Андрей Александрович Егоров (11.10.1939—23.04.2017)

3

РЕШЕТКИ

И

ПРАВИЛЬНЫЕ

МНОГОУГОЛЬНИКИ

$2^\circ$ (лемма о четвертой вершине параллелограмма). Если три вершины параллелограмма являются узлами некоторой решетки, то и четвертая вершина тоже узел этой решетки. $3^\circ$. Если через произвольные два узла Q и R решетки провести прямую, то эта прямая пройдет через бесконечное количество узлов (см. рис.1). При этом все расстояния между соседними узлами, лежащими на прямой, будут равны. $4^\circ$. Если параллелограмм с вершинами в узлах некоторой решетки не содержит других узлов на сторонах и внутри себя, то он эту решетку порождает.

Упражнения

1. Докажите свойства $1 ^\circ - 4 ^\circ. 2.$ Пусть а и b – любые действительные числа. Докажите, что множество всех точек с координатами (ka, lb), где k и l – целые числа, является решеткой.

Важное свойство решеток отражает следующая задача:

23 апреля 2017 года ушел из жизни Андрей Александрович Егоров, замечательный математик, педагог и человек. Большую часть своей творческой жизни он проработал в журнале «Квант» и в Колмогоровском интернате (ныне СУНЦ), щедро делясь с читателями и учениками глубоким пониманием и ярким видением любимой науки. Более сорока лет Андрей Александрович писал статьи для нашего журнала, четверть века состоял в его редакционной коллегии, без малого двадцать лет руководил отделом математики. Его статьи и книги помогли становлению и развитию многих будущих математиков, школьные учителя и вузовские педагоги еще много лет будут с благодарностью вспоминать Андрея Александровича и активно использовать его творческое наследие. Мы же, работавшие рядом с Андреем Александровичем, будем всегда помнить глубокого профессионала, яркого, остроумного, широко эрудированного челове-

Рис. 3

В некотором узле А решетки находится охотник, а в остальных узлах сидят одинаковые и одинаково расположенные зайцы (рис.3). Охотник наугад стреляет (траектория пули – луч, выходящий из точки А). Вернется ли он домой с добычей? (Зайцы считаются «толстыми».)

Андрей Александрович Егоров (11.10.1939–23.04.2017) ка, который помнил (с точностью до даты) множество историй и всегда был готов их рассказать. Он был настоящим другом, готовым всегда прийти на помощь. Нам будет очень его не хватать. Редакция и редакционная коллегия журнала «Квант»

4

КВАНТ 2017/№4

Понятно, что если траектория пули проходит через узел, отличный от точки А, то заяц, сидящий в этом узле, будет убит. Поэтому интересен только тот случай, когда узел А – единственный на траектории пули; оказывается, что и в этом случае какой-нибудь заяц будет убит. Доказательство содержится в следующей лемме. $5^\circ$ (лемма об охотнике и зайцах). Пусть луч l проходит через узел А некоторой решетки. Тогда найдется такой узел, расстояние от которого до луча l будет меньше любого наперед заданного числа $\varepsilon$.

Доказательство. Обозначим точки пересечения луча l с наклонными прямыми сетки через $A_{0} = A, A_{1}, A_{2},^{…}, A_{n},^{…}$ (см. рис. 3,а). Совместим все параллелограммы, на правых сторонах которых лежат эти точки, с параллелограммом ABCD, тогда каждая точка $A_{n}$ перейдет в некоторую точку $A_{n} '$ на стороне ВС (см. рис. 3,б). Для любого $\varepsilon > 0$ найдутся такие точки $A '_{m}$ и $A '_{m} +_{k}$, что расстояние между ними будет меньше $\varepsilon$.

Докажите теперь, что расстояние от точки $A_{k}$ до одного из узлов решетки меньше $\varepsilon$ (в частности, если $A '_{m}$ совпадает с $A '_{m} +_{k}$, то $A_{k}$ будет узлом решетки). Следствие. Для любого иррационального числа $\alpha > 0$ и любого положительного $\varepsilon$ найдутся такие натуральные m и n, что $m \alpha - n < \varepsilon$.

Доказательство. Выберем на плоскости декартову систему координат и проведем прямую $y = \alpha x$. В силу иррациональности $\alpha$, единственной точкой с целочисленными координатами на этой прямой будет начало координат. Прямая $y = \alpha x$ пересекает каждую вертикальную прямую х = m в точке $( m, m\alpha )$. По лемме $5^\circ$ найдется такой узел ( m, n ) целочисленной решетки, что расстояние (по вертикали) от него до точки $( m, m\alpha )$ будет меньше $\varepsilon$, что и требовалось доказать.

Легко видеть, что среди всевозможных попарных расстояний между узлами любой решетки есть наименьшее (докажите!). Это свойство вместе со свойством $2^\circ$ решетки можно принять за определение решеток.

Теорема. Пусть множество М на плоскости обладает следующими свойствами: а) расстояние между любыми двумя его точками не меньше некоторого положительного числа d; б) если три точки А, В, С множества М являются вершинами некоторого параллелограмма ABCD, то и четвертая вершина D этого параллелограмма принадлежит множеству М. Тогда М – решетка.

Доказательство. Возьмем произвольную точку B, принадлежащую множеству М. Пусть А – ближайшая к В точка из М (рис.4,а; такая точка существует, так как все попарные расстояния между точками множества М больше d).

Рис. 4

Через точки А и В проведем прямую. Среди точек множества М, не лежащих на этой прямой, выберем ближайшую к точке В – точку С – и построим параллелограмм ABCD. В силу свойства б), точка D также принадлежит множеству М. Построим решетку, порождаемую параллелограммом ABCD. Докажем, что множество М совпадает с построенной решеткой. Из свойства б) множества М следует, что все узлы этой решетки ему принадлежат. Упражнение 3. Докажите это. Поэтому нужно только проверить, что ни на границе, ни внутри параллелограмма ABCD нет точек множества М, отличных от его вершин. Это почти очевидно: если точка S лежит внутри параллелограмма (рис.4,б), то хотя бы один из углов ASB, BSC, CSD и ASD будет