА

БАЗОВЫЙ ВАРИАНТ

8–9 классы

$1 (3)^{1}$. По кругу стоят мальчики и девочки (есть и те, и другие), всего 20 детей. Известно, что у каждого мальчика сосед по часовой стрелке – ребенок в синей футболке, а у каждой девочки сосед против часовой стрелки – ребенок в красной футболке. Можно ли однозначно установить, сколько в круге мальчиков? Е.Бакаев

2 (4). В остроугольном треугольнике ABC угол C равен $60^\circ$. Пусть H – точка пересечения высот этого треугольника. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает прямые CA и CB в точках M и N соответственно. Докажите, что AN и BM параллельны (или совпадают). Е.Бакаев

3 (5). Существуют ли 2016 целых чисел, сумма и произведение которых равны 2016? Фольклор, предложил М.Евдокимов

4 (5). В квадрате $10 \times 10$ все клетки левого верхнего квадрата $5 \times 5$ закрашены черным цветом, а остальные клетки – белым. На какое наибольшее количество многоугольников можно разрезать (по границам клеток) этот квадрат так, чтобы в каждом многоугольнике черных клеток было в три раза меньше, чем белых? (Многоугольники не обязаны быть равными или даже равновеликими.) Е.Бакаев

5 (5). На листе бумаги синим карандашом нарисовали треугольник, а затем провели в нем красным карандашом медиану, биссектрису и высоту (возможно, не все из разных вершин), лежащие внутри треугольника. Получили разбиение треугольника на части. Мог ли среди этих частей оказаться равносторонний треугольник с красными сторонами? М.Евдокимов

10–11 классы

1 (4). Точку внутри выпуклого четырехугольника соединили со всеми вершинами и с четырьмя точками на сторонах (по одной на стороне). Четырехугольник оказался разделен на восемь треугольников с одинаковыми радиусами описанных окружностей. Докажите, что исходный четырехугольник – вписанный. Е.Бакаев

2 (4). См. задачу 3 для 8–9 классов.

3 (4). См. задачу 4 для 8–9 классов.

4 (6). См. задачу М2421 «Задачника «Кванта».

5. На каждом из 12 ребер куба отметили его середину. Обязательно ли сфера проходит через все отмеченные точки, если известно, что она проходит:

1 В скобках после номера задачи указано максимальное число баллов, присуждавшихся за ее решение. Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты; баллы за пункты одной задачи суммируются.

а) (3) через какие-то 6 из отмеченных точек; б) (3) через какие-то 7 из отмеченных точек? М.Евдокимов

СЛОЖНЫЙ ВАРИАНТ

8–9 классы

1. На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 до миллиона включительно (в некотором произвольном порядке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры в каждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке ни выписывались числа, на кусочках встретятся все двузначные числа. А.Толпыго

2. Существуют ли такие целые числа a и b, что: a) (2) уравнение $x^{2} + ax + b = 0$ не имеет корней, а уравнение $È Î x^{2}$ ˘ ˚ + ax + b = 0 имеет? б) (3) уравнение $x^{2} + 2 ax + b = 0$ не имеет корней, а уравнение $È Î x^{2}$ ˘ ˚ + 2 ax + b = 0 имеет? (Знаком [k] обозначается целая часть числа k, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее k.) А.Храбров

3 (6). Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100 равных четырехугольников, каждый из которых вписан в окружность диаметра 3. И.Богданов

4 (8). Художник-абстракционист взял деревянный куб

$5 \times 5 \times 5$, разбил каждую грань на единичные квадраты и окрасил каждый из них в один из трех цветов – черный, белый или красный – так, что нет соседних по стороне квадратов одного цвета. Какое наименьшее число черных квадратов могло при этом получиться? (Квадраты, имеющие общую сторону, считаются соседними и в случае, если они лежат на одной грани куба, и в случае, если они лежат на разных гранях куба.) М.Евдокимов

5 (8). Пусть p – простое число, большее $10^{k}$. Взяли число, делящееся на p, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами k-значное число A. Получили число, делящееся на p. В него вставили k-значное число B – между двумя соседними цифрами числа A, – и результат снова оказался делящимся на p. Докажите, что число B получается из числа A перестановкой цифр. И.Богданов

6 (9). Робот-пылесос, имеющий форму круга, проехал по плоскому полу. Для каждой точки граничной окружности робота можно указать прямую, на которой эта точка оставалась в течение всего времени движения. Обязательно ли и центр робота оставался на некоторой прямой в течение всего времени движения? И.Вайнштейн

7. а) (5) Есть 2n + 1 батареек (n > 2). Известно, что хороших среди них на одну больше, чем плохих, но какие именно батарейки хорошие, а какие плохие, неизвестно. В фонарик вставляются две батарейки, при этом он светит, только если обе – хорошие. За какое наименьшее число таких

51

ОЛИМПИАДЫ

стержня C, находящемуся на расстоянии $l_{2} = 110$ см от точки O, чтобы алюминиевый шарик снова оказался погруженным на половину своего объема? Плотности алюминия, машинного масла и воды равны $\rho_{a} = 2700$ кг $м^{3}, \rho_{м} = 800$ кг $м^{3}$ и $\rho_{в} = 1000$ кг $м^{3}$ соответственно. Перед погружением шарика в воду его тщательно протерли от масла. Е.Якута

8 класс

1. Автомобиль часть пути ехал с постоянной скоростью $v_{1}$ по грунтовой дороге, а затем, выехав на хороший асфальт, поехал быстрее с другой постоянной скоростью $v_{2}$. На рисунке 13 приведен график зависимости средней скорости

Рис. 13

$v_{cp}$ автомобиля от пройденного им пути s. К сожалению, большая часть графика от времени выцвела, и на нем остались лишь отдельные фрагменты. Определите значения скоростей $v_{1}$ и $v_{2}$. Сколько времени длилось движение по грунтовой дороге? Какого значения достигла средняя скорость автомобиля к сотому километру пути? М.Замятнин

2. К правому концу A стержня, масса которого пренебрежимо мала, подвесили на тонкой нити алюминиевый шарик (см. рис.12). Стержень положили на край сосуда с водой, а к точке B, находящейся на расстоянии $l_{1} = 50$ см слева от точки опоры O, подвесили груз такой массой m, что шарик оказался погруженным в воду на половину своего объема. На какую часть своего объема окажется погруженным в воду этот шарик, если груз перевесить из точки B в точку C, находящуюся на расстоянии $l_{2} = 60$ см слева от точки O? Плотность алюминия $\rho_{a} = 2700$ кг $м^{3}$, плотность воды $\rho_{в} = 1000$ кг $м^{3}$. Е.Якута

3. См. задачу Ф2422 «Задачника «Кванта».

4. Папа решил взять с собой Васю на зимнюю рыбалку. В инвентаре папы оказались два лишних свинцовых грузила с одинаковой массой. Первое представляло собой кубик, а второе – цилиндр, высота которого равна длине ребра кубика. К середине одной из граней кубика и к центру одного из оснований цилиндра были прикреплены маленькие крючки. В какой-то момент Васе стало скучно, и он начал экспериментировать с этими грузилами. Вася привязал к крючкам нитки, подвесил грузила за эти нитки и заклеил верхние и нижние поверхности грузил изоляционной лентой, которая плохо проводит тепло. После этого Вася нагрел на походной газовой горелке воду в миске, опустил в нее свинцовый кубик, дождался его полного прогревания до $80 ^\circ$ С и после этого погрузил кубик в прорубь. Оказалось, что кубик охладился до температуры $36,6 ^\circ$ С за 30 секунд. Затем Вася нагрел тем же способом до той же температуры цилиндрическое грузило и тоже

погрузил его в прорубь. За какое время оно охладится до температуры $36,6 ^\circ$ С? Справка: объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. А.Бычков

9 класс

1. На планете системы звезды Шедар один из пунктов зарядки роботов-исполнителей обслуживает по одному роботу со скоростью 60 роботов в час (р/ч). В один из дней роботы приходили на пункт в течение 8 часов. Первый час они приходили со скоростью 70 р/ч. В течение второго часа скорость поступления роботов равномерно увеличивалась, составив к его концу 80 р/ч. Потом в течение третьего часа скорость поступления роботов равномерно уменьшалась и упала к его концу обратно до 70 р/ч. На четвертом часу скорость прихода роботов равномерно падала, составив к концу часа 20 р/ч и потом оставалась такой в течение пятого и шестого часов. На седьмом часу опять был равномерный подъем скорости поступления роботов – до 100 р/ч в конце часа, а на восьмом часу наблюдалось равномерное убывание скорости поступления до 60 р/ч. Роботы строго соблюдают очередность, а после зарядки сразу покидают пункт. 1) Сколько времени работал пункт в этот день, если были заряжены все роботы? 2) Какова наибольшая продолжительность пребывания робота на пункте зарядки (в очереди и на самой зарядке) в этот день? А.Фролов

2. См. задачу Ф2423 «Задачника «Кванта».

3. Клин массой М = 5 кг с углом при основании $\alpha = 45 ^\circ$ расположен на гладком горизонтальном столе (рис.14). На наклонной поверхности клина лежит брусок массой m = 1 кг. На брусок начинает действовать сила, направленная горизонтально в сторону клина. Модуль этой силы возрастает с течением времени t по закону $F = \delta t$, где коэффициент пропорциональности $\delta = 1$ Н с. Коэффициент трения между клином и бруском $\mu = 1,2$. Рис. 14 Найдите модуль силы трения, действующей со стороны клина на брусок через время T = 12 с после начала действия силы, если клин к этому моменту еще не начал опрокидываться. Ускорение свободного падения можно считать равным g = 10 м $с^{2}$. А.Бычков

4. Алиса и Василиса играют в игру «Постоянный ток». Они соединили последовательно два реостата и идеальный амперметр и подключили полученную цепь к источнику напряжения. Амперметр показал ток $I_{0} = 100$ мА. Школьницы «ходят» по очереди. Одна двигает ползунок своего реостата, и показания амперметра меняются. Другая должна тоже подвинуть ползунок своего реостата, как можно быстрее вернув ток к прежнему значению. После этого «ход» переходит к ней. Реостаты у девушек разные, но на каждом из них ползунок перемещается прямолинейно и в начале игры находится в среднем положении. У Алисы расстояние между крайними возможными положениями ползунка равно $L_{A} = 36$ см, а у Василисы – $L_{B} = 40$ см. 1) Первой «ходит» Алиса. Она сдвинула свой ползунок на 4 см вправо, и амперметр стал показывать ток $I_{1} = 90$ мА.